Descente infinie

La descente infinie démontre qu'aucun entier naturel ne vérifie une propriété $P$. On établit que de tout entier naturel $n$ vérifiant $P$ on déduit un entier naturel $m$ vérifiant encore $P$, avec $m < n$ ; répéter ce passage produirait une suite d'entiers naturels strictement décroissante, ce qui est impossible. Quand les objets étudiés sont des couples ou des triplets, solutions d'une équation, on applique le principe à un entier naturel attaché à chaque solution (une coordonnée, une somme de coordonnées). La descente prouve une impossibilité et se rédige comme un raisonnement par l'absurde.

Propriété : il n'existe aucune suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'entiers naturels telle que $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Preuve : si une telle suite existait, l'ensemble $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ serait une partie non vide de $\mathbb{N}$, donc admettrait un plus petit élément, de la forme $u_p$ avec $p \in \mathbb{N}$ ; or $u_{p+1}$ appartient à cet ensemble et $u_{p+1} < u_p$, ce qui contredit la minimalité de $u_p$. La propriété est propre aux entiers naturels : la suite $(-n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $\mathbb{Z}$ et la suite $(1/2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $\mathbb{R}_+^*$ décroissent strictement. C'est elle qu'on cite, avec ces mots, pour conclure une descente infinie.

Pour faire descendre des solutions $(x, y, z)$, on attache à chacune une quantité $h$ qui est un entier naturel : une coordonnée, ou la somme $x + y + z$. Elle doit être non nulle sur toutes les solutions qu'on veut exclure, et la construction doit la faire décroître strictement : la nouvelle solution vérifie $0 < h' < h$. Entre entiers, $h' < h$ équivaut à $h' \leqslant h - 1$ : une quantité qui part de $h_0$ ne peut donc décroître strictement plus de $h_0$ fois. Pour des solutions dans $\mathbb{Z}^3$, on prend par exemple $|x| + |y| + |z|$, qui reste un entier naturel.

Dire que l'équation $x^2 + y^2 = 3z^2$ n'a pas de solution entière non nulle, c'est dire : pour tout $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$, si $x^2 + y^2 = 3z^2$, alors $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. La solution $(0, 0, 0)$ est dite triviale : elle convient à toute équation dont tous les termes ont le même degré, d'où son exclusion. Le raisonnement par l'absurde part de la négation : il existe une solution avec $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$, c'est-à-dire avec au moins une coordonnée non nulle, et non pas les trois. Pour des entiers naturels, cette condition équivaut à $x + y + z > 0$.

