Lire un énoncé

Un énoncé à démontrer se ramène presque toujours à la forme « pour tous les objets introduits, si les hypothèses sont vraies, alors la conclusion est vraie ». Les hypothèses sont ce que l'on a le droit d'utiliser : elles suivent « soit … tel que », « on suppose que », « si », et se cachent aussi dans la nature des objets (« soit $f$ dérivable » contient l'hypothèse « $f$ est dérivable »). La conclusion est ce qui suit « alors » ou « montrer que » ; le but est ce qu'il reste à établir à un instant donné de la preuve, et il se précise à mesure qu'on avance. Ce qui figure dans les hypothèses ne se démontre pas ; ce qui figure dans la conclusion ne s'utilise pas.

Une définition donne un nom à un objet ou à une propriété : elle ne se démontre pas, elle se cite. Un axiome est admis sans preuve et sert de point de départ à une théorie (en géométrie euclidienne : par deux points distincts passe une unique droite). Un théorème est un résultat démontré et important, une proposition un résultat démontré de moindre portée, un lemme un résultat intermédiaire démontré pour servir une autre preuve, un corollaire une conséquence rapide d'un théorème ou d'une proposition. Une conjecture est un énoncé que l'on croit vrai sans en connaître de preuve (Goldbach : tout entier pair supérieur ou égal à $4$ est somme de deux nombres premiers) : elle ne peut jamais servir d'argument.

Une donnée est un objet fixé par l'énoncé (« soit $f$ … ») mais quelconque : ce que l'on démontre doit valoir pour chaque choix possible. Un paramètre est une donnée dont dépend la réponse (« soit $m \in \mathbb{R}$, résoudre $mx = 1$ ») : il reste fixé du début à la fin, on ne lui attribue aucune valeur, et la réponse s'exprime en fonction de lui, parfois selon des cas. Une inconnue est une lettre dont on cherche toutes les valeurs qui vérifient une condition. Une variable muette n'a de sens qu'à l'intérieur du symbole qui la lie ($\forall$, $\exists$, $\sum$, $\int$, ensemble défini par une propriété) : on peut la renommer sans changer le sens, et elle n'existe pas au dehors.

Montrer, démontrer, établir, justifier, prouver : la conclusion est écrite dans l'énoncé, il en faut une démonstration complète ; vérifier a la même exigence, la preuve étant souvent un calcul direct. Déterminer, trouver, résoudre : la réponse n'est pas donnée, il faut la trouver, puis prouver qu'elle convient et, quand la consigne demande tous les objets (« déterminer les », « résoudre »), qu'il n'y en a pas d'autre. Calculer : obtenir une valeur ou une expression simplifiée, par un calcul dont chaque étape est justifiée. Étudier (les variations, la convergence, la parité) : conclure sur la propriété nommée, quelle que soit la réponse, sans la supposer vraie d'avance. Sauf mention « sans justification », toute réponse se justifie ; seules quelques consignes n'attendent pas de preuve : conjecturer (l'affirmation est alors présentée comme non démontrée), énoncer ou rappeler un résultat, tracer une allure, lire graphiquement une valeur.

« En déduire » impose d'utiliser le résultat qui précède (question précédente, ou première partie de la même question) comme argument de la preuve ; une démonstration indépendante, même juste, ne répond pas à la consigne. « À l'aide de la question 2 » ou « en utilisant » désigne précisément le résultat à employer. « On pourra » introduit une indication facultative, que l'on est libre de suivre. La déduction se rédige comme toute preuve : on cite le résultat, on précise les valeurs auxquelles on l'applique et on vérifie ses hypothèses.

Un résultat est admis quand l'énoncé le déclare (« on admet que », « on pourra admettre ») ou quand il figure au cours : on l'utilise sans le démontrer, en le citant. Le résultat d'une question que l'on n'a pas su traiter reste utilisable dans les questions suivantes, à condition de l'écrire : « en admettant le résultat de la question 2 ». En revanche, ce que la question demande d'établir est à démontrer : on ne peut ni le déclarer connu, ni s'en servir, même sous une forme déguisée, dans sa propre preuve. S'appuyer sur une question ultérieure expose au même cercle vicieux, sauf si l'énoncé y invite.

