Conditions nécessaires et suffisantes

(a) « Il faut que » introduit la conclusion ; le but de « pour que » devient l'hypothèse.
Implication : pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n$ est divisible par 10, alors $n$ est divisible par 5.
Hypothèse : « $n$ est divisible par 10 » ; conclusion : « $n$ est divisible par 5 ».
« $n$ est divisible par 10 » est une condition suffisante pour que $n$ soit divisible par 5 ; « $n$ est divisible par 5 » est une condition nécessaire pour que $n$ soit divisible par 10.
Réciproque : si $n$ est divisible par 5, alors $n$ est divisible par 10. Elle est fausse pour $n = 5$ : $5 = 5 \times 1$ est divisible par 5, mais un multiple de 10 dans $\mathbb{N}$ vaut 0 ou est supérieur ou égal à 10, et $0 < 5 < 10$.

(b) « Dès que » introduit l'hypothèse.
Implication : pour tout $x \in \mathbb{R}$, si $0 \leq x \leq 1$, alors $x^2 \leq 1$.
Hypothèse : « $0 \leq x \leq 1$ » ; conclusion : « $x^2 \leq 1$ ».
« $0 \leq x \leq 1$ » est une condition suffisante pour que $x^2 \leq 1$ ; « $x^2 \leq 1$ » est une condition nécessaire pour que $0 \leq x \leq 1$.
Réciproque : si $x^2 \leq 1$, alors $0 \leq x \leq 1$. Elle est fausse pour $x = -1$ : $(-1)^2 = 1 \leq 1$, mais $-1 < 0$.

(c) « Seulement si » introduit la conclusion.
Implication : pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n$ est premier, alors $n \geq 2$.
Hypothèse : « $n$ est premier » ; conclusion : « $n \geq 2$ ».
« $n$ est premier » est une condition suffisante pour que $n \geq 2$ ; « $n \geq 2$ » est une condition nécessaire pour que $n$ soit premier.
Réciproque : si $n \geq 2$, alors $n$ est premier. Elle est fausse pour $n = 4$ : $4 \geq 2$, mais $4 = 2 \times 2$ admet le diviseur 2, différent de 1 et de 4.

(d) « Il suffit que » introduit l'hypothèse.
Implication : pour tout $x \in \mathbb{R}$, si $x = 1$, alors $x^2 = x$.
Hypothèse : « $x = 1$ » ; conclusion : « $x^2 = x$ ».
« $x = 1$ » est une condition suffisante pour que $x^2 = x$ ; « $x^2 = x$ » est une condition nécessaire pour que $x = 1$.
Réciproque : si $x^2 = x$, alors $x = 1$. Elle est fausse pour $x = 0$ : $0^2 = 0$, mais $0 \neq 1$.

(e) En mathématiques, « à condition que » introduit l'hypothèse.
Implication : pour tout $x \in \mathbb{R}$, si $x^2 < 1$, alors $|x| < 2$.
Hypothèse : « $x^2 < 1$ » ; conclusion : « $|x| < 2$ ».
« $x^2 < 1$ » est une condition suffisante pour que $|x| < 2$ ; « $|x| < 2$ » est une condition nécessaire pour que $x^2 < 1$.
Réciproque : si $|x| < 2$, alors $x^2 < 1$. Elle est fausse pour $x = \frac{3}{2}$ : $\left|\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2} < 2$, mais $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \geq 1$.
Remarque : lue avec le sens courant « seulement si », la phrase affirmerait au contraire cette réciproque, qui est fausse. Les deux lectures ne disent pas la même chose : c'est pourquoi on fixe le sens de « à condition que » avant de raisonner, en réécrivant la phrase avec « si ».

À retenir : on repère le mot qui oriente avant tout calcul ; « il faut » et « seulement si » placent derrière eux la conclusion, « si », « dès que », « il suffit » et « à condition que » l'hypothèse.

[1] « $n$ est un nombre premier et $n \geq 3$ »
[2] « $n$ est impair »
[3] est impair sans être un nombre premier supérieur ou égal à 3
[4] $n$ soit un nombre premier et $n \geq 3$
[5] le fait que $n$ est premier, dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et $n$
[6] nécessaire
[7] Prenons
[8] $9 = 2 \times 4 + 1$, donc 9 est impair : il vérifie la condition
[9] $9 = 3 \times 3$, donc 3 divise 9 avec $3 \neq 1$ et $3 \neq 9$ : 9 n'est pas premier, et la propriété est fausse pour $n = 9$
[10] l'implication « si $n$ est impair, alors $n$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3 » est fausse pour $n = 9$ : la condition n'est pas suffisante
Remarques. Dans [1] et [2], l'ordre est imposé : pour prouver qu'une condition est nécessaire, on suppose la propriété visée et l'on obtient la condition. Dans [8] et [9], les deux vérifications du contre-exemple sont écrites : qu'il vérifie la condition, puis qu'il ne vérifie pas la propriété ; l'une ne dispense pas de l'autre.