Une équation est homogène de degré $d$ si tous ses termes sont de degré $d$ en les inconnues, comme $x^2 + y^2 = 3z^2$ (degré $2$) ou $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ (degré $3$). Propriété : si $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ est solution d'une équation homogène et si un entier $k \geqslant 2$ divise $x$, $y$ et $z$, alors $(x/k, y/k, z/k)$ est encore une solution dans $\mathbb{N}^3$, car chaque terme est divisé par $k^d$. C'est le moteur des descentes sur ces équations : on prouve qu'un même entier, souvent $2$ ou $3$, divise chacune des coordonnées, puis on divise. La divisibilité d'une somme ou d'un seul terme ne suffit pas.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de prouver qu'il n'existe pas d'entiers naturels non nuls vérifiant une égalité, ou qu'une équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ ; l'équation est homogène et un coefficient comme $2$ ou $3$ force une divisibilité, ou bien une identité fournit, à partir d'une solution, une autre solution entière.
1) Nommer la quantité qui décroît et prouver qu'elle est non nulle : « Soit $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ une solution autre que $(0, 0, 0)$. Posons $s = x + y + z$ ; c'est un entier naturel, et $s > 0$ car une coordonnée au moins est non nulle. »
2) Prouver la divisibilité de chaque coordonnée, par disjonction de cas sur la parité ou sur le reste de la division par $3$ : « Si $x$ était impair, $x^3$ serait impair ; or $x^3 = 2(2z^3 - y^3)$ est pair. Donc $x$ est pair. »
3) Introduire le quotient par un quantificateur, jamais avant d'avoir prouvé la divisibilité : « Soit $x' \in \mathbb{N}$ tel que $x = 2x'$. » On procède de même pour $y$ puis pour $z$, chacun juste après la preuve de sa parité : « Soit $y' \in \mathbb{N}$ tel que $y = 2y'$. », puis « Soit $z' \in \mathbb{N}$ tel que $z = 2z'$. »
4) Vérifier que le nouveau triplet est une solution, en substituant et en simplifiant : « En remplaçant, $8x'^3 + 16y'^3 = 32z'^3$, donc $x'^3 + 2y'^3 = 4z'^3$. »
5) Vérifier l'encadrement strict en invoquant la non-nullité : « Posons $s' = x' + y' + z'$, de sorte que $s = 2s'$. Comme $s > 0$, on a $s' > 0$, donc $(x', y', z') \neq (0, 0, 0)$, et $s' < 2s' = s$. »
6) Énoncer le résultat comme un lemme : « Ainsi, de toute solution autre que $(0, 0, 0)$, on déduit une solution autre que $(0, 0, 0)$ dont la quantité vérifie $0 < s' < s$. »
Les trois vérifications (c'est une solution ; ses coordonnées sont des entiers naturels et sa quantité est non nulle ; cette quantité est strictement plus petite) figurent toutes sur la copie : la conclusion s'appuie sur chacune.
La construction n'est pas toujours une division : pour $a^2 = 3b^2$, on passe de $(a, b)$ à $(3b - a, a - b)$. Les trois vérifications restent les mêmes, et l'inégalité stricte vient alors d'un encadrement, ici $b < a < 2b$.

Quand l'utiliser : on dispose d'un lemme de descente (de toute solution exclue, on déduit une solution exclue de quantité strictement plus petite) dont la construction est explicite, comme diviser chaque coordonnée par $2$ ; on peut alors définir la suite de solutions par récurrence.
1) Poser l'hypothèse de l'absurde en nommant la solution de départ : « Supposons par l'absurde qu'il existe une solution $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$. »
2) Définir la suite par récurrence dans un ensemble où la formule a un sens, puisque ses termes ne sont des entiers qu'une fois la récurrence faite : « Définissons une suite de triplets de rationnels par $(x_0, y_0, z_0) = (x, y, z)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}) = (x_n/2, y_n/2, z_n/2)$. »
3) Prouver par récurrence, avec une propriété nommée et un rang fixé, que chaque terme reste une solution exclue : « Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P(n)$ la propriété selon laquelle $(x_n, y_n, z_n)$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$. La propriété $P(0)$ est vraie par hypothèse. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie ; le lemme appliqué à $(x_n, y_n, z_n)$ montre que $(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$, donc que $P(n+1)$ est vraie. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. »
4) Nommer la suite d'entiers naturels et écrire sa décroissance stricte : « Posons $s_n = x_n + y_n + z_n$. D'après le lemme, appliqué à chaque $(x_n, y_n, z_n)$, $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'entiers naturels telle que $s_{n+1} < s_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. »
5) Citer la propriété, puis conclure avec les mots de l'énoncé : « Or il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels : contradiction. Donc l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$. »
Si le lemme affirme seulement l'existence d'une solution plus petite, sans formule, la rédaction par solution minimale est plus directe : elle ne demande aucune suite.