En français mathématique, positif signifie $\ge 0$ et strictement positif $> 0$ ; « négatif », « croissante », « inférieur à » s'entendent de même au sens large. Après « admet », « possède » ou « il existe », l'article un signifie « au moins un » : « $f$ admet un zéro » n'affirme rien de plus que l'existence d'au moins un zéro, et l'unicité s'annonce par « un unique » ou « un et un seul ». Après « soit », un introduit un objet quelconque (« soit $a$ un zéro de $f$ » désigne n'importe lequel des zéros), et dans une affirmation générale il vaut « tout » (« un carré de réel est positif »). Des objets deux à deux distincts sont différents pour chaque paire, ce qui est bien plus fort que « non tous égaux » ; un énoncé qui dit seulement « distincts » pour plus de deux objets veut en général dire deux à deux distincts. Respectivement apparie deux listes dans l'ordre : « $u$ et $v$ tendent respectivement vers $1$ et $2$ » signifie que $u$ tend vers $1$ et $v$ vers $2$.

Dans une définition, « on dit que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est paire si pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$ » se lit « si et seulement si » : la condition caractérise exactement le mot défini. On l'emploie donc dans les deux sens : de « $f$ est paire » on tire l'égalité pour tout $x$, et pour prouver que $f$ est paire on établit cette égalité. En niant la condition, on obtient ce qu'il faut exhiber pour prouver que $f$ n'est pas paire. Dans un théorème, en revanche, « si » reste une simple implication.

Chaque tournure ci-dessous s'écrit en formule avant de commencer ; les négations se déduisent de ces formes (thème « Nier une proposition »). Deux distinctions à retenir en priorité : « la fonction n'est pas nulle » et « la fonction ne s'annule pas » ne disent pas du tout la même chose, et « au plus un » ne contient aucune existence.

Quand : avant toute démonstration, et dès qu'un énoncé fait plus d'une ligne ou mêle plusieurs objets.
1) Lister les objets introduits par « soit », « on considère », « on note », avec leur nature : réel, entier, fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, suite.
2) Colonne « ce que l'on sait » : une hypothèse par ligne, numérotée et traduite en formule, y compris celles que cache la nature des objets (« dérivable », « non vide ») ; déplier chaque définition utile.
3) Colonne « ce que l'on veut » : la conclusion traduite avec tous ses quantificateurs. Une égalité de fonctions, ou un mot comme « nulle », « bornée », « majorée », cache un « pour tout » ou un « il existe » : l'écrire.
4) Déplacer la condition d'une conclusion en « si… alors » : si la conclusion a la forme « pour tout $x \in E$, si $A(x)$, alors $B(x)$ », on introduit $x$, on range $A(x)$ dans la colonne de gauche et seul $B(x)$ reste à droite.
5) Contrôler qu'aucune ligne restée dans la colonne de droite n'est recopiée à gauche : la conclusion ne sert jamais d'hypothèse.
6) Écrire la première ligne de la copie, qui résume les deux colonnes : « Soit [objets] tel(s) que [hypothèses]. Montrons que [conclusion quantifiée]. », ou, après l'étape 4), « Soit $x \in E$. Supposons $A(x)$. Montrons $B(x)$. »

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que $f' = f$ et $f(0) = 0$. Montrer que $f$ est nulle.
Objet : $f$, fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, donnée quelconque.
Ce que l'on sait : (H1) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; (H2) pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = f(x)$ ; (H3) $f(0) = 0$.
Ce que l'on veut : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 0$.
(H2) et la conclusion cachent chacune un « pour tout » ; (H3) ne porte que sur le point $0$ et ne doit pas être confondue avec la conclusion.
Démonstration.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que $f' = f$ et $f(0) = 0$. Montrons que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 0$.
On pose $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)e^{-x}$.
Par (H1), $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g'(x) = f'(x)e^{-x} - f(x)e^{-x} = \big(f'(x) - f(x)\big)e^{-x}$.
Or, par (H2), $f'(x) - f(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $g'$ est nulle sur $\mathbb{R}$.
Comme $\mathbb{R}$ est un intervalle, $g$ est constante sur $\mathbb{R}$, égale à $g(0) = f(0)e^{0} = 0$ par (H3).
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $f(x)e^{-x} = g(x) = 0$ et $e^{-x} \neq 0$, donc $f(x) = 0$.
Ainsi $f$ est la fonction nulle.
À retenir : on écrit la conclusion avec son quantificateur avant de commencer, et chaque hypothèse numérotée est citée à l'endroit exact où elle sert.

