Principe du plus petit élément

Partie $A$. C'est une partie de $\mathbb{N}$, non vide car $8^2 = 64 > 50$, donc $8 \in A$ : le principe du plus petit élément s'applique. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \leq 7$ ; alors $n^2 \leq 49 \leq 50$, donc $n \notin A$. Par contraposée, tout $n \in A$ vérifie $n \geq 8$. Ainsi $8$ appartient à $A$ et minore $A$ : $\min A = 8$.

Partie $B$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 + n = n(n+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair : ce nombre est pair. Donc $B$ est vide ; le principe ne s'applique pas, faute de l'hypothèse « non vide », et en effet une partie vide n'a pas de plus petit élément.

Partie $C$. C'est une partie de $\mathbb{Z}$, non vide car $0 \in C$. Elle est minorée par $-5$ : si $k \leq -6$, alors $-k \geq 6$, donc $k^2 = (-k)^2 \geq 36 > 30$ et $k \notin C$ ; par contraposée, tout $k \in C$ vérifie $k \geq -5$. La propriété des parties non vides et minorées de $\mathbb{Z}$ s'applique. Comme $(-5)^2 = 25 < 30$, on a $-5 \in C$, et $-5$ minore $C$ : $\min C = -5$.

Partie $D$. Pour $k \in \mathbb{Z}$, l'inégalité $2k + 5 < 0$ équivaut à $k < -\frac{5}{2}$, c'est-à-dire à $k \leq -3$. La partie est non vide, car $-3 \in D$, mais aucun minorant n'est disponible : aucune des trois propriétés ne s'applique. Cherchons directement : $D$ n'a pas de plus petit élément. Supposons par l'absurde que $k_0$ en soit un. Alors $k_0 - 1$ est un entier et $2(k_0 - 1) + 5 = (2k_0 + 5) - 2 < 0$, donc $k_0 - 1 \in D$ ; or $k_0 - 1 < k_0$, ce qui contredit la minimalité de $k_0$. On en déduit d'ailleurs que $D$ n'est pas minorée, sans quoi la propriété des parties minorées de $\mathbb{Z}$ lui fournirait un plus petit élément.

Partie $E$. C'est une partie de $\mathbb{Q}$, non vide car $4 \in E$, et minorée par $3$ ; mais aucune des trois propriétés ne concerne les rationnels. Cherchons directement : $E$ n'a pas de plus petit élément. Supposons par l'absurde que $r_0$ en soit un, et posons $s = \frac{r_0 + 3}{2}$. C'est un rationnel, et, comme $r_0 > 3$, on a $s - 3 = \frac{r_0 - 3}{2} > 0$ et $r_0 - s = \frac{r_0 - 3}{2} > 0$. Ainsi $s \in E$ et $s < r_0$, ce qui contredit la minimalité de $r_0$.

Partie $F$. C'est encore une partie de $\mathbb{Q}$, et aucune des trois propriétés ne s'y applique. Pourtant $3 \in F$, et tout $r \in F$ vérifie $3 \leq r$ par définition : $3$ appartient à $F$ et minore $F$, donc $\min F = 3$. Les trois propriétés sont des conditions suffisantes d'existence, non des conditions nécessaires : quand une hypothèse manque, la conclusion n'est plus garantie, mais elle peut rester vraie.

Partie $G$. C'est une partie de $\mathbb{N}$, non vide car $2^0 = 1 \leq 1000$. Elle est majorée par $9$ : si $n \geq 10$, alors $2^n \geq 2^{10} = 1024 > 1000$, car la suite $(2^n)$ est croissante, donc $n \notin G$ ; par contraposée, tout $n \in G$ vérifie $n \leq 9$. C'est une partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus grand élément. Comme $2^9 = 512 \leq 1000$, on a $9 \in G$, et $9$ majore $G$ : $\max G = 9$.

1) [a] : $3^n > A$, de sorte que $E = \{ n \in \mathbb{N} : 3^n > A \}$.
[b] : $3^N \geq N + 1 > N \geq A$, donc $3^N > A$.
[c] : une partie non vide de $\mathbb{N}$.
[d] : $0 \notin E$.
[e] : minimalité de $n_0$.
[f] : $3^{n_0 - 1} \leq A$.
La multiplication finale donne bien $3^{n_0}$, puisque $3 \times 3^{n_0 - 1} = 3^{n_0}$.

