Exploiter les hypothèses

Une hypothèse est un énoncé que l'on a le droit de tenir pour vrai à un endroit donné d'une preuve : donnée de l'énoncé, supposition provisoire (« Supposons »), résultat du cours ou d'une question précédente. L'exploiter, c'est en tirer un fait directement utilisable pour atteindre le but. Le geste à faire ne dépend que de sa forme logique, c'est-à-dire du connecteur ou du quantificateur le plus extérieur, une fois les définitions dépliées. On donne à chaque hypothèse une étiquette, (H1), (H2), pour la citer à l'endroit exact où elle sert.

On repère la forme principale de l'hypothèse, puis on applique la ligne correspondante ; une hypothèse à plusieurs niveaux se traite de gauche à droite.

La disjonction se traite dans la fiche « Disjonction de cas » ; la technique pour nier, dans la fiche « Nier une proposition ».

Un même quantificateur se manipule en sens opposés selon qu'il est dans le but ou dans une hypothèse. Pour démontrer $\forall x \in E,\ P(x)$, on prend $x$ quelconque (« Soit $x \in E$ ») ; pour l'utiliser, on l'applique en un point que l'on choisit. Pour démontrer $\exists x \in E,\ P(x)$, on choisit le plus souvent un candidat et on le vérifie ; pour l'utiliser, on reçoit un témoin imposé, sur lequel on ne choisit rien. De même, on démontre $P \Rightarrow Q$ en supposant $P$, et on l'utilise en établissant $P$. Confondre les deux usages produit les pièges de ce thème : choisir la valeur d'un témoin, ou appliquer une implication sans en avoir établi l'hypothèse.

« Par hypothèse » signale un fait donné par l'énoncé ou supposé, qui n'a pas à être démontré. « D'après (H) appliquée en $a$ » et « en particulier » annoncent la spécialisation d'un énoncé universel au point $a$. « Il existe … ; fixons un tel … » nomme le témoin d'une existence, et « soit … tel que … » a le même sens, à condition que l'existence vienne d'être établie. « Or » amène le fait qui déclenche une implication, et « donc » en livre la conclusion. « C'est-à-dire » et « ce qui signifie » remplacent un mot par sa définition.

Quand : l'hypothèse contient « et », une énumération de conditions (« $f$ dérivable, croissante, telle que $f(0) = 0$ »), ou un mot dont la définition est une conjonction : bornée (majorée et minorée), bijective (injective et surjective), égalité d'ensembles (double inclusion), encadrement $-r \leq x \leq r$.
1) Découper l'hypothèse en ses morceaux, un par ligne, chacun avec son étiquette : « (H1) $f$ est paire ; (H2) $f$ est impaire. »
2) Déplier séparément chaque morceau qui est un mot défini.
3) À chaque étape, citer le seul morceau employé : « D'après (H2) appliquée en $t = x$, … ».
4) Utiliser chaque morceau là où il sert, indépendamment des autres : les avoir reçus ensemble n'oblige pas à les utiliser ensemble.
5) Ne jamais découper un « ou » : l'hypothèse « $P$ ou $Q$ » ne fournit ni $P$ ni $Q$ ; elle se traite par disjonction de cas (voir la fiche « Disjonction de cas »).

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction à la fois paire et impaire. Montrer que $f$ est la fonction nulle.
L'hypothèse est une conjonction ; séparons ses deux parties en dépliant chacune.
(H1) $f$ est paire : pour tout réel $t$, $f(-t) = f(t)$.
(H2) $f$ est impaire : pour tout réel $t$, $f(-t) = -f(t)$.
Montrons que pour tout réel $x$, $f(x) = 0$.
Soit $x \in \mathbb{R}$.
D'après (H1) appliquée en $t = x$, on a $f(-x) = f(x)$.
D'après (H2) appliquée en $t = x$, on a $f(-x) = -f(x)$.
Par conséquent $f(x) = f(-x) = -f(x)$, donc $2f(x) = 0$, puis $f(x) = 0$.
Ceci valant pour tout réel $x$, la fonction $f$ est nulle.
À retenir : on écrit sur deux lignes étiquetées les deux parties d'une hypothèse « et », puis on cite à chaque pas celle qui sert.