Montrer qu'il n'existe pas d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que $a^2 = 2b^2$, puis en déduire que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Lemme : soient $a, b \in \mathbb{N}^*$ tels que $a^2 = 2b^2$. Alors $a$ est pair et, en posant $c = a/2$, on a $c \in \mathbb{N}^*$, $b^2 = 2c^2$ et $c < b$.
Preuve. Si $a$ était impair, on aurait $a = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$, donc $a^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ serait impair ; or $a^2 = 2b^2$ est pair. Donc $a$ est pair, et $c = a/2$ est un entier naturel.
Comme $a = 2c$, on a $4c^2 = 2b^2$, donc $b^2 = 2c^2$.
Comme $a \neq 0$ et $a = 2c$, on a $c \neq 0$, donc $c \in \mathbb{N}^*$.
Comme $c \neq 0$, on a $b^2 = 2c^2 > c^2$ ; la fonction carré étant strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et $b$, $c$ étant positifs, on en déduit $b > c$.
Descente. Supposons par l'absurde qu'il existe $a, b \in \mathbb{N}^*$ tels que $a^2 = 2b^2$.
Définissons une suite de couples de rationnels par $(a_0, b_0) = (a, b)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(a_{n+1}, b_{n+1}) = (b_n, a_n/2)$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P(n)$ la propriété : « $a_n, b_n \in \mathbb{N}^*$ et $a_n^2 = 2b_n^2$ ».
La propriété $P(0)$ est vraie par hypothèse.
Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie. D'après $P(n)$, $a_{n+1} = b_n$ appartient à $\mathbb{N}^*$.
Le lemme appliqué à $(a_n, b_n)$ montre que $b_{n+1} = a_n/2$ appartient à $\mathbb{N}^*$, que $b_n^2 = 2b_{n+1}^2$, c'est-à-dire $a_{n+1}^2 = 2b_{n+1}^2$, et que $b_{n+1} < b_n$. Donc $P(n + 1)$ est vraie.
Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, et le lemme donne alors $b_{n+1} < b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ainsi $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'entiers naturels strictement décroissante. Or il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels : contradiction.
Donc il n'existe pas d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que $a^2 = 2b^2$.
Irrationalité. Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel : il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $\sqrt{2} = p/q$.
Alors $p = q\sqrt{2} > 0$, donc $p \in \mathbb{N}^*$, et en élevant au carré, $p^2 = 2q^2$.
Cela contredit le résultat précédent appliqué à $a = p$ et $b = q$. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
À retenir : on isole la construction dans un lemme qui vérifie les trois points (entiers non nuls, même égalité, inégalité stricte), puis on nomme la suite d'entiers naturels qui décroît avant de citer la propriété.

Quand l'utiliser : à la place de la conclusion par une suite, avec le même lemme de descente ; elle évite de définir une suite, et convient aussi quand le lemme affirme seulement l'existence d'une solution plus petite.
1) Relier l'énoncé à une partie de $\mathbb{N}$ qui exclut déjà $0$ : « Si $z = 0$, alors $x^2 + y^2 = 0$, donc $x = y = 0$ ; toute solution autre que $(0, 0, 0)$ vérifie donc $z \neq 0$. Posons $A = \{z \in \mathbb{N}^* \mid \exists (x, y) \in \mathbb{N}^2,\ x^2 + y^2 = 3z^2\}$ ; il suffit de montrer que $A$ est vide. »
2) Supposer la partie non vide et prendre son plus petit élément, en justifiant son existence : « Supposons par l'absurde $A$ non vide. C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément $z_0$. Soit $(x_0, y_0) \in \mathbb{N}^2$ tel que $x_0^2 + y_0^2 = 3z_0^2$. »
3) Appliquer la construction à cette solution minimale : « En appliquant le lemme à $(x_0, y_0, z_0)$, on obtient $(x_1, y_1, z_1) \in \mathbb{N}^3$ tel que $x_1^2 + y_1^2 = 3z_1^2$ et $0 < z_1 < z_0$. »
4) Vérifier que le nouvel entier appartient à la même partie : « Ainsi $z_1 \in \mathbb{N}^*$ et le couple $(x_1, y_1)$ convient, donc $z_1 \in A$. »
5) Écrire la contradiction avec la minimalité, puis conclure avec les mots de l'énoncé : « Or $z_1 < z_0$, ce qui contredit la minimalité de $z_0$. Donc $A$ est vide, et l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$. »