1) La condition « $a > 0$ et $b > 0$ » est suffisante si, pour tous réels $a$ et $b$, elle entraîne $ab > 0$ ; elle est nécessaire si, pour tous réels $a$ et $b$, l'inégalité $ab > 0$ l'entraîne.
Suffisance. Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a > 0$ et $b > 0$.
En multipliant les deux membres de l'inégalité $a > 0$ par le réel strictement positif $b$, on obtient $ab > 0$.
Ainsi « $a > 0$ et $b > 0$ » est une condition suffisante pour que $ab > 0$.
Nécessité. Prenons $a = -1$ et $b = -1$.
D'une part $ab = (-1) \times (-1) = 1 > 0$.
D'autre part $a = -1 \leq 0$, donc la condition « $a > 0$ et $b > 0$ » n'est pas vérifiée.
Ainsi le couple $(-1, -1)$ vérifie $ab > 0$ sans vérifier la condition : elle n'est pas nécessaire.
Conclusion : « $a > 0$ et $b > 0$ » est une condition suffisante mais non nécessaire pour que $ab > 0$.

2) Nécessité. Prenons $a = -1$ et $b = -1$.
D'une part $ab = 1 > 0$.
D'autre part $a + b = -2 \leq 0$.
Ainsi le couple $(-1, -1)$ vérifie $ab > 0$ sans vérifier $a + b > 0$ : la condition « $a + b > 0$ » n'est pas nécessaire.
Suffisance. Prenons $a = 2$ et $b = -1$.
D'une part $a + b = 1 > 0$, donc le couple vérifie la condition.
D'autre part $ab = -2 \leq 0$.
Ainsi le couple $(2, -1)$ vérifie $a + b > 0$ sans vérifier $ab > 0$ : la condition n'est pas suffisante.
Conclusion : « $a + b > 0$ » n'est ni une condition nécessaire ni une condition suffisante pour que $ab > 0$.

À retenir : chaque statut reçoit sa propre justification, une preuve pour des réels quelconques quand la réponse est oui, un couple explicite et ses deux vérifications quand elle est non.

Pour $x \in \mathbb{R}$, notons $A(x)$ la propriété « $|x - 1| < 1$ », $B(x)$ la propriété « $x^2 < 4x$ » et $C(x)$ la propriété « $x > 0$ ».
1) Montrons que, pour tout réel $x$, $A(x)$ entraîne $B(x)$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $|x - 1| < 1$.
Pour tout réel $y$, l'inégalité $|y| < 1$ équivaut à $-1 < y < 1$ ; avec $y = x - 1$, on obtient $-1 < x - 1 < 1$, donc $0 < x < 2$.
En particulier $x < 4$, donc $x - 4 < 0$.
Comme $x > 0$, en multipliant les deux membres de $x - 4 < 0$ par le réel strictement positif $x$, on obtient $x(x - 4) < 0$, c'est-à-dire $x^2 < 4x$.
Ainsi $B(x)$ est vraie, et $A$ est plus forte que $B$.
Étudions la réciproque. Prenons $x = 3$.
D'une part $3^2 = 9$ et $4 \times 3 = 12$, donc $3^2 < 4 \times 3$ : $B(3)$ est vraie.
D'autre part $|3 - 1| = 2 \geq 1$ : $A(3)$ est fausse.
Ainsi $B$ n'entraîne pas $A$, et $A$ est strictement plus forte que $B$.

2) Montrons que, pour tout réel $x$, $B(x)$ entraîne $C(x)$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 < 4x$. Supposons par l'absurde que $x \leq 0$.
Alors $4x \leq 0$ ; or $x^2 \geq 0$ comme carré d'un réel, donc $4x \leq x^2$.
Cela contredit $x^2 < 4x$, donc $x > 0$ : $C(x)$ est vraie, et $B$ est plus forte que $C$.
Étudions la réciproque. Prenons $x = 5$.
D'une part $5 > 0$ : $C(5)$ est vraie.
D'autre part $5^2 = 25$ et $4 \times 5 = 20$, donc $5^2 \geq 4 \times 5$ : $B(5)$ est fausse.
Ainsi $C$ n'entraîne pas $B$, et $B$ est strictement plus forte que $C$.

3) D'après 1) et 2), les conditions se rangent ainsi, de la plus forte à la plus faible : $A$, puis $B$, puis $C$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $|x - 1| < 1$. D'après 1), $x^2 < 4x$, puis d'après 2), $x > 0$.
Ainsi la condition $|x - 1| < 1$ est suffisante pour que $x > 0$.
Prenons $x = 5$ : on a $5 > 0$ et $|5 - 1| = 4 \geq 1$, donc elle n'est pas nécessaire.
Conclusion : $A$ est strictement plus forte que $B$, elle-même strictement plus forte que $C$ ; la condition $|x - 1| < 1$ est suffisante mais non nécessaire pour que $x > 0$.

À retenir : comparer, c'est démontrer une implication pour un réel quelconque, puis trancher la réciproque ; la transitivité de l'implication range ensuite toute la chaîne sans nouveau calcul.