Démontrer une équivalence

a) 1) Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrons l'équivalence par double implication.
2) $(\Rightarrow)$ Supposons $x^2 < x$. Montrons que $0 < x < 1$.
$(\Leftarrow)$ Réciproquement, supposons $0 < x < 1$. Montrons que $x^2 < x$.
3) Le sens réciproque est « si $0 < x < 1$, alors $x^2 < x$ ». Sa contraposée suppose la négation de sa conclusion et vise la négation de son hypothèse. La négation de $x^2 < x$ est $x^2 \geq x$, et celle de « $0 < x$ et $x < 1$ » est « $x \leq 0$ ou $x \geq 1$ ». Contraposée : si $x^2 \geq x$, alors $x \leq 0$ ou $x \geq 1$.

b) L'énoncé a la forme « pour que $P$, il faut et il suffit que $Q$ », avec $P$ : « $n$ est multiple de $6$ » et $Q$ : « $n$ est multiple de $2$ et de $3$ ». « Il faut que $Q$ » dit que $P$ entraîne $Q$ : c'est le sens direct. « Il suffit que $Q$ » dit que $Q$ entraîne $P$ : c'est le sens réciproque.
1) Soit $n \in \mathbb{Z}$. Montrons l'équivalence par double implication.
2) $(\Rightarrow)$ Supposons $n$ multiple de $6$. Montrons que $n$ est multiple de $2$ et de $3$.
$(\Leftarrow)$ Réciproquement, supposons $n$ multiple de $2$ et de $3$. Montrons que $n$ est multiple de $6$.
3) Contraposée du sens réciproque : si $n$ n'est pas multiple de $6$, alors $n$ n'est pas multiple de $2$ ou $n$ n'est pas multiple de $3$. Le « et » de l'hypothèse devient un « ou » dans sa négation.

c) 1) Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Montrons l'équivalence par double implication.
2) $(\Rightarrow)$ Supposons $x < y$. Montrons que $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$.
$(\Leftarrow)$ Réciproquement, supposons $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Montrons que $x < y$.
3) Contraposée du sens réciproque : si $x \geq y$, alors $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{y}$. Les conditions $x > 0$ et $y > 0$ ne se nient pas : elles fixent le cadre, commun aux deux sens et à la contraposée.

1) [A] Soit $x \in \mathbb{R}$.
[B] car $e^{2x} = (e^x)^2$.
[C] car pour tout réel $X$, $X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$ ; appliquée à $X = e^x$, cette identité montre que les deux premiers membres sont égaux.
[D] car un produit de réels est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
[E] car $1 = e^0$, $2 = e^{\ln 2}$ et, l'exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pour tous réels $u$ et $v$, $e^u = e^v$ équivaut à $u = v$.
[F] Ainsi, pour tout réel $x$, $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = \ln 2$.
Chaque maillon se remonte par la règle écrite sur sa ligne : la chaîne est légitime et démontre les deux sens à la fois.

2) Les deux calculs montrent que $0$ et $\ln 2$ sont solutions : ils démontrent seulement le sens réciproque, « si $x = 0$ ou $x = \ln 2$, alors $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ». Il manque le sens direct : toute solution de l'équation est égale à $0$ ou à $\ln 2$. C'est lui qui exclut une troisième solution, et aucune vérification de candidats ne peut le remplacer. La même rédaction « démontrerait » d'ailleurs que $x^3 = x$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = 1$, alors que $-1$ est aussi solution. La conclusion « si et seulement si » n'est donc pas justifiée.

Soient $x$ et $y$ deux réels. Montrons l'équivalence par double implication.
$(\Rightarrow)$ Supposons $x \geq 0$ et $y \geq 0$. Montrons que $x + y \geq 0$ et $xy \geq 0$.
Une somme de deux réels positifs est positive, donc $x + y \geq 0$.
Un produit de deux réels positifs est positif, donc $xy \geq 0$.
$(\Leftarrow)$ Montrons que si $x + y \geq 0$ et $xy \geq 0$, alors $x \geq 0$ et $y \geq 0$, par contraposée : supposons $x < 0$ ou $y < 0$, et montrons que $x + y < 0$ ou $xy < 0$.
Premier cas : $x < 0$.
Si $y > 0$, alors $xy < 0$, car le produit d'un réel strictement négatif et d'un réel strictement positif est strictement négatif.
Si $y \leq 0$, en ajoutant membre à membre $x < 0$ et $y \leq 0$, on obtient $x + y < 0$.
Second cas : $y < 0$. Les assertions « $x + y < 0$ » et « $xy < 0$ » ne changent pas quand on échange $x$ et $y$ ; le premier cas, appliqué en échangeant les rôles de $x$ et de $y$, donne encore $x + y < 0$ ou $xy < 0$.
Dans tous les cas, $x + y < 0$ ou $xy < 0$. Par contraposée, si $x + y \geq 0$ et $xy \geq 0$, alors $x \geq 0$ et $y \geq 0$.
Les deux implications sont établies, donc pour tous réels $x$ et $y$, $x \geq 0$ et $y \geq 0$ si et seulement si $x + y \geq 0$ et $xy \geq 0$.
À retenir : dans le sens où l'hypothèse ne dit rien de chaque réel pris séparément, on contrapose ; la négation du « et » est un « ou », qui fournit les cas à traiter.