Quand : une hypothèse commence par « pour tout », « quel que soit », « tout … », ou prend cette forme une fois dépliée (croissante, majorée par $M$, périodique de période $T$), et l'on a besoin de l'information en un objet précis.
1) Écrire l'hypothèse avec son quantificateur et son domaine, en renommant sa variable si la lettre est déjà prise : « (H) pour tout $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq v_k$ ».
2) Choisir au brouillon le point $a$ : un objet déjà introduit (variable du but, témoin fixé, constante) ou une expression construite avec eux ($x + T$, $A + 1$, $\max(n, m)$), en regardant ce que réclame le but.
3) Vérifier que $a$ appartient au domaine et satisfait les conditions portées par le quantificateur ($a > 0$, $i \leq j$).
4) Écrire : « D'après (H) appliquée en $k = a$, licite car $a \in \mathbb{N}$, on a $u_a \leq v_a$ », en remplaçant toutes les occurrences de la variable.
5) Spécialiser autant de fois que nécessaire : une hypothèse universelle ne s'use pas, et chaque application en un nouveau point donne un nouveau fait.

Soient $(u_n)$ une suite réelle croissante et $(v_n)$ une suite réelle décroissante telles que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq v_k$. Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, $u_n \leq v_m$.
Écrivons les hypothèses sous la forme où elles serviront.
(H1) Comme $(u_n)$ est croissante, on sait (propriété du cours, qui se déduit de la définition par récurrence) que pour tous entiers naturels $i$ et $j$ tels que $i \leq j$, $u_i \leq u_j$.
(H2) Comme $(v_n)$ est décroissante, on sait de même que pour tous entiers naturels $i$ et $j$ tels que $i \leq j$, $v_j \leq v_i$.
(H3) Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq v_k$.
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels.
Posons $p = \max(n, m)$ ; c'est un entier naturel, et $n \leq p$, $m \leq p$.
D'après (H1) appliquée en $i = n$ et $j = p$, licite car $n \leq p$, on a $u_n \leq u_p$.
D'après (H3) appliquée en $k = p$, on a $u_p \leq v_p$.
D'après (H2) appliquée en $i = m$ et $j = p$, licite car $m \leq p$, on a $v_p \leq v_m$.
On en déduit $u_n \leq u_p \leq v_p \leq v_m$, donc $u_n \leq v_m$.
Ceci valant pour tous entiers naturels $n$ et $m$, l'inégalité demandée est démontrée.
À retenir : on spécialise chaque hypothèse universelle en un point construit exprès, ici $\max(n, m)$, pour raccorder les inégalités, en vérifiant chaque fois que ce point satisfait la condition du quantificateur.

Hypothèse : $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ vérifie, pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$, $f(xy) = f(x) + f(y)$.
Ligne fautive : « En prenant $y = 0$, on obtient $f(0) = f(x) + f(0)$, donc $f(x) = 0$ pour tout réel $x > 0$. »
Erreur : l'hypothèse ne dit rien pour $y = 0$, qui ne vérifie pas la condition $y > 0$ ; $f(0)$ n'est même pas défini. La conclusion est d'ailleurs fausse : la fonction $\ln$ vérifie l'hypothèse sans être nulle.
Version correcte : « Comme $1 > 0$, l'hypothèse appliquée en $x = y = 1$ donne $f(1) = f(1) + f(1)$, donc $f(1) = 0$. »
Réflexe : avant chaque spécialisation, écrire pourquoi la valeur choisie satisfait la condition du quantificateur.