Reformuler avec des quantificateurs l'énoncé « toute suite croissante et majorée converge », en séparant hypothèses et conclusion.
Objet : une suite réelle $u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ; le mot « toute » place un « pour tout » en tête.
Hypothèse 1, « croissante » : $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le u_{n+1}$.
Hypothèse 2, « majorée » : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le M$. Le majorant $M$ n'est pas une donnée : il est lié par le « il existe » à l'intérieur de l'hypothèse.
Conclusion, « converge » : $\exists \ell \in \mathbb{R},\ u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$, car converger signifie tendre vers une limite finie. On n'écrit pas $\lim u_n$ tant que l'existence de cette limite n'est pas établie.
Énoncé complet : $\forall u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}},\ \Big[\big(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le u_{n+1}\big) \text{ et } \big(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le M\big)\Big] \Rightarrow \big(\exists \ell \in \mathbb{R},\ u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\big)$.
Première ligne d'une démonstration : « Soit $u$ une suite réelle croissante et majorée ; on fixe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le M$. Montrons qu'il existe $\ell \in \mathbb{R}$ tel que $u$ converge vers $\ell$. »
L'énoncé n'affirme pas sa réciproque, qui est fausse : la suite de terme général $\frac{(-1)^n}{n+1}$ converge vers $0$ sans être croissante.
À retenir : chaque adjectif de l'énoncé devient une formule quantifiée, et les lettres qui apparaissent dans ces formules sont liées, pas données.

Quand : à la lecture du verbe de la question, avant tout calcul.
1) « Montrer que P » (« justifier », « établir », « vérifier ») : la conclusion est donnée. On l'annonce telle quelle, « Montrons que P. », et tout le travail consiste à la prouver ; aucune autre réponse n'est attendue.
2) « Déterminer les… » (« déterminer tous les… », « déterminer l'ensemble des… », « résoudre ») : la réponse n'est pas écrite. On la cherche au brouillon, puis on démontre deux choses : les objets annoncés conviennent, et aucun autre ne convient.
3) Pour prouver ces deux points, soit une chaîne d'équivalences portant sur l'inconnue (« si et seulement si » justifié à chaque ligne), soit deux temps : « Soit $x$ une solution. [...] Donc $x \in \{\ldots\}$. Réciproquement, [vérification]. »
4) « Déterminer un… tel que » (une primitive, un réel qui majore une suite) : on exhibe un objet et on vérifie qu'il convient ; ni unicité ni liste complète ne sont demandées. « Déterminer le… » (la limite, la valeur de) : l'objet est unique par nature ; on le trouve, puis on justifie qu'il convient.
5) Conclure par une phrase qui nomme l'objet trouvé : « L'ensemble des solutions est $S = \{\ldots\}$. » ou « Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$. »
Exhiber une solution répond à « montrer qu'il en existe une » ou à « déterminer une solution », jamais à « déterminer les solutions ».

Déterminer tous les réels $x$ tels que $x^2 = x$.
Ce que la consigne exige : trouver l'ensemble $S$ des solutions et prouver à la fois que chaque réel annoncé est solution et qu'il n'y en a pas d'autre.
Pourquoi exhiber une solution ne suffit pas : $1^2 = 1$ prouve seulement que $1 \in S$ ; cela ne dit rien des autres réels, et $0$ serait oublié.
Rédaction par équivalences.
Soit $x \in \mathbb{R}$.
On a $x^2 = x$ si et seulement si $x^2 - x = 0$, c'est-à-dire $x(x-1) = 0$.
Un produit de réels est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc $x^2 = x$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = 1$.
Ceci valant pour tout réel $x$, on a $x \in S$ si et seulement si $x \in \{0, 1\}$, donc $S = \{0, 1\}$.
Rédaction en deux temps, également valable.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 = x$. Alors $x(x-1) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$. Ainsi $S \subset \{0, 1\}$.
Réciproquement, $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$, donc $\{0, 1\} \subset S$.
Par double inclusion, $S = \{0, 1\}$.
À retenir : « déterminer » se prouve dans les deux sens, et la dernière ligne donne l'ensemble.

