Quantificateurs et variables

Un prédicat sur un ensemble $E$ est un énoncé $P(x)$ qui contient une variable $x$ et qui devient une assertion, vraie ou fausse, dès que l'on remplace $x$ par un élément précis de $E$. Ainsi le prédicat $P(x)$ : « $x^2 > 4$ » sur $\mathbb{R}$ n'est ni vrai ni faux tant que $x$ n'est pas fixé, alors que $P(3)$ est vraie et $P(1)$ est fausse. Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables, comme « $x \leq y$ » sur $\mathbb{R}^2$. Pour en faire une assertion, on fixe la variable ou on la quantifie.

Pour un prédicat $P$ sur $E$, l'assertion $\forall x \in E,\ P(x)$, lue « pour tout $x$ de $E$, $P(x)$ », est vraie lorsque $P(x)$ est vraie pour chaque élément $x$ de $E$ : $\forall$ est le quantificateur universel. L'assertion $\exists x \in E,\ P(x)$, lue « il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ », est vraie lorsque $P(x)$ est vraie pour au moins un élément de $E$ : $\exists$ est le quantificateur existentiel. « Il existe » signifie « au moins un », jamais « exactement un ». Deux quantificateurs de natures différentes ne se permutent pas en général, un seul des deux sens étant valide : voir la fiche « Ordre des quantificateurs ».

Écrire $\forall x \in E,\ P(x)$ ou $\exists x \in E,\ P(x)$, c'est borner le quantificateur à l'ensemble $E$. Si $P$ est un prédicat sur un ensemble $F$ et $E$ une partie de $F$, la première formule équivaut à $\forall x \in F,\ (x \in E \Rightarrow P(x))$ et la seconde à $\exists x \in F,\ (x \in E \text{ et } P(x))$ : l'universel se borne avec une implication, l'existentiel avec un et ; écrire $\exists x \in F,\ (x \in E \Rightarrow P(x))$ serait une faute, car cette formule est vraie dès qu'un élément de $F$ n'appartient pas à $E$. De même, $\forall \varepsilon > 0$ se lit « pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif » et $\exists n \geq N$ « il existe un entier $n$ supérieur ou égal à $N$ », l'ensemble ambiant ($\mathbb{R}$, puis $\mathbb{N}$) étant fixé par le contexte. Enfin $\forall x, y \in E$ abrège $\forall x \in E,\ \forall y \in E$.

Pour tout, quel que soit, tout, chaque, et l'article « un » d'une vérité générale traduisent $\forall$. Il existe, au moins un, certains, on peut trouver traduisent $\exists$ ; il existe un unique et un et un seul traduisent $\exists!$. Aucun se traduit par un universel suivi d'une négation : « aucun réel n'a un carré strictement négatif » s'écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ \text{non}(x^2 < 0)$, c'est-à-dire $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$. Dans une formule, la virgule se lit tel que après $\exists$, et on a après $\forall$.

Les symboles $\forall$, $\exists$, $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ appartiennent aux formules : on les emploie dans une assertion écrite entièrement en symboles, jamais comme abréviation au milieu d'une phrase. Dans la prose d'une rédaction, on écrit les mots « pour tout », « il existe », « tel que », « donc ». Une formule complète peut être citée dans une phrase (« L'assertion $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ est vraie. »), et une phrase peut contenir des formules sans symbole logique (« pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$ »). Ce qui est interdit, c'est un symbole logique qui remplace un mot de la phrase.

Ligne fautive : « Comme $f$ est continue et $f(0) < 0 < f(1)$, il $\exists$ $c \in [0, 1]$ tq $f(c) = 0$. »
Le symbole sert ici de sténographie : « il $\exists$ » n'est ni une formule ni du français, et le lecteur ne sait plus où commence l'assertion affirmée. Sur une copie, cette écriture est sanctionnée même quand le raisonnement est juste.
Version correcte, en prose : « Comme $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que $f(0) < 0 < f(1)$, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$. »
Ou en citant la formule complète comme un tout : « L'assertion $\exists c \in [0, 1],\ f(c) = 0$ est donc vraie. »

Ligne fautive : « $f(x) \geq 0\ \forall x \in \mathbb{R}$ ».
Un quantificateur rejeté à la fin ne dit plus sur quelle partie de la formule il porte, et dès qu'il y en a deux la lecture devient ambiguë : « $f(x) \leq M\ \forall x\ \exists M$ » peut se lire $\exists M,\ \forall x$ (la fonction est majorée) ou $\forall x,\ \exists M$ (ce qui est vrai de toute fonction).
Version correcte : les quantificateurs se placent en tête, dans l'ordre où l'on choisit les objets : « $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \geq 0$ », ou en prose « pour tout réel $x$, $f(x) \geq 0$ ».