Montrer que l'équation $x^2 + y^2 = 3z^2$ n'a pas de solution $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$.
Lemme : soit $n \in \mathbb{N}$ ; si $3$ ne divise pas $n$, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $n^2 = 3m + 1$. En particulier, si $3$ divise $n^2$, alors $3$ divise $n$.
Preuve. Supposons que $3$ ne divise pas $n$. La division euclidienne de $n$ par $3$ fournit $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 3k + 1$ ou $n = 3k + 2$.
Si $n = 3k + 1$, alors $n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
Si $n = 3k + 2$, alors $n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
Dans les deux cas, $n^2$ est de la forme $3m + 1$ avec $m \in \mathbb{N}$, donc n'est pas multiple de $3$ ; la seconde affirmation en est la contraposée.
Réduction. Soit $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ une solution telle que $z = 0$. Alors $x^2 + y^2 = 0$ avec $x^2 \geqslant 0$ et $y^2 \geqslant 0$, donc $x^2 = y^2 = 0$, puis $x = y = 0$. Ainsi toute solution autre que $(0, 0, 0)$ vérifie $z \neq 0$.
Posons $A = \{z \in \mathbb{N}^* \mid \exists (x, y) \in \mathbb{N}^2,\ x^2 + y^2 = 3z^2\}$. Il suffit de montrer que $A$ est vide.
Supposons par l'absurde que $A$ soit non vide. C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément $z_0$. Soit $(x_0, y_0) \in \mathbb{N}^2$ tel que $x_0^2 + y_0^2 = 3z_0^2$.
Si $3$ ne divisait pas $x_0$, le lemme donnerait $m \in \mathbb{N}$ tel que $x_0^2 = 3m + 1$ ; de plus $y_0^2 = 3m' + r$ avec $m' \in \mathbb{N}$ et $r \in \{0, 1\}$, selon que $3$ divise $y_0$ ou non. On aurait alors $x_0^2 + y_0^2 = 3(m + m') + (1 + r)$ avec $1 + r \in \{1, 2\}$, nombre qui n'est pas multiple de $3$, alors que $3z_0^2$ l'est. Donc $3$ divise $x_0$.
Les rôles de $x_0$ et $y_0$ étant symétriques, $3$ divise aussi $y_0$. Soient $x_1, y_1 \in \mathbb{N}$ tels que $x_0 = 3x_1$ et $y_0 = 3y_1$.
En remplaçant, $9x_1^2 + 9y_1^2 = 3z_0^2$, donc $z_0^2 = 3(x_1^2 + y_1^2)$. Ainsi $3$ divise $z_0^2$, donc $3$ divise $z_0$ d'après le lemme. Soit $z_1 \in \mathbb{N}$ tel que $z_0 = 3z_1$.
En remplaçant, $9z_1^2 = 3(x_1^2 + y_1^2)$, donc $x_1^2 + y_1^2 = 3z_1^2$.
Comme $z_0 = 3z_1$ et $z_0 \neq 0$, on a $z_1 \neq 0$. Ainsi $z_1 \in \mathbb{N}^*$ et le couple $(x_1, y_1) \in \mathbb{N}^2$ convient : $z_1 \in A$.
De plus $z_1 > 0$, donc $z_1 < 3z_1 = z_0$.
Ainsi $z_1$ est un élément de $A$ strictement plus petit que $z_0$, ce qui contredit la minimalité de $z_0$. Donc $A$ est vide.
Conclusion : l'équation $x^2 + y^2 = 3z^2$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$.
À retenir : on range les valeurs de la quantité dans une partie de $\mathbb{N}$ qui exclut déjà $0$, on prend son plus petit élément, et la solution construite fournit un élément de cette même partie strictement plus petit.

