Raisonnement par l'absurde

1) Restent acquis : le réel $x$ et la propriété « pour tout réel $\varepsilon > 0$, $|x| \leq \varepsilon$ ». Conclusion à nier : $x = 0$.
Ouverture : « Supposons par l'absurde que $x \neq 0$. »
La propriété portant sur $\varepsilon$ est une hypothèse : on ne la nie pas, on s'en sert. Appliquée à $\varepsilon = \frac{|x|}{2}$, strictement positif puisque $x \neq 0$, elle donne $|x| \leq \frac{|x|}{2}$, donc $|x| \leq 0$, ce qui contredit $|x| > 0$.
2) Rien n'est fixé : l'énoncé entier est la conclusion à nier.
Ouverture : « Supposons par l'absurde qu'il existe un couple $(m, n) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $6m + 9n = 1$. »
L'hypothèse fournit deux entiers nommés sur lesquels calculer : $1 = 3(2m + 3n)$ serait un multiple de $3$.
3) Restent acquis : les réels $x$ et $y$ et l'hypothèse $x^2 + y^2 < 1$. Conclusion à nier : « $|x| < 1$ et $|y| < 1$ ».
Ouverture : « Supposons par l'absurde que $|x| \geq 1$ ou $|y| \geq 1$. »
Le « et » devient « ou », et chaque inégalité stricte devient large. Supposer « $|x| \geq 1$ et $|y| \geq 1$ » ne réfuterait que ce cas particulier ; la preuve traitera séparément le cas $|x| \geq 1$ et le cas $|y| \geq 1$.
Remarque : de $|x| \geq 1$, on tire $x^2 + y^2 \geq x^2 \geq 1$, et de même pour $y$ ; l'hypothèse $x^2 + y^2 < 1$ ne sert donc qu'à être contredite, et l'on rédigerait la preuve par contraposée.
4) Restent acquis : la suite et la relation $u_{n+1} \geq u_n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Conclusion à nier : « la suite n'est pas majorée ».
Ouverture : « Supposons par l'absurde que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ soit majorée : il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$. »
Le réel $M$ est introduit avant « pour tout $n$ », car il ne dépend pas de $n$, et il reste quelconque : lui donner une valeur, par exemple $M = u_0$, ne réfuterait qu'un majorant particulier.
Remarque : la démonstration n'utiliserait la majoration par $M$ qu'à la dernière ligne ; exhiber, pour tout réel $M$, un entier $n$ tel que $u_n > M$ en est une preuve directe (par récurrence, $u_n \geq u_0 + n$).
5) Ici « pour tout entier $n \geq 2$ » fait partie de la conclusion, et deux ouvertures sont correctes.
Nier l'énoncé entier : « Supposons par l'absurde qu'il existe un entier $n \geq 2$ tel que $n^4 + 4$ soit premier. »
Fixer d'abord l'entier, puis nier la propriété : « Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Supposons par l'absurde que $n^4 + 4$ soit premier. » La conclusion devra alors rétablir le quantificateur : « ceci valant pour tout entier $n \geq 2$, … ».
Remarque : $n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$, et pour $n \geq 2$ les deux facteurs sont supérieurs ou égaux à $2$, puisque $n^2 - 2n + 2 = (n - 1)^2 + 1 \geq 2$. Cette factorisation prouve directement l'énoncé : savoir écrire l'ouverture d'un absurde n'oblige pas à l'employer.

1) [a] « $\sqrt{3}$ soit rationnel » : c'est la négation exacte de « $\sqrt{3}$ est irrationnel », sans condition supplémentaire sur la fraction.
[b] « le résultat admis (R1) » : l'hypothèse de l'absurde ne fournit aucune condition sur $p$ et $q$ ; « non tous deux multiples de $3$ » vient d'un résultat, que l'on cite.
[c] « non tous deux multiples de $3$ ».
[d] « (R2) ».
[e] « $9k^2 = 3q^2$ ».
[f] « Les entiers $p$ et $q$ sont donc tous deux multiples de $3$, ce qui contredit le choix de $p$ et $q$ non tous deux multiples de $3$. »
[g] « L'hypothèse “$\sqrt{3}$ est rationnel” est donc fausse : $\sqrt{3}$ est irrationnel. »
2) Le résultat (R1) reste vrai avec $4$ : l'argument du plus petit élément s'applique de la même façon. Le résultat (R2) devient faux : pour $n = 2$, $n^2 = 4$ est multiple de $4$, mais $2$ ne l'est pas.
Les deux lignes qui invoquent (R2), « $p$ est multiple de $4$ » et « $q$ est multiple de $4$ », perdent leur justification. On le voit sur l'écriture $\sqrt{4} = \frac{2}{1}$, qui respecte (R1) : on a bien $p^2 = 4q^2$, mais $p = 2$ n'est pas multiple de $4$, et la chaîne s'arrête là.
La « contradiction » finale serait donc fabriquée par un résultat faux, et elle « démontrerait » que $\sqrt{4} = 2$ est irrationnel. Une contradiction ne vaut que si chacune des étapes qui y mènent est justifiée : c'est ce que l'on vérifie avant d'écrire « ce qui contredit ».