Ligne fautive : « $\forall x,\ \sqrt{x} \geq 0$ ».
Sans domaine, la variable parcourt n'importe quel objet, y compris $x = -1$, pour lequel $\sqrt{x}$ n'est pas défini : la formule contient une expression dénuée de sens. Même faute dans « $\forall x,\ \frac{1}{x} \neq 0$ », où $\frac{1}{x}$ n'est pas défini pour $x = 0$.
Version correcte : « $\forall x \in \mathbb{R}_+,\ \sqrt{x} \geq 0$ » et « $\forall x \in \mathbb{R}^*,\ \frac{1}{x} \neq 0$ ».
On écrit toujours l'ensemble où vit la variable, choisi pour que chaque expression de la formule y soit définie ; même développé, un quantificateur borné garde un ensemble ambiant sur lequel le prédicat a un sens (voir la quantification bornée).

Pour deux entiers $a$ et $b$, on note $\llbracket a, b \rrbracket$ l'ensemble des entiers $k$ tels que $a \leq k \leq b$. Si $a \leq b$, il contient $b - a + 1$ éléments ; si $a > b$, il est vide. Ainsi $\llbracket 0, n \rrbracket = \{0, 1, \dots, n\}$ compte $n + 1$ entiers, et $\llbracket 1, n \rrbracket$ en compte $n$. Dans un quantificateur, $\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ P(k)$ abrège $\forall k \in \mathbb{Z},\ (1 \leq k \leq n \Rightarrow P(k))$ ; c'est l'écriture habituelle des indices de somme et des récurrences finies.

Ligne fautive : « Par hypothèse, pour tout $k \in \llbracket 0, 2 \rrbracket$, $f(k) \geq 0$, donc $f(1{,}5) \geq 0$. »
Or $\llbracket 0, 2 \rrbracket = \{0, 1, 2\}$ ne contient que des entiers : l'intervalle de réels se note $[0, 2]$, et l'hypothèse ne porte que sur $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
Seconde ligne fautive : « Soient $n$ réels $x_0, x_1, \dots, x_n$. »
Les indices parcourent $\llbracket 0, n \rrbracket$, qui contient $n + 1$ entiers : il y a $n + 1$ réels, et non $n$.
Version correcte : « Par hypothèse, pour tout $k \in \llbracket 0, 2 \rrbracket = \{0, 1, 2\}$, $f(k) \geq 0$ ; cette hypothèse ne dit rien de $f(1{,}5)$. » et « Soient $n + 1$ réels $x_0, x_1, \dots, x_n$. »

Dans $\forall x \in E,\ P(x)$ ou $\exists x \in E,\ P(x)$, la variable $x$ est muette (on dit aussi liée) : elle n'a de sens qu'à l'intérieur de la formule, qui est sa portée, et on peut, sans rien changer, la renommer par une lettre qui n'apparaît pas déjà dans la formule, $\forall t \in E,\ P(t)$ disant exactement la même chose. Une occurrence de lettre qui ne se trouve dans la portée d'aucun quantificateur liant cette lettre est libre : la formule dépend alors de sa valeur, et une même lettre peut être muette à un endroit et libre à un autre. Dans $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq a$, la variable $x$ est muette et $a$ est libre : c'est un prédicat en $a$, vrai pour $a = 0$ et faux pour $a = 1$. Renommer $x$ en $a$ donnerait $\forall a \in \mathbb{R},\ a^2 \geq a$, qui ne dit plus la même chose (c'est une assertion, fausse comme le montre $a = \frac{1}{2}$) : la lettre libre a été capturée. L'indice d'une somme et la variable d'une intégrale sont muets de la même manière.