Les deux énoncés « il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels » et « toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément » sont équivalents, et chacun suffit à conclure une descente. Une même construction (de toute solution exclue, une solution exclue de quantité strictement plus petite) se conclut donc au choix par une suite, qu'il faut définir par récurrence et nommer, ou par une solution minimale, dont il faut définir la partie de $\mathbb{N}$ et supposer qu'elle est non vide. Les vérifications de la construction sont les mêmes dans les deux cas ; seules les dernières lignes changent. Sur une copie, on n'écrit qu'une des deux conclusions.

Montrer que l'équation $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ n'a pas de solution $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$. Rédiger la conclusion par une suite strictement décroissante, puis par une solution minimale.
Lemme 1 : pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $n^3$ est pair, alors $n$ est pair.
Preuve, par contraposée. Soit $n \in \mathbb{N}$ impair : il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $n^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$ est impair.
Lemme 2 : si $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ est une solution autre que $(0, 0, 0)$, alors $x$, $y$ et $z$ sont pairs, $(x/2, y/2, z/2)$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$, et $0 < (x + y + z)/2 < x + y + z$.
Preuve. Soit $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ tel que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ et $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$.
On a $x^3 = 2(2z^3 - y^3)$, donc $x^3$ est pair, et $x$ est pair d'après le lemme 1. Soit $x_1 \in \mathbb{N}$ tel que $x = 2x_1$.
En remplaçant, $8x_1^3 + 2y^3 = 4z^3$, donc $y^3 = 2(z^3 - 2x_1^3)$ est pair, et $y$ est pair d'après le lemme 1. Soit $y_1 \in \mathbb{N}$ tel que $y = 2y_1$.
En remplaçant, $8x_1^3 + 16y_1^3 = 4z^3$, donc $z^3 = 2(x_1^3 + 2y_1^3)$ est pair, et $z$ est pair d'après le lemme 1. Soit $z_1 \in \mathbb{N}$ tel que $z = 2z_1$.
En remplaçant, $8x_1^3 + 16y_1^3 = 32z_1^3$, donc $x_1^3 + 2y_1^3 = 4z_1^3$ : le triplet $(x_1, y_1, z_1) = (x/2, y/2, z/2)$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$.
Posons $s = x + y + z$ et $s' = x_1 + y_1 + z_1$, de sorte que $s = 2s'$. Les coordonnées de $(x, y, z)$ sont positives et l'une au moins est non nulle, donc $s > 0$. Par suite $s' > 0$, ce qui donne $(x_1, y_1, z_1) \neq (0, 0, 0)$, et $s' < 2s' = s$.
Première conclusion, par une suite strictement décroissante.
Supposons par l'absurde qu'il existe une solution $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$.
Définissons une suite de triplets de rationnels par $(x_0, y_0, z_0) = (x, y, z)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}) = (x_n/2, y_n/2, z_n/2)$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P(n)$ la propriété : « $(x_n, y_n, z_n)$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ ».
La propriété $P(0)$ est vraie par hypothèse.
Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie. Le lemme 2 appliqué à $(x_n, y_n, z_n)$ montre que $(x_n/2, y_n/2, z_n/2) = (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ : $P(n + 1)$ est vraie.
Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Posons $s_n = x_n + y_n + z_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. D'après le lemme 2, appliqué à chaque $(x_n, y_n, z_n)$, $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'entiers naturels telle que $s_{n+1} < s_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Or il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels : contradiction. Donc l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$.
Seconde conclusion, par une solution minimale.
Notons $S$ l'ensemble des entiers $x + y + z$, où $(x, y, z)$ parcourt les solutions dans $\mathbb{N}^3$ autres que $(0, 0, 0)$. Supposons par l'absurde que $S$ soit non vide.
C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément $m$. Soit $(x, y, z)$ une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ telle que $x + y + z = m$.
D'après le lemme 2, $(x/2, y/2, z/2)$ est une solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$, de quantité $m/2$ ; donc $m/2 \in S$, et $0 < m/2 < m$.
Cela contredit la minimalité de $m$. Donc $S$ est vide : l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$.
À retenir : la construction se démontre une seule fois, dans un lemme, avec une quantité non nulle sur toutes les solutions exclues ; la conclusion par une suite ou par un minimum n'en est que la fin, et une copie n'en écrit qu'une.