Quand : dès que l'énoncé contient plusieurs lettres, et toujours devant « soit $m \in \mathbb{R}$ » suivi de « résoudre » ou « déterminer ».
1) Pour chaque lettre, repérer où elle est introduite : par « soit » ou « on considère » (donnée ou paramètre), par « déterminer les $x$ tels que » ou « d'inconnue $x$ » (inconnue), sous un $\forall$, un $\exists$, un $\sum$ ou dans un ensemble (variable muette).
2) Donnée ou paramètre : écrire « Soit $m \in \mathbb{R}$, fixé dans toute la suite. », ne lui donner aucune valeur particulière, et distinguer des cas seulement si le calcul l'exige (une division par $m$, par exemple).
3) Inconnue : chercher toutes ses valeurs ; la réponse est un ensemble qui s'exprime en fonction des paramètres.
4) Variable muette : pour s'en servir, la réintroduire (« Soit $x \in \mathbb{R}$. ») ou la remplacer par une valeur (« appliqué à $x = 1$ ») ; ne jamais l'employer hors de son symbole.
5) Conclure pour tout paramètre : « Pour tout $m \in \mathbb{R}$, l'ensemble des solutions est $S_m = \ldots$ »

Soit $a \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble $S_a$ des réels $x$ tels que $x^2 = ax$.
Statut des lettres : $a$ est un paramètre, fixé mais quelconque, que l'on ne choisit pas et que l'on ne calcule pas ; $x$ est l'inconnue ; la réponse dépendra de $a$.
Soit $a \in \mathbb{R}$, fixé dans toute la suite.
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $x^2 = ax$ si et seulement si $x^2 - ax = 0$, c'est-à-dire $x(x-a) = 0$.
Un produit de réels est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc $x^2 = ax$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = a$.
Ceci valant pour tout réel $x$, on a $x \in S_a$ si et seulement si $x \in \{0, a\}$, donc $S_a = \{0, a\}$.
Si $a \neq 0$, cet ensemble a deux éléments ; si $a = 0$, il se réduit à $\{0\}$.
Ainsi, pour tout réel $a$, l'ensemble des solutions est $S_a = \{0, a\}$ ; pour $a = 1$, on retrouve $\{0, 1\}$.
À retenir : le paramètre est fixé par une phrase, reste quelconque jusqu'au bout et figure dans la réponse.

Quand : l'énoncé contient « positif », « négatif », « croissante », l'article « un », « deux à deux distincts », « respectivement », ou un mot défini dans le cours.
1) Souligner chacun de ces mots dans l'énoncé.
2) Repérer sa colonne : le mot figure-t-il dans ce que l'on sait (hypothèses, objets introduits par « soit ») ou dans ce que l'on veut (conclusion) ? Sa traduction utile en dépend.
3) Si le mot est dans la conclusion : « admet un » ou « possède un » devient « il existe au moins un », qui se prouve par un témoin, sans unicité ; « positif » devient $\ge 0$, et obtenir $\ge 0$ suffit, même si la quantité s'annule ; « deux à deux distincts » impose une inégalité par paire, soit $\frac{n(n-1)}{2}$ inégalités pour $n$ objets ; « respectivement » impose chaque propriété à l'objet de même rang.
4) Si le mot est dans les hypothèses : « $f$ admet un point fixe » fournit un point fixe, que l'on ne choisit pas ; « soit $a$ un point fixe de $f$ » désigne un point fixe quelconque, et la preuve doit valoir pour chacun ; « $x$ positif » oblige à traiter aussi le cas $x = 0$ ; « deux à deux distincts » fournit toutes les inégalités par paire, et « respectivement » apparie les listes dans l'ordre où elles sont écrites.
5) Écrire le but traduit sur la copie : « Il s'agit de montrer qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = a$. » ou « Il s'agit d'établir trois inégalités. »
6) Démontrer exactement ce but : ni plus faible (deux inégalités sur trois), ni plus fort sans nécessité (une unicité non demandée, qui peut d'ailleurs être fausse).
7) Conclure avec les mots de l'énoncé : « donc $f$ admet un point fixe ».