Signal : on demande si une formule est vraie ou fausse, ou l'on s'apprête à l'utiliser dans une preuve.
1) Repérer chaque quantificateur et délimiter sa portée : elle va du quantificateur jusqu'à la fin de la formule, ou jusqu'à la parenthèse qui la referme.
2) Pour chaque occurrence de chaque lettre, se demander si elle se trouve dans la portée d'un quantificateur qui lie cette lettre. Si ce n'est pas le cas, cette occurrence est libre, et la formule dépend de la lettre. On l'écrit : « Dans cette formule, la lettre $x$ est liée par $\forall$, mais la lettre $a$ n'est liée par aucun quantificateur : elle est libre. » Une même lettre peut être muette à un endroit et libre à un autre, comme $x$ dans $(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 2) \text{ et } x > 0$ : on renomme alors la variable muette par une lettre neuve.
3) Si une lettre libre est une donnée déjà introduite (« Soit $a \in \mathbb{R}$ »), la valeur de vérité peut dépendre d'elle : on répond « vraie si $a \dots$, fausse si $a \dots$ ». Si elle n'a jamais été introduite, la formule n'a pas de valeur de vérité : on écrit « cette formule est un prédicat en $a$ », puis on l'étudie pour des valeurs de $a$ ou on quantifie $a$ selon ce que dit l'énoncé.
4) Seulement lorsque aucune occurrence n'est libre, on conclut « Cette assertion est vraie » ou « Cette assertion est fausse », avec sa justification.

On considère les formules (1) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + bx + 1 > 0$ et (2) $\exists b \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + bx + 1 > 0$. Dire si l'on peut attribuer à chacune une valeur de vérité, et la donner lorsque c'est possible.
Dans (1), la lettre $x$ est liée par le quantificateur $\forall$, mais la lettre $b$ n'est liée par aucun quantificateur : elle est libre.
Donc (1) est un prédicat en $b$, qui n'a pas de valeur de vérité tant que $b$ n'est pas fixé.
Pour $b = 0$, (1) s'écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 > 0$. Soit $x \in \mathbb{R}$ ; on a $x^2 \geq 0$, donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. Ceci valant pour tout réel $x$, (1) est vraie pour $b = 0$.
Pour $b = 3$, (1) est fausse : pour $x = -1$, on a $x^2 + 3x + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$, qui n'est pas strictement positif.
Dans (2), la lettre $b$ est liée par $\exists$ et la lettre $x$ par $\forall$ : aucune lettre n'est libre, donc (2) est une assertion.
Elle est vraie, car le réel $b = 0$ convient d'après ce qui précède.
Conclusion : on ne peut pas attribuer de valeur de vérité à (1), prédicat en $b$ vrai pour $b = 0$ et faux pour $b = 3$ ; (2) est une assertion vraie.
À retenir : on fait l'inventaire des lettres libres avant de répondre « vrai » ou « faux » ; une formule qui en contient encore n'a de valeur qu'une fois ces lettres fixées.

Ligne fautive : « On sait que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leq 2$. Donc $f(x) + 1 \leq 3$. »
Dans l'hypothèse, $x$ est muette : une fois la formule refermée, $x$ ne désigne plus rien, et la seconde phrase parle d'un objet qui n'a jamais été introduit.
Même faute dans « $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{k(k+1)}{2}$ », où l'indice muet $k$ sort de la somme à la place de $n$.
Version correcte : « Soit $x \in \mathbb{R}$. D'après l'hypothèse appliquée à ce réel, $f(x) \leq 2$, donc $f(x) + 1 \leq 3$. Ceci valant pour tout réel $x$, on a $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) + 1 \leq 3$. »
Et pour la somme : « $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ », où seule la lettre libre $n$ figure à droite.

L'assertion $\exists!\, x \in E,\ P(x)$ se lit « il existe un unique $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ ». Elle affirme deux choses : l'existence (au moins un élément convient) et l'unicité (au plus un élément convient). Avec les seuls $\exists$ et $\forall$, elle s'écrit $\exists x \in E,\ \big(P(x) \text{ et } \forall y \in E,\ (P(y) \Rightarrow y = x)\big)$, ou, en séparant les deux parties, comme dans la seconde formule ci-dessous. Ainsi $\exists!\, x \in \mathbb{R},\ 2x + 1 = 0$ est vraie, tandis que $\exists!\, x \in \mathbb{R},\ x^2 = 1$ est fausse, puisque $1$ et $-1$ conviennent.