Ligne fautive, dans une preuve que $a^2 = 2b^2$ n'a pas de solution dans $(\mathbb{N}^*)^2$ :
« Si $a^2 = 2b^2$, alors $(2b)^2 = 4b^2 = 2a^2$ : le couple $(2b, a)$ est une nouvelle solution ; en recommençant indéfiniment, on obtient une contradiction. »
Le couple $(2b, a)$ est bien une solution, mais il est plus grand : $(2b)^2 = 4b^2 > 2b^2 = a^2$, donc $2b > a$. Fabriquer des solutions de plus en plus grandes ne contredit rien, puisque $\mathbb{N}$ n'a pas de plus grand élément. Trouver une nouvelle solution n'est que la moitié du travail : l'inégalité stricte se démontre.
Version correcte : « L'entier $a$ est pair ; soit $c \in \mathbb{N}$ tel que $a = 2c$. Alors $b^2 = 2c^2$, et $c \neq 0$ car $a \neq 0$. Comme $b^2 = 2c^2 > c^2$ et que $b$ et $c$ sont positifs, on a $0 < c < b$ : la quantité $b$ décroît strictement. »

Ligne fautive, dans une prétendue preuve que $x^2 + y^2 = 2z^2$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ :
« Comme $x^2 + y^2 = 2z^2$ est pair, on pose $x' = x/2$, $y' = y/2$, $z' = z/2$, et l'on obtient une solution plus petite. »
Que la somme $x^2 + y^2$ soit paire n'entraîne pas que $x$ et $y$ le soient : $(1, 1, 1)$ est une solution, et l'énoncé « démontré » est faux. Le triplet $(1/2, 1/2, 1/2)$ n'est pas formé d'entiers naturels, et c'est seulement dans $\mathbb{N}$ que la descente conclut.
Version correcte : prouver la divisibilité de chaque coordonnée avant de diviser, et introduire le quotient par un quantificateur. Pour $x^2 + y^2 = 3z^2$ : « L'entier $3$ divise $x$ et $y$ (disjonction de cas sur le reste de leur division par $3$) ; soient $x_1, y_1 \in \mathbb{N}$ tels que $x = 3x_1$ et $y = 3y_1$. Alors $z^2 = 3(x_1^2 + y_1^2)$, donc $3$ divise $z$ ; soit $z_1 \in \mathbb{N}$ tel que $z = 3z_1$. »

Ligne fautive, dans la preuve que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ :
« Soit $(x, y, z)$ une solution autre que $(0, 0, 0)$. Ses coordonnées sont paires, et $x/2 < x$ : la première coordonnée décroît strictement. »
L'inégalité $x/2 < x$ exige $x > 0$, or « autre que $(0, 0, 0)$ » n'interdit pas $x = 0$ : rien n'exclut encore une solution $(0, y, z)$ avec $y$ ou $z$ non nul, et pour elle $x/2 = x = 0$, si bien que la suite des premières coordonnées serait constante. Test de relecture : $(0, 0, 0)$ est solution, donc une preuve correcte utilise l'hypothèse « autre que $(0, 0, 0)$ » à une ligne précise ; c'est l'inégalité stricte qui en a besoin.
Version correcte : choisir une quantité non nulle sur toutes les solutions exclues. « Posons $s = x + y + z$. Comme $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$ et que ses coordonnées sont positives, $s > 0$, donc $0 < s/2 < s$. » Pour faire descendre une coordonnée, on prouve d'abord qu'elle ne s'annule sur aucune solution exclue, comme $z \neq 0$ pour $x^2 + y^2 = 3z^2$.