2) L'article « le » affirme qu'un tel entier existe. Tant qu'aucun élément de $E$ n'a été exhibé, rien dans la rédaction ne le garantit et le lecteur ne peut pas le vérifier ; si la partie était vide, $n_0$ désignerait un objet inexistant et tout ce qui suit serait sans valeur. La phrase ne devient légitime qu'après les deux lignes qui établissent que $E$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$.

3) Pour $A = \frac{1}{5}$, on a $3^0 = 1 > \frac{1}{5}$, donc $0 \in E$ ; comme $0$ minore toute partie de $\mathbb{N}$, on obtient $n_0 = 0$. Alors $3^{n_0} = 1$ et $3A = \frac{3}{5} < 1$ : l'inégalité $3^{n_0} \leq 3A$ est fausse. La ligne qui ne tient plus est « Comme $3^0 = 1 \leq A$, on a $0 \notin E$ » : sans elle, on ne sait plus que $n_0 \geq 1$, l'entier $n_0 - 1 = -1$ n'est pas un entier naturel, et la minimalité ne dit rien de lui. C'est exactement là que servait l'hypothèse $A \geq 1$.

Notons $E$ l'ensemble des entiers naturels $n \geq 8$ qui ne s'écrivent pas $3a + 5b$ avec $a, b \in \mathbb{N}$, et montrons que $E$ est vide.
Supposons par l'absurde que $E$ soit non vide.
$E$ est alors une partie non vide de $\mathbb{N}$ ; elle admet donc un plus petit élément, que l'on note $n_0$.
Ainsi $n_0 \geq 8$, et $n_0$ ne s'écrit pas $3a + 5b$ avec $a, b \in \mathbb{N}$.
Or $8 = 3 \times 1 + 5 \times 1$, $9 = 3 \times 3 + 5 \times 0$ et $10 = 3 \times 0 + 5 \times 2$, donc $8$, $9$ et $10$ n'appartiennent pas à $E$.
Comme $n_0 \geq 8$ et $n_0 \notin \{8, 9, 10\}$, on a $n_0 \geq 11$.
Posons $k = n_0 - 3$. C'est un entier tel que $k \geq 8$, car $n_0 \geq 11$, et $k < n_0$.
Par minimalité de $n_0$, $k \notin E$ ; comme $k \geq 8$, cela signifie que $k$ s'écrit $k = 3a + 5b$ avec $a, b \in \mathbb{N}$.
Alors $n_0 = k + 3 = 3(a + 1) + 5b$, où $a + 1$ et $b$ sont des entiers naturels.
Ainsi $n_0$ s'écrit sous la forme voulue, ce qui contredit $n_0 \in E$.
Donc $E$ est vide : tout entier $n \geq 8$ s'écrit $3a + 5b$ avec $a$ et $b$ entiers naturels.
À retenir : on écarte d'abord les valeurs de $n_0$ pour lesquelles le pas en arrière sortirait du domaine, puis on ne tire « $k$ s'écrit $3a + 5b$ » de « $k \notin E$ » qu'après avoir vérifié $k \geq 8$.

Notons $R = \{ a - bk : k \in \mathbb{N} \text{ et } a - bk \geq 0 \}$.
Chaque élément de $R$ est un entier, différence de deux entiers, et il est positif ou nul par définition : $R$ est une partie de $\mathbb{N}$.
Pour $k = 0$, on obtient $a - b \times 0 = a \geq 0$, donc $a \in R$ : la partie $R$ est non vide.
$R$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ ; elle admet donc un plus petit élément, que l'on note $r$.
Comme $r \in R$, il existe $q \in \mathbb{N}$ tel que $r = a - bq$, c'est-à-dire $a = bq + r$ ; de plus $r \in \mathbb{N}$.
Montrons que $r < b$. Supposons par l'absurde que $r \geq b$.
Posons $r' = r - b$, de sorte que $r' = a - b(q + 1)$.
L'entier $q + 1$ est un entier naturel, et $r' \geq 0$ car $r \geq b$ : ainsi $r' \in R$.
Comme $b \geq 1$, on a $r' = r - b < r$.
Ainsi $r'$ est un élément de $R$ strictement inférieur à $r$, ce qui contredit la minimalité de $r$.
Donc $r < b$.
Conclusion : $q$ et $r$ sont des entiers naturels tels que $a = bq + r$ et $r < b$.
À retenir : l'objet extrémal est le reste, un entier naturel que l'on minimise ; avant d'invoquer la minimalité, on vérifie que le reste diminué de $b$ garde la forme $a - bk$ avec $k \in \mathbb{N}$ et reste positif ou nul.