Pour tout prédicat $P$, l'assertion $\forall x \in \varnothing,\ P(x)$ est vraie et l'assertion $\exists x \in \varnothing,\ P(x)$ est fausse. La première abrège en effet une implication dont l'hypothèse $x \in \varnothing$ est toujours fausse ; la seconde exige un élément de $\varnothing$. On dit que l'universel est vrai par vacuité. Conséquence : $\forall x \in E,\ P(x)$ n'entraîne $\exists x \in E,\ P(x)$ que si $E$ est non vide.

Expliquer pourquoi l'assertion $\forall x \in \varnothing,\ x > 5$ est vraie et l'assertion $\exists x \in \varnothing,\ x > 5$ est fausse.
L'ensemble vide est une partie de $\mathbb{R}$, sur lequel le prédicat « $x > 5$ » a un sens.
Par définition de la quantification bornée, $\forall x \in \varnothing,\ x > 5$ signifie : pour tout réel $x$, si $x \in \varnothing$, alors $x > 5$.
Soit $x$ un réel. L'assertion $x \in \varnothing$ est fausse, puisque l'ensemble vide n'a aucun élément.
Or une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie ; donc « si $x \in \varnothing$, alors $x > 5$ » est vraie.
Ceci valant pour tout réel $x$, l'assertion $\forall x \in \varnothing,\ x > 5$ est vraie.
De même, $\exists x \in \varnothing,\ x > 5$ signifie : il existe un réel $x$ tel que $x \in \varnothing$ et $x > 5$.
Soit $x$ un réel. L'assertion $x \in \varnothing$ est fausse, donc la conjonction « $x \in \varnothing$ et $x > 5$ » est fausse.
Ceci valant pour tout réel $x$, aucun réel ne rend cette conjonction vraie : l'assertion $\exists x \in \varnothing,\ x > 5$ est fausse.
Pour la même raison, $\forall x \in \varnothing,\ x < 5$ est vraie elle aussi ; les deux universels ne se contredisent pas, car aucun élément n'aurait à vérifier les deux.
À retenir : on ramène le quantificateur borné à sa forme avec implication ou avec « et » sur un ensemble ambiant, puis on applique la table de vérité du connecteur.

En français mathématique, beaucoup d'énoncés portent un quantificateur sans le dire. L'article « un » d'une vérité générale (« un carré est positif »), un pluriel (« les multiples de 4 sont pairs »), une lettre non introduite dans un théorème (« si $x > 2$, alors $x^2 > 4$ ») ou une identité (« $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ») expriment un universel. En revanche, « $f$ s'annule », « l'équation admet une solution » ou « l'un des termes est nul » expriment un existentiel. Avant de démontrer ou de nier un tel énoncé, on écrit ses quantificateurs, domaines compris.

Signal : un énoncé en français sans « pour tout » ni « il existe », une identité, ou un théorème en « si … alors » dont les lettres ne sont pas introduites.
1) Relever chaque lettre et chaque groupe nominal qui désigne un objet non fixé : « un carré », « $x$ », « les suites ».
2) Décider si l'énoncé affirme la propriété pour tous ces objets ou pour au moins un : une vérité générale ou une identité donne $\forall$ ; « s'annule », « admet », « il y a », « l'un des » donnent $\exists$ ; l'article « un » ne tranche pas à lui seul. Écrire la décision et sa raison : « « Un carré » désigne le carré d'un réel quelconque : l'énoncé exprime une vérité générale, donc un universel. » ou « « S'annule » signifie que la fonction prend la valeur $0$ en au moins un réel : c'est un existentiel. »
3) Donner à chaque variable son ensemble, lu dans le contexte, et l'écrire : « La variable $x$ parcourt $\mathbb{R}$. »
4) Écrire la formule, quantificateurs en tête, en plaçant « si … alors » sous le $\forall$ sous forme d'implication : « L'énoncé s'écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$. »
5) Relire la formule obtenue à voix haute et vérifier qu'elle redit l'énoncé, ni plus ni moins.