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 - 2$. Montrer que $f$ admet un point fixe. Que faudrait-il prouver de plus pour « un unique point fixe » ?
Traduction : « $f$ admet un point fixe » signifie $\exists a \in \mathbb{R},\ f(a) = a$. Il suffit d'exhiber un réel qui convient ; le nombre de points fixes n'est pas en question.
Il s'agit de montrer qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = a$.
On a $f(2) = 2^2 - 2 = 2$.
Ainsi $2$ est un point fixe de $f$, donc $f$ admet un point fixe.
Avec « un unique point fixe », il faudrait en plus établir l'unicité : pour tous réels $a$ et $b$, si $f(a) = a$ et $f(b) = b$, alors $a = b$.
Ici cette unicité est fausse : $f(-1) = (-1)^2 - 2 = -1$, donc $-1$ est un autre point fixe, et $f$ n'admet pas un unique point fixe.
À retenir : « un » se prouve par un témoin, « un unique » par un témoin et un argument d'unicité.

Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Montrer que $x$, $x^2$ et $x^3$ sont deux à deux distincts. Que suffirait-il de prouver pour « non tous égaux » ?
Traduction : les trois nombres sont deux à deux distincts quand $x \neq x^2$, $x \neq x^3$ et $x^2 \neq x^3$. Les deux inégalités $x \neq x^2$ et $x^2 \neq x^3$ n'entraînent pas la troisième, car la relation $\neq$ n'est pas transitive : pour $x = -1$, elles sont vraies, mais $x = x^3$.
Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Il s'agit d'établir trois inégalités.
On a $x^2 - x = x(x-1)$. Comme $x \neq 0$ et $x \neq 1$, les deux facteurs sont non nuls, donc ce produit est non nul, c'est-à-dire $x^2 \neq x$.
On a $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$. Comme $x \notin \{-1, 0, 1\}$, les trois facteurs sont non nuls, donc $x^3 \neq x$.
On a $x^3 - x^2 = x^2(x-1)$. Comme $x \neq 0$ et $x \neq 1$, les deux facteurs sont non nuls, donc $x^3 \neq x^2$.
Ainsi $x$, $x^2$ et $x^3$ sont deux à deux distincts.
« Non tous égaux » est la négation de « $x = x^2$ et $x^2 = x^3$ » : une seule inégalité suffit, par exemple $x^2 \neq x$, vraie dès que $x \notin \{0, 1\}$. Pour $x = -1$, les nombres $-1$, $1$, $-1$ sont non tous égaux sans être deux à deux distincts.
À retenir : on compte les inégalités qu'exige « deux à deux distincts » et on les écrit toutes.

Quand : la question commence par « en déduire », « à l'aide de la question précédente », « en utilisant ».
1) Recopier au brouillon le résultat à utiliser sous forme quantifiée, en repérant ses variables muettes et ses hypothèses.
2) Comparer au but : quelles valeurs donner aux variables muettes, combien de fois appliquer le résultat, quelles hypothèses vérifier pour ces valeurs.
3) Citer à chaque application : « D'après la question 1 appliquée à [valeurs], qui vérifient [hypothèses], on a [...]. »
4) Si la question précédente n'est pas traitée, l'utiliser quand même en le signalant : « En admettant le résultat de la question 1, [...] ».
5) Achever la déduction (somme, produit, passage à la limite) en justifiant chaque passage : « en déduire » ne dispense d'aucune étape.

1) Montrer que pour tous réels $a$ et $b$, $2ab \le a^2 + b^2$. 2) En déduire que pour tous réels $a$, $b$, $c$, $ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2$.
Ce que « en déduire » impose : utiliser l'inégalité de la question 1. Ses lettres $a$ et $b$ y sont muettes : on peut l'appliquer à n'importe quel couple de réels, ici trois fois.
1) Soient $a, b \in \mathbb{R}$.
On a $a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$, et un carré de réel est positif, donc $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$.
Ainsi $2ab \le a^2 + b^2$.
2) Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$.
D'après la question 1 appliquée au couple $(a, b)$, on a $2ab \le a^2 + b^2$.
D'après la question 1 appliquée au couple $(b, c)$, on a $2bc \le b^2 + c^2$.
D'après la question 1 appliquée au couple $(c, a)$, on a $2ca \le c^2 + a^2$.
En sommant ces trois inégalités, on obtient $2(ab + bc + ca) \le 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
En divisant par $2 > 0$, on conclut que $ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2$.
À retenir : on cite la question utilisée à chaque application, avec les valeurs données à ses variables muettes.