Ligne fautive :
« Soient $a, b$ des réels strictement positifs tels que $a^2 = 2b^2$. Alors $(b, a/2)$ est une solution avec $0 < a/2 < b$ ; on descend indéfiniment, donc il n'y a pas de solution. »
Chaque calcul est juste, mais la conclusion est fausse : $(\sqrt{2}, 1)$ est une solution réelle. Dans $\mathbb{R}_+^*$, la suite $(1/2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ décroît strictement sans contradiction ; dans $\mathbb{Z}$, la suite $(-n)_{n \in \mathbb{N}}$ aussi. Toute la force de la descente vient de $\mathbb{N}$ : c'est pourquoi elle prouve que $\sqrt{2}$ n'est pas un quotient d'entiers, et non que $\sqrt{2}$ n'existe pas.
Version correcte : vérifier que la quantité qui décroît est un entier naturel. Pour une équation posée dans $\mathbb{Z}^3$ : « Posons $s = |x| + |y| + |z|$ ; c'est un entier naturel, non nul car $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$. »

Ligne fautive :
« On a construit une solution plus petite ; en recommençant, on descend indéfiniment, ce qui est impossible. »
« Plus petite » ne veut rien dire pour des couples ou des triplets, qu'aucun ordre naturel ne compare, et « en recommençant » ne définit aucune suite. Le correcteur ne peut vérifier ni quelle quantité baisse, ni qu'elle reste un entier naturel, ni que la baisse est stricte ; or ce sont précisément ces trois points qui font la preuve.
Version correcte : « Posons $s_n = x_n + y_n + z_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'entiers naturels telle que $s_{n+1} < s_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Or il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels : contradiction. »

Ligne fautive, au début d'une preuve que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^3$ autre que $(0, 0, 0)$ :
« Supposons par l'absurde qu'il existe une solution avec $x \neq 0$, $y \neq 0$ et $z \neq 0$. »
La négation de « $x = 0$ et $y = 0$ et $z = 0$ » est « $x \neq 0$ ou $y \neq 0$ ou $z \neq 0$ ». En supposant les trois coordonnées non nulles, on n'écarte que les solutions sans coordonnée nulle : une éventuelle solution $(0, y, z)$ avec $y \neq 0$ échappe à la preuve, qui démontre alors un énoncé plus faible que celui demandé.
Version correcte : « Supposons par l'absurde qu'il existe $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ tel que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ et $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$, c'est-à-dire $x + y + z > 0$. »

Ligne fautive :
« Soit $(x, y, z)$ la plus petite solution de $x^2 + y^2 = 3z^2$. »
Deux fautes. Aucun ordre naturel ne range les triplets, donc « la plus petite » ne désigne rien. Et si l'on range les solutions selon $z$, la plus petite est $(0, 0, 0)$, sur laquelle aucune contradiction n'est possible. Le plus petit élément se prend dans une partie de $\mathbb{N}$ qui exclut déjà la solution triviale, et dont on suppose ou justifie qu'elle est non vide (voir le thème Principe du plus petit élément).
Version correcte : « Posons $A = \{z \in \mathbb{N}^* \mid \exists (x, y) \in \mathbb{N}^2,\ x^2 + y^2 = 3z^2\}$ et supposons par l'absurde $A$ non vide. C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément $z_0$. »

Une solution triviale est la solution évidente d'une équation, souvent $(0, 0, 0)$ ; une solution non triviale en diffère par une coordonnée au moins. « Strictement plus petite » exige $<$ : une inégalité large laisse passer une suite constante. « Or » introduit le fait général qui va heurter ce qui précède, comme dans « Or il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels » ; « contredit la minimalité de $z_0$ » s'écrit quand on a trouvé, dans la même partie, un élément strictement inférieur à $z_0$. « De proche en proche » et « et ainsi de suite » ne remplacent pas la définition d'une suite par récurrence.