Écrire avec des quantificateurs les énoncés suivants : (a) « un carré est positif » ; (b) « si un entier est multiple de 4, il est pair » ; (c) « la fonction $g : x \mapsto x^2 - 2$ s'annule » ; (d) « $9$ est le carré d'un entier ».
(a) « Un carré » désigne le carré d'un réel quelconque : l'article exprime une vérité générale, donc un universel.
L'énoncé s'écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$.
(b) « Un entier » est quelconque, et la tournure « si …, il » place la propriété sous une implication.
L'énoncé s'écrit $\forall n \in \mathbb{Z},\ \big((\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 4k) \Rightarrow (\exists j \in \mathbb{Z},\ n = 2j)\big)$.
(c) « S'annule » signifie que $g$ prend la valeur $0$ en au moins un réel : c'est un existentiel.
L'énoncé s'écrit $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 2 = 0$ ; il est vrai, car $x = \sqrt{2}$ convient.
(d) Ici « un entier » ne désigne pas un entier quelconque : l'énoncé affirme qu'au moins un entier a pour carré $9$, donc c'est un existentiel.
L'énoncé s'écrit $\exists n \in \mathbb{Z},\ n^2 = 9$ ; il est vrai, car $n = 3$ convient.
À retenir : l'article « un » ne décide pas du quantificateur, puisque « un entier » est universel en (b) et existentiel en (d) ; c'est le sens de la phrase, vérité générale ou existence d'un objet, qui le fixe.

Une définition usuelle se traduit par une formule dont les seules lettres libres sont les objets dont on parle. Pour $f : I \to \mathbb{R}$, la fonction $f$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) \leq M$ ; elle est croissante sur $I$ si $\forall (x, y) \in I^2,\ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$ ; elle est constante si $\exists c \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) = c$ ; elle s'annule sur $I$ si $\exists x \in I,\ f(x) = 0$. Le majorant $M$ et la constante $c$ sont quantifiés avant $x$ : ils ne dépendent pas de $x$.

Signal : l'énoncé emploie un mot défini (« majorée », « croissante », « s'annule ») qu'il faut démontrer, nier ou utiliser.
1) Écrire la définition en français complet, en nommant chaque objet : « il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x$ de $I$, $f(x) \leq M$ ».
2) Remplacer chaque « pour tout » et chaque « il existe » par son symbole, dans l'ordre de la phrase, en indiquant l'ensemble de la variable.
3) Traduire les liaisons : « si … alors » devient une implication placée sous le $\forall$, « tel que » devient la virgule qui suit le $\exists$.
4) Contrôler les lettres libres : il ne doit rester que les objets donnés par l'énoncé, ici $f$ et $I$.
5) Tester la formule sur un exemple et sur un contre-exemple connus : $x \mapsto -x^2$ est majorée sur $\mathbb{R}$ et $x \mapsto x$ ne l'est pas ; $x \mapsto x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et $x \mapsto -x$ ne l'est pas.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Écrire avec des quantificateurs « $f$ est majorée », « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ », « $f$ est constante » et « $f$ s'annule sur $[0, 1]$ ».
Dire que $f$ est majorée, c'est dire qu'il existe un réel $M$ tel que, pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$ :
$\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leq M$.
Le réel $M$ est quantifié avant $x$, car un même majorant doit convenir à tous les réels.
Dire que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, c'est dire que, pour tous réels $x$ et $y$, si $x \leq y$, alors $f(x) \leq f(y)$ :
$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$.
L'implication est placée sous le quantificateur, car la condition $x \leq y$ porte sur les variables $x$ et $y$.
Dire que $f$ est constante, c'est dire qu'il existe un réel $c$ tel que, pour tout réel $x$, $f(x) = c$ :
$\exists c \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = c$.
Dire que $f$ s'annule sur $[0, 1]$, c'est dire que $f$ prend la valeur $0$ en au moins un réel de $[0, 1]$ :
$\exists x \in [0, 1],\ f(x) = 0$.
Dans les quatre formules, la seule lettre libre est $f$, donnée par l'énoncé ; les lettres $M$, $c$, $x$ et $y$ sont muettes.
À retenir : on écrit d'abord la définition en français complet, puis on remplace, dans l'ordre, chaque « pour tout » et chaque « il existe » par son symbole suivi de son ensemble.

Pour tous prédicats $P$ et $Q$ sur un ensemble $E$, le quantificateur universel se distribue sur « et » et le quantificateur existentiel sur « ou » : $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ et } Q(x))$ équivaut à $(\forall x \in E,\ P(x)) \text{ et } (\forall x \in E,\ Q(x))$, et $\exists x \in E,\ (P(x) \text{ ou } Q(x))$ équivaut à $(\exists x \in E,\ P(x)) \text{ ou } (\exists x \in E,\ Q(x))$. Ces deux équivalences valent sans condition, même si $E$ est vide. On peut donc démontrer un « et » universel en deux temps, et chercher le témoin d'un « ou » existentiel du côté de l'une ou l'autre propriété.