Énoncé : « Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. »
Ligne fautive : « Supposons $n$ pair : $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$, donc $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair. »
Cette ligne prouve « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair », c'est-à-dire la réciproque, qui est un autre énoncé : hypothèse et conclusion ont été échangées. On l'évite en écrivant d'abord les deux colonnes : on sait « $n^2$ pair », on veut « $n$ pair ».
Version correcte (par contraposée) : « Supposons $n$ impair : $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$. Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. Ainsi, si $n$ est impair, $n^2$ est impair ; par contraposée, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. »

Énoncé : « Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 - 2x + 2 > 0$. »
Ligne fautive : « Pour $x = 0$, on obtient $2 > 0$ ; pour $x = 1$, $1 > 0$ ; pour $x = 2$, $2 > 0$. Donc l'inégalité est vraie. »
La conclusion commence par « pour tout réel $x$ » : trois valeurs, ou mille, ne disent rien des autres réels. C'est la même faute que de remplacer une donnée quelconque par un cas commode, comme « prenons $f = \exp$ » après « soit $f$ une fonction dérivable ».
Version correcte : « Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$. Or $(x-1)^2 \ge 0$, donc $x^2 - 2x + 2 \ge 1 > 0$. Le réel $x$ étant quelconque, l'inégalité est vraie pour tout réel. »

Énoncé : « Soit $a \in \mathbb{R}$. Déterminer les réels $x$ tels que $x^2 = ax$. »
Ligne fautive 1 : « Prenons $a = 1$ : alors $x^2 = x$, donc $x \in \{0, 1\}$. » Le paramètre a reçu une valeur : un seul cas sur une infinité a été traité.
Ligne fautive 2 : « Si $x \neq 0$, l'égalité impose $a = x$ ; si $x = 0$, tout réel $a$ convient. » On a résolu en $a$, pour $x$ donné : le paramètre est traité comme l'inconnue, alors que la consigne demande, pour $a$ fixé, l'ensemble des réels $x$, qui dépend de $a$.
L'erreur inverse consiste à parler de « la solution $x$ » comme d'un nombre connu avant de l'avoir trouvée, ce qui suppose d'avance son existence et son unicité.
Version correcte : « Soit $a \in \mathbb{R}$ fixé. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 = ax$ si et seulement si $x(x-a) = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $x = 0$ ou $x = a$. Pour tout réel $a$, l'ensemble des solutions est donc $\{0, a\}$. »

Énoncé : « 1) Montrer que pour tous réels $a$ et $b$, $2ab \le a^2 + b^2$. 2) En déduire que pour tous réels $a$, $b$, $c$, $ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2$. »
Ligne fautive (question 2) : « On a $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$, et en développant, $2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \ge 0$. »
Le calcul est juste, mais la consigne imposait d'utiliser la question 1 : la question n'est pas traitée comme demandé et perd tout ou partie de ses points. Dans un problème, refaire la preuve fait aussi perdre le fil que l'énoncé construit pour les questions suivantes.
Version correcte : « Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$. D'après la question 1 appliquée aux couples $(a, b)$, $(b, c)$ et $(c, a)$, on a $2ab \le a^2 + b^2$, $2bc \le b^2 + c^2$ et $2ca \le c^2 + a^2$. En sommant, puis en divisant par $2 > 0$, on obtient $ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2$. »

Énoncé : « Montrer que pour tout réel $x > 0$, $x + \frac{1}{x} \ge 2$. »
Ligne fautive : « Soit $x > 0$. On a $x + \frac{1}{x} \ge 2$, donc $x^2 + 1 \ge 2x$, donc $(x-1)^2 \ge 0$, ce qui est vrai. »
La première ligne écrit comme acquis ce qu'il faut démontrer. Aboutir ensuite à une affirmation vraie ne prouve rien : de l'égalité fausse $-1 = 1$, on tire en élevant au carré l'égalité vraie $1 = 1$. À l'échelle d'un problème, c'est la même faute que de fonder la question 2 sur la question 3 lorsque celle-ci dépend de la question 2.
Version correcte : « Soit $x > 0$. On a $(x-1)^2 \ge 0$, donc $x^2 - 2x + 1 \ge 0$, c'est-à-dire $x^2 + 1 \ge 2x$. Comme $x > 0$, on peut diviser par $x$ sans changer le sens de l'inégalité : $x + \frac{1}{x} \ge 2$. »