Supposons par l'absurde qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) \leq 0$.
Comme $f$ ne s'annule pas sur $[0, 1]$ et que $c \in [0, 1]$, on a $f(c) \neq 0$, donc $f(c) < 0$.
Comme $f(0) > 0$ et $f(c) < 0$, on a $c \neq 0$, donc $0 < c \leq 1$.
La fonction $f$ est continue sur $[0, c]$, qui est inclus dans $[0, 1]$, et $f(c) < 0 < f(0)$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $d \in [0, c]$ tel que $f(d) = 0$.
Comme $[0, c] \subset [0, 1]$, le réel $d$ appartient à $[0, 1]$ et vérifie $f(d) = 0$, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle $f$ ne s'annule pas sur $[0, 1]$.
L'hypothèse « il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) \leq 0$ » est donc fausse : pour tout $x \in [0, 1]$, $f(x) > 0$.
À retenir : la négation de « pour tout $x \in [0, 1]$, $f(x) > 0$ » nomme un réel $c$ et renverse l'inégalité en $f(c) \leq 0$ ; les hypothèses de l'énoncé servent toutes ensuite, et c'est l'une d'elles que la contradiction heurte.

Supposons par l'absurde qu'il existe un couple $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $x^2 - y^2 = 2$.
Posons $a = x - y$ et $b = x + y$ : ce sont deux entiers, et $ab = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = 2$.
Comme $b = a + 2y$ avec $y \in \mathbb{Z}$, les entiers $a$ et $b$ ont la même parité.
Le produit de deux entiers impairs est impair ; or $ab = 2$ est pair, donc $a$ et $b$ ne sont pas tous deux impairs.
Ayant la même parité, $a$ et $b$ sont donc tous deux pairs : soient $k, l \in \mathbb{Z}$ tels que $a = 2k$ et $b = 2l$.
Alors $2 = ab = 4kl$, donc $1 = 2kl$ avec $kl \in \mathbb{Z}$ : l'entier $1$ serait pair.
C'est impossible, puisque $1$ est impair.
L'hypothèse est donc fausse : il n'existe aucun couple $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $x^2 - y^2 = 2$.
À retenir : l'hypothèse de l'absurde fournit un couple nommé ; on calcule sur lui jusqu'à une propriété impossible, en écrivant pourquoi elle l'est.

Supposons par l'absurde que l'équation admette une solution rationnelle : il existe $r \in \mathbb{Q}$ tel que $ar^2 + br + c = 0$.
D'après le résultat admis, il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, non tous deux pairs, tels que $r = \frac{p}{q}$.
En remplaçant $r$ par $\frac{p}{q}$ dans cette égalité, puis en multipliant par $q^2$, non nul, on obtient $ap^2 + bpq + cq^2 = 0$.
Posons $N = ap^2 + bpq + cq^2$ : c'est un entier, et $N = 0$, donc $N$ est pair.
Les entiers $p$ et $q$ n'étant pas tous deux pairs, trois cas sont possibles.
Premier cas : $p$ et $q$ sont impairs. Alors $ap^2$, $bpq$ et $cq^2$ sont des produits d'entiers impairs, donc impairs, et $N$, somme de trois entiers impairs, est impair.
Deuxième cas : $p$ est pair et $q$ est impair. Alors $ap^2$ et $bpq$ sont pairs, comme multiples de $p$, et $cq^2$ est impair ; $N$ est donc impair.
Troisième cas : $p$ est impair et $q$ est pair. Alors $bpq$ et $cq^2$ sont pairs, comme multiples de $q$, et $ap^2$ est impair ; $N$ est donc impair.
Dans tous les cas, $N$ est impair ; or $N$ est pair, ce qui est impossible, un entier ne pouvant être à la fois pair et impair.
L'hypothèse est donc fausse : l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'admet aucune solution rationnelle.
À retenir : l'écriture $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ non tous deux pairs n'est pas fournie par l'hypothèse de l'absurde ; on la tire du résultat admis, cité au moment où l'on s'en sert, et c'est elle qui réduit la disjonction à trois cas.

L'erreur est dans la première ligne : l'hypothèse de l'absurde est plus forte que la négation de la conclusion. Nier « $f$ n'est pas majorée » donne « il existe un réel $M$ tel que pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$ », sans affirmer qu'un réel $x_0$ vérifie $f(x_0) = M$. En écrivant « notons $M$ son maximum », l'étudiant suppose en plus que $f$ atteint une plus grande valeur.
Pourquoi cela invalide la preuve : la contradiction réfute seulement l'hypothèse renforcée « $f$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ ». Or une fonction peut être majorée sans admettre de maximum : $x \mapsto \frac{x^2}{1 + x^2}$ est majorée par $1$ sur $\mathbb{R}$ et ne prend jamais la valeur $1$. Le texte démontre donc que $f$ n'a pas de maximum, ce qui est plus faible que ce qui est demandé ; toutes ses autres lignes sont justes.
Rédaction correcte, avec l'hypothèse exacte :
Supposons par l'absurde que $f$ soit majorée sur $\mathbb{R}$ : il existe un réel $M$ tel que pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$.
Posons $t = |M| + 2$. Alors $t \geq 2$, donc $t^2 \geq 4$ et $t^2 - 3 \geq 1$.
Comme $t > 0$, on en déduit $f(t) = t(t^2 - 3) \geq t$.
Ainsi $f(t) \geq |M| + 2 > |M| \geq M$, donc $f(t) > M$.
Cela contredit l'inégalité $f(t) \leq M$, que donne l'hypothèse appliquée au réel $t$.
L'hypothèse est donc fausse : $f$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$.
Remarque : dans cette rédaction, la propriété « pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$ » n'intervient qu'à la ligne de la contradiction ; seul le réel $M$ a servi avant. La preuve se rédige donc directement.
Soit $M$ un réel. Posons $t = |M| + 2$.
Alors $t \geq 2$, donc $t^2 - 3 \geq 1$, et comme $t > 0$, $f(t) = t(t^2 - 3) \geq t$.
Ainsi $f(t) \geq |M| + 2 > M$ : le réel $M$ ne majore pas $f$ sur $\mathbb{R}$.
Ceci valant pour tout réel $M$, $f$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$.