Pour tous prédicats $P$ et $Q$ sur $E$, si $(\forall x \in E,\ P(x))$ ou $(\forall x \in E,\ Q(x))$, alors $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ ou } Q(x))$. La réciproque est fausse en général : tout réel vérifie « $x \geq 0$ ou $x \leq 0$ », mais « tout réel est positif » et « tout réel est négatif » sont fausses toutes les deux. Dans la forme séparée, un même prédicat sert à tous les éléments ; dans la forme groupée, le prédicat vérifié peut changer d'un élément à l'autre.

Pour tous prédicats $P$ et $Q$ sur $E$, si $\exists x \in E,\ (P(x) \text{ et } Q(x))$, alors $(\exists x \in E,\ P(x))$ et $(\exists x \in E,\ Q(x))$. La réciproque est fausse en général : il existe un réel strictement positif et il existe un réel strictement négatif, mais aucun réel n'est les deux à la fois. Dans la forme groupée, un même témoin vérifie les deux propriétés ; dans la forme séparée, les deux témoins peuvent être différents.

Signal : un quantificateur porte sur un « et » ou sur un « ou », et l'on veut séparer les deux propriétés, ou au contraire les regrouper.
1) Identifier le couple. $\forall$ avec « et », ou $\exists$ avec « ou » : la distribution vaut dans les deux sens, et l'on cite la règle. Pour démontrer un « et » universel en deux temps : « Montrons d'abord que $\forall x \in E,\ P(x)$. […] Montrons ensuite que $\forall x \in E,\ Q(x)$. […] Par distribution du « pour tout » sur « et », on a $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ et } Q(x))$. » Pour exploiter un « ou » existentiel : « Fixons $a \in E$ tel que $P(a)$ ou $Q(a)$. Premier cas : $P(a)$ ; alors $a$ témoigne de $\exists x \in E,\ P(x)$. Second cas : $Q(a)$ ; alors $a$ témoigne de $\exists x \in E,\ Q(x)$. » Pour démontrer un « ou » existentiel, il suffit d'exhiber un élément qui vérifie $P$, ou un élément qui vérifie $Q$.
2) $\forall$ avec « ou », ou $\exists$ avec « et » : un seul sens est valide, celui qui va vers l'énoncé le plus faible. On passe de $(\forall x \in E,\ P(x))$ ou $(\forall x \in E,\ Q(x))$ à $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ ou } Q(x))$, et de $\exists x \in E,\ (P(x) \text{ et } Q(x))$ à $(\exists x \in E,\ P(x))$ et $(\exists x \in E,\ Q(x))$.
3) Pour démontrer le sens valide de $\forall$ sur « ou » : « Supposons que $\forall t \in E,\ P(t)$ ou que $\forall t \in E,\ Q(t)$. Soit $x \in E$. Montrons que $P(x)$ ou $Q(x)$. », puis traiter les deux cas de l'hypothèse.
4) Pour démontrer le sens valide de $\exists$ sur « et » : « Supposons qu'il existe $a \in E$ tel que $P(a)$ et $Q(a)$, et fixons un tel $a$. », puis montrer que $a$ témoigne de chacun des deux existentiels.
5) Pour réfuter le sens interdit, choisir $E$, $P$ et $Q$ concrets, établir que l'hypothèse est vraie, puis que la conclusion est fausse, en mettant en défaut chacun des deux universels, ou en montrant qu'aucun élément ne vérifie les deux propriétés.

