Raisonnement par contraposée

a) Objet fixé : le réel $x$, qui reste un réel quelconque.
$P$ : « $x^2 < x$ ». $Q$ : « $0 < x < 1$ », c'est-à-dire « $0 < x$ et $x < 1$ ».
$\text{non}\ Q$ : « $x \leq 0$ ou $x \geq 1$ ». $\text{non}\ P$ : « $x^2 \geq x$ ».
Contraposée : soit $x$ un réel ; si $x \leq 0$ ou $x \geq 1$, alors $x^2 \geq x$.
Réciproque : soit $x$ un réel ; si $0 < x < 1$, alors $x^2 < x$.
L'encadrement $0 < x < 1$ cache un « et » : sa négation est un « ou ».
Ici, la réciproque est vraie elle aussi : si $0 < x < 1$, alors $x^2 - x = x(x - 1) < 0$, comme produit d'un réel strictement positif et d'un réel strictement négatif. Cela se démontre à part : la forme de l'énoncé ne le garantit pas.
b) Quantificateur extérieur : « pour toute suite réelle $(u_n)$ », conservé tel quel.
$P$ : « $(u_n)$ est croissante et $(u_n)$ est majorée ». $Q$ : « $(u_n)$ converge ».
$\text{non}\ Q$ : « $(u_n)$ ne converge pas ». $\text{non}\ P$ : « $(u_n)$ n'est pas croissante ou $(u_n)$ n'est pas majorée ».
Contraposée : pour toute suite réelle $(u_n)$, si $(u_n)$ ne converge pas, alors $(u_n)$ n'est pas croissante ou n'est pas majorée.
Contraposée conservant l'hypothèse « croissante » : pour toute suite réelle $(u_n)$, si $(u_n)$ est croissante et ne converge pas, alors $(u_n)$ n'est pas majorée.
Réciproque : pour toute suite réelle $(u_n)$, si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est croissante et majorée. Elle est fausse : la suite de terme général $\dfrac{1}{n + 1}$ converge vers $0$ sans être croissante.
c) Objet fixé : la fonction $f$, qui reste une fonction quelconque de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
$P$ : « $f(0) \neq 0$ ». $Q$ : « il existe un réel $x$ tel que $f(x) \neq 0$ ».
$\text{non}\ Q$ : « pour tout réel $x$, $f(x) = 0$ ». $\text{non}\ P$ : « $f(0) = 0$ ».
Contraposée : soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ; si pour tout réel $x$, $f(x) = 0$, alors $f(0) = 0$.
Réciproque : soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ; s'il existe un réel $x$ tel que $f(x) \neq 0$, alors $f(0) \neq 0$.
La réciproque est fausse : la fonction $f : x \mapsto x$ vérifie $f(1) = 1 \neq 0$, mais $f(0) = 0$.
Cela ne remet pas en cause l'énoncé, car une implication et sa réciproque sont deux énoncés distincts. L'énoncé c) est d'ailleurs vrai, puisque sa contraposée l'est : on applique l'hypothèse « pour tout réel $x$, $f(x) = 0$ » au réel $x = 0$.
Bilan : dans les trois cas, seule la contraposée équivaut à l'énoncé par sa forme logique, quelles que soient les propositions en jeu. Une réciproque peut être vraie, comme en a), ou fausse, comme en b) et c) : elle se démontre ou se réfute à part. Le quantificateur situé dans $Q$ a changé en c), la fonction $f$ fixée n'a pas bougé.

1) L'hypothèse « $a^2 - b^2$ n'est pas divisible par $4$ » affirme qu'une écriture n'existe pas : elle ne fournit aucune égalité avec laquelle calculer. La contraposée remplace cette hypothèse négative par l'hypothèse « $a - b$ est pair », qui s'écrit $a - b = 2k$, et fixe comme but une égalité $a^2 - b^2 = 4m$, avec $m$ entier, que le calcul peut atteindre.
2) [1] par contraposée.
[2] $a - b$ est pair.
[3] $a^2 - b^2$ est divisible par $4$.
[4] Supposons.
[5] $a - b = 2k$.
[6] $2k + 2b = 2(k + b)$.
[7] car.
[8] Nous avons démontré la contraposée, donc si $a^2 - b^2$ n'est pas divisible par $4$, alors $a - b$ est impair.
Rédaction complète :
Soient $a, b \in \mathbb{Z}$.
Raisonnons par contraposée : montrons que si $a - b$ est pair, alors $a^2 - b^2$ est divisible par $4$.
Supposons $a - b$ pair : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a - b = 2k$.
Alors $a + b = (a - b) + 2b = 2k + 2b = 2(k + b)$.
Donc $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 2k \times 2(k + b) = 4k(k + b)$, avec $k(k + b) \in \mathbb{Z}$ car $k$ et $b$ sont des entiers.
Ainsi, $a^2 - b^2$ est divisible par $4$.
Nous avons démontré la contraposée, donc si $a^2 - b^2$ n'est pas divisible par $4$, alors $a - b$ est impair.
Remarque : le trou [2] reçoit toujours la négation de la conclusion de l'énoncé. Y placer « $a^2 - b^2$ est divisible par $4$ », puis viser « $a - b$ est pair », ferait démontrer la contraposée de la réciproque, c'est-à-dire un autre énoncé.

Soient $x, y \in \mathbb{R}$ tels que $x > -3$ et $y > -3$.
Comme $x + 3 > 0$ et $y + 3 > 0$, les réels $x + 3$ et $y + 3$ sont non nuls : les deux quotients sont définis.
Raisonnons par contraposée, les réels $x$ et $y$ restant strictement supérieurs à $-3$ : montrons que si $\dfrac{2x + 1}{x + 3} = \dfrac{2y + 1}{y + 3}$, alors $x = y$.
Supposons $\dfrac{2x + 1}{x + 3} = \dfrac{2y + 1}{y + 3}$.
En multipliant les deux membres par $(x + 3)(y + 3)$, puis en simplifiant par $x + 3$ et par $y + 3$, qui sont non nuls, on obtient $(2x + 1)(y + 3) = (2y + 1)(x + 3)$.
En développant les deux membres, on obtient $2xy + 6x + y + 3 = 2xy + 6y + x + 3$.
En retranchant $2xy + x + y + 3$ aux deux membres, on obtient $5x = 5y$.
En divisant par $5$, qui est non nul, on obtient $x = y$.
Nous avons démontré la contraposée pour des réels $x$ et $y$ quelconques strictement supérieurs à $-3$, donc pour tous réels $x$ et $y$ strictement supérieurs à $-3$, si $x \neq y$, alors $\dfrac{2x + 1}{x + 3} \neq \dfrac{2y + 1}{y + 3}$.
À retenir : on ne calcule pas avec deux « différent de », on démontre l'implication entre les égalités correspondantes ; l'hypothèse de cadre $x > -3$ et $y > -3$, jamais niée, justifie les simplifications.