Énoncé : « Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 - 2$. 1) Montrer que $f$ admet un point fixe. 2) Soit $a$ un point fixe de $f$. Montrer que $a^2 = a + 2$. »
Ligne fautive 1 (question 1) : « $f(2) = 2$, donc $2$ est un point fixe. Montrons qu'il est unique. » La question ne demande aucune unicité ; ici elle est même fausse, puisque $f(-1) = -1$ : on perd du temps et on s'expose à écrire une affirmation fausse.
Ligne fautive 2 (question 2) : « D'après la question 1, $a = 2$, et $2^2 = 4 = 2 + 2$. » L'article « un » de la question 1 n'a établi qu'une existence : $a$ peut valoir $-1$, et la preuve ne couvre pas ce cas.
Version correcte (question 2) : « Soit $a$ un point fixe de $f$ : on a $f(a) = a$, c'est-à-dire $a^2 - 2 = a$, donc $a^2 = a + 2$. » On n'écrit « le point fixe » qu'après avoir prouvé, ou lu dans l'énoncé, « un unique ».

Énoncé : « Soit $x$ un réel positif. Montrer que $\sqrt{x} \le \frac{1 + x}{2}$. »
Ligne fautive : « Comme $x$ est positif, on peut écrire $\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$. »
En français, positif signifie $x \ge 0$ : l'énoncé autorise $x = 0$, où $\ln x$ n'existe pas, et la preuve ne couvre donc pas tous les cas. L'erreur inverse est aussi fréquente : croire qu'il faut obtenir $f(x) > 0$ pour prouver « $f$ positive », ou juger l'énoncé faux parce que $f$ s'annule. « Croissante » et « inférieur à » s'entendent de même au sens large.
Version correcte : « Soit $x \ge 0$. On a $\frac{1 + x}{2} - \sqrt{x} = \frac{1 - 2\sqrt{x} + x}{2} = \frac{(1 - \sqrt{x})^2}{2} \ge 0$, donc $\sqrt{x} \le \frac{1 + x}{2}$, y compris pour $x = 0$. »

Énoncé : « Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 3$. Montrer que $n$, $2n$ et $n^2$ sont deux à deux distincts. »
Ligne fautive : « On a $n \neq 2n$ car $n \neq 0$, et $2n \neq n^2$ car $n \neq 0$ et $n \neq 2$, donc $n$, $2n$ et $n^2$ sont deux à deux distincts. »
La relation $\neq$ n'est pas transitive : avec $a = c = 0$ et $b = 1$, on a $a \neq b$ et $b \neq c$, mais $a = c$. De même, pour $n = 1$, on a $n \neq 2n$ et $2n \neq n^2$, mais $n = n^2$ : les deux inégalités écrites n'entraînent pas la troisième, qui reste à établir.
Version correcte : « Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 3$ ; en particulier, $n \neq 0$, $n \neq 1$ et $n \neq 2$. On a $2n - n = n \neq 0$, donc $n \neq 2n$. On a $n^2 - 2n = n(n-2)$, produit de deux facteurs non nuls, donc $n^2 \neq 2n$. On a $n^2 - n = n(n-1)$, produit de deux facteurs non nuls, donc $n^2 \neq n$. Ainsi $n$, $2n$ et $n^2$ sont deux à deux distincts. »

Résultat du cours : « Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. »
Ligne fautive : « La fonction valeur absolue est continue en $0$, donc elle est dérivable en $0$. »
Le « si » d'une définition vaut « si et seulement si » ; celui d'un théorème n'est qu'une implication, dont la réciproque peut être fausse. Elle l'est ici : pour $h \neq 0$, le taux d'accroissement $\frac{|h| - |0|}{h}$ vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$, donc n'a pas de limite en $0$.
Version correcte : « La fonction valeur absolue est continue en $0$. Son taux d'accroissement en $0$ vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche, donc elle n'est pas dérivable en $0$. Le théorème, qui va seulement de la dérivabilité vers la continuité, ne permettait aucune conclusion. »