(1) Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R},\ (f(x) > 0 \text{ et } f(x) \leq 1)$. (2) Soient $g, h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $\exists x \in \mathbb{R},\ (g(x) > 0 \text{ ou } h(x) > 0)$. Démontrer que $(\exists x \in \mathbb{R},\ g(x) > 0)$ ou $(\exists x \in \mathbb{R},\ h(x) > 0)$.
(1) Montrons d'abord que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) > 0$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $x^2 \geq 0$, donc $1 + x^2 \geq 1 > 0$. Comme l'inverse d'un réel strictement positif est strictement positif, $f(x) > 0$.
Ceci valant pour tout réel $x$, on a $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) > 0$.
Montrons ensuite que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leq 1$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $1 + x^2 \geq 1 > 0$ ; la fonction inverse étant décroissante sur $\mathopen{]}0, +\infty\mathclose{[}$, on obtient $\frac{1}{1 + x^2} \leq 1$, c'est-à-dire $f(x) \leq 1$.
Ceci valant pour tout réel $x$, on a $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leq 1$.
Par distribution du « pour tout » sur « et », on a $\forall x \in \mathbb{R},\ (f(x) > 0 \text{ et } f(x) \leq 1)$.
(2) Par hypothèse, fixons un réel $a$ tel que $g(a) > 0$ ou $h(a) > 0$.
Premier cas : $g(a) > 0$. Alors le réel $a$ témoigne de $\exists x \in \mathbb{R},\ g(x) > 0$.
Second cas : $h(a) > 0$. Alors le réel $a$ témoigne de $\exists x \in \mathbb{R},\ h(x) > 0$.
Dans les deux cas, $(\exists x \in \mathbb{R},\ g(x) > 0)$ ou $(\exists x \in \mathbb{R},\ h(x) > 0)$.
À retenir : un « et » universel se démontre en deux temps puis se regroupe en citant la règle ; un « ou » existentiel s'exploite en fixant un témoin, puis en distinguant les deux cas.

Soient $E$ un ensemble et $P$, $Q$ deux prédicats sur $E$. Démontrer que si $(\forall x \in E,\ P(x))$ ou $(\forall x \in E,\ Q(x))$, alors $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ ou } Q(x))$. Montrer ensuite, avec $E = \mathbb{R}$, $P(x)$ : « $x \geq 0$ » et $Q(x)$ : « $x \leq 0$ », que la réciproque est fausse.
Sens direct. Supposons que $\forall t \in E,\ P(t)$ ou que $\forall t \in E,\ Q(t)$ (la variable muette est renommée $t$ pour ne pas la confondre avec l'élément fixé ensuite).
Soit $x \in E$. Montrons que $P(x)$ ou $Q(x)$.
Premier cas : $\forall t \in E,\ P(t)$. Appliquée à $t = x$, cette hypothèse donne $P(x)$, donc « $P(x)$ ou $Q(x)$ » est vraie.
Second cas : $\forall t \in E,\ Q(t)$. Appliquée à $t = x$, elle donne $Q(x)$, donc « $P(x)$ ou $Q(x)$ » est vraie.
Dans les deux cas, « $P(x)$ ou $Q(x)$ » est vraie. Ceci valant pour tout $x \in E$, on a $\forall x \in E,\ (P(x) \text{ ou } Q(x))$.
Réciproque. Prenons $E = \mathbb{R}$, $P(x)$ : « $x \geq 0$ » et $Q(x)$ : « $x \leq 0$ ».
Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x \geq 0$, alors $P(x)$ est vraie ; sinon $x < 0$, donc $x \leq 0$ et $Q(x)$ est vraie. Ainsi $\forall x \in \mathbb{R},\ (x \geq 0 \text{ ou } x \leq 0)$ est vraie.
En revanche, $\forall x \in \mathbb{R},\ x \geq 0$ est fausse, car le réel $-1$ vérifie $-1 < 0$ ; et $\forall x \in \mathbb{R},\ x \leq 0$ est fausse, car le réel $1$ vérifie $1 > 0$.
Donc « $(\forall x \in \mathbb{R},\ x \geq 0)$ ou $(\forall x \in \mathbb{R},\ x \leq 0)$ » est fausse alors que $\forall x \in \mathbb{R},\ (x \geq 0 \text{ ou } x \leq 0)$ est vraie : la réciproque est fausse.
À retenir : on démontre le sens vrai par « Soit $x \in E$ » suivi d'une disjonction de cas sur l'hypothèse, et on réfute la réciproque en mettant en défaut chacun des deux universels séparément.

Soient $E$ un ensemble et $P$, $Q$ deux prédicats sur $E$. Démontrer que si $\exists x \in E,\ (P(x) \text{ et } Q(x))$, alors $(\exists x \in E,\ P(x))$ et $(\exists x \in E,\ Q(x))$. Montrer ensuite, avec $E = \mathbb{R}$, $P(x)$ : « $x > 0$ » et $Q(x)$ : « $x < 0$ », que la réciproque est fausse.
Sens direct. Supposons qu'il existe $a \in E$ tel que $P(a)$ et $Q(a)$, et fixons un tel $a$.
L'élément $a$ appartient à $E$ et vérifie $P(a)$, donc $\exists x \in E,\ P(x)$.
Le même élément $a$ vérifie $Q(a)$, donc $\exists x \in E,\ Q(x)$.
Ainsi $(\exists x \in E,\ P(x))$ et $(\exists x \in E,\ Q(x))$.
Réciproque. Prenons $E = \mathbb{R}$, $P(x)$ : « $x > 0$ » et $Q(x)$ : « $x < 0$ ».
Le réel $1$ vérifie $1 > 0$, donc $\exists x \in \mathbb{R},\ x > 0$ ; le réel $-1$ vérifie $-1 < 0$, donc $\exists x \in \mathbb{R},\ x < 0$. L'hypothèse de la réciproque est vraie.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x > 0$, alors « $x < 0$ » est fausse ; sinon « $x > 0$ » est fausse. Dans les deux cas, « $x > 0$ et $x < 0$ » est fausse.
Aucun réel ne vérifie les deux propriétés, donc $\exists x \in \mathbb{R},\ (x > 0 \text{ et } x < 0)$ est fausse : la réciproque est fausse.
À retenir : un « il existe » séparé en deux fournit deux témoins qui peuvent être distincts ; pour réfuter le regroupement, on montre qu'aucun élément ne vérifie les deux propriétés à la fois.

Ligne fautive : « Tout entier est pair ou impair, donc tout entier est pair ou tout entier est impair. »
La première phrase s'écrit $\forall n \in \mathbb{Z},\ (n \text{ pair ou } n \text{ impair})$ et elle est vraie. La seconde s'écrit $(\forall n \in \mathbb{Z},\ n \text{ pair})$ ou $(\forall n \in \mathbb{Z},\ n \text{ impair})$ et elle est fausse, puisque $1$ n'est pas pair et $2$ n'est pas impair. Le « donc » fait passer de la forme groupée à la forme séparée : c'est le sens interdit pour $\forall$ sur « ou ».
Version correcte : « Soit $n \in \mathbb{Z}$. L'entier $n$ est pair ou impair. Premier cas : $n$ est pair… Second cas : $n$ est impair… »
On raisonne sur cet entier $n$, sans jamais conclure que l'un des deux cas vaut pour tous les entiers.

Soient $P$ un prédicat sur $E$ et $A$ une assertion où la variable $x$ n'apparaît pas. Alors $\forall x \in E,\ (A \Rightarrow P(x))$ équivaut à $A \Rightarrow (\forall x \in E,\ P(x))$ : pour démontrer « si $A$, alors pour tout $x \in E$, $P(x)$ », on peut écrire « Supposons $A$ » avant ou après « Soit $x \in E$ ». De même, $\forall x \in E,\ (P(x) \Rightarrow A)$ équivaut à $(\exists x \in E,\ P(x)) \Rightarrow A$ : sorti de l'hypothèse, le quantificateur change de nature, et c'est ce qui autorise à exploiter une hypothèse « il existe $x$ tel que $P(x)$ » en fixant un tel $x$, pourvu que la conclusion $A$ ne contienne pas $x$. Pour les connecteurs, $\forall x \in E,\ (A \text{ ou } P(x))$ équivaut à $A$ ou $\forall x \in E,\ P(x)$, et $\exists x \in E,\ (A \text{ et } P(x))$ équivaut à $A$ et $\exists x \in E,\ P(x)$ ; les deux autres combinaisons exigent $E$ non vide (voir le formulaire).

Pour tous prédicats $P$ et $Q$ sur $E$, si $\forall x \in E,\ (P(x) \Rightarrow Q(x))$, alors $(\forall x \in E,\ P(x)) \Rightarrow (\forall x \in E,\ Q(x))$. La réciproque est fausse : $(\forall x \in \mathbb{R},\ x \geq 0) \Rightarrow (\forall x \in \mathbb{R},\ x \geq 1)$ est vraie, alors que $x \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ échoue pour $x = \frac{1}{2}$. La forme groupée relie $P$ et $Q$ élément par élément ; la forme séparée ne compare que deux assertions globales. De même, $\forall x \in E,\ (P(x) \Rightarrow Q(x))$ entraîne $(\exists x \in E,\ P(x)) \Rightarrow (\exists x \in E,\ Q(x))$, sans réciproque.