Quand : une hypothèse est une identité valable pour tous les éléments d'un ensemble, souvent en deux variables : $f(x + y) = f(x) + f(y)$, $f(xy) = f(x) + f(y)$, $f(x + y) = f(x)f(y)$. Le but porte sur une valeur particulière ($f(0)$, $f(1)$) ou sur une symétrie (parité).
1) Écrire l'identité avec ses quantificateurs et son domaine, et l'étiqueter : « Notons (H) : pour tous réels $x$ et $y$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$. »
2) Au brouillon, essayer les spécialisations usuelles et regarder ce qu'elles font apparaître. Pour une identité en $f(x + y)$ : $x = y = 0$ donne une relation sur $f(0)$, $y = x$ relie $f(2x)$ et $f(x)$, $y = -x$ relie $f(-x)$ et $f(x)$. Pour une identité en $f(xy)$ : $x = y = 1$ donne une relation sur $f(1)$, $y = x$ relie $f(x^2)$ et $f(x)$, $y = -1$ relie $f(-x)$ et $f(x)$, $y = \frac{1}{x}$ relie $f\left(\frac{1}{x}\right)$ et $f(x)$.
3) Vérifier que chaque valeur choisie est dans le domaine : si l'identité ne vaut que pour des réels strictement positifs, $0$ et $-x$ sont interdits, et l'on se rabat sur $1$ ou sur $\frac{1}{x}$.
4) Si le but est universel (« $f$ est impaire »), introduire d'abord sa variable sous une lettre neuve (« Soit $t \in \mathbb{R}$ »), puis spécialiser (H) en fonction de $t$.
5) Rédiger chaque spécialisation sur sa ligne : « Comme $0 \in \mathbb{R}$, (H) appliquée en $x = y = 0$ donne $f(0) = 2f(0)$ », en remplaçant chaque occurrence des variables.
6) Enchaîner dans le bon ordre : la valeur de $f(0)$ obtenue d'abord sert ensuite dans la spécialisation $y = -x$.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que, pour tous réels $x$ et $y$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$. Montrer que $f(0) = 0$, puis que $f$ est impaire, et enfin que pour tout réel $s$, $f(2s) = 2f(s)$.
Notons (H) l'hypothèse : pour tous réels $x$ et $y$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$.
Montrons d'abord que $f(0) = 0$.
Comme $0 \in \mathbb{R}$, (H) appliquée en $x = 0$ et $y = 0$ donne $f(0 + 0) = f(0) + f(0)$, c'est-à-dire $f(0) = 2f(0)$.
En retranchant $f(0)$ aux deux membres, on obtient $f(0) = 0$.
Montrons ensuite que $f$ est impaire. L'ensemble $\mathbb{R}$ étant symétrique par rapport à $0$, il s'agit de montrer que pour tout réel $t$, $f(-t) = -f(t)$.
Soit $t \in \mathbb{R}$.
Comme $t$ et $-t$ sont des réels, (H) appliquée en $x = t$ et $y = -t$ donne $f(t + (-t)) = f(t) + f(-t)$, c'est-à-dire $f(0) = f(t) + f(-t)$.
Or $f(0) = 0$ d'après la première partie, donc $f(t) + f(-t) = 0$, puis $f(-t) = -f(t)$.
Ceci valant pour tout réel $t$, la fonction $f$ est impaire.
Montrons enfin que pour tout réel $s$, $f(2s) = 2f(s)$.
Soit $s \in \mathbb{R}$.
Comme $s$ est un réel, (H) appliquée en $x = s$ et $y = s$ donne $f(s + s) = f(s) + f(s)$, c'est-à-dire $f(2s) = 2f(s)$.
Ceci valant pour tout réel $s$, la dernière égalité est démontrée.
À retenir : devant une identité valable pour tous $x$ et $y$, on essaie $x = y = 0$, puis $y = -x$, puis $y = x$, en vérifiant que ces valeurs sont dans le domaine et en réutilisant chaque résultat obtenu dans la spécialisation suivante.

Si l'on dispose de $P \Rightarrow Q$ et que l'on établit $P$, on obtient $Q$ : c'est le modus ponens, la seule façon d'extraire la conclusion d'une implication. Si l'on établit au contraire $\neg Q$, on obtient $\neg P$ (voir la fiche « Raisonnement par contraposée »). En revanche, $P \Rightarrow Q$ jointe à $\neg P$ ne dit rien de $Q$, et jointe à $Q$ ne dit rien de $P$ : une implication dont l'hypothèse est fausse, ou dont la conclusion est vraie, est vraie dans tous les cas. De même, « pour tout $x \in E$ tel que $P(x)$, $Q(x)$ » ne renseigne que sur les $x$ qui vérifient $P(x)$.

Quand : une hypothèse, un résultat admis ou une question précédente a la forme « si $P$, alors $Q$ », « $P$ entraîne $Q$ », « dès que $P$, on a $Q$ », ou « pour tout $x$ tel que $P(x)$, $Q(x)$ ». Un quantificateur restreint (« pour tout $x > 0$ ») cache lui aussi une implication, de même que les définitions de croissante ou d'injective.
1) Écrire l'implication avec ses variables et l'étiqueter : « (L) pour tout $m \in \mathbb{Z}$, si $m^2$ est pair, alors $m$ est pair ».
2) Choisir l'objet $a$ auquel on l'applique.
3) Établir sur la copie, pour cet objet, l'hypothèse de l'implication : « Vérifions que $a^2$ est pair : … ». C'est l'étape qui fait la preuve ; on ne la sous-entend jamais.
4) Alors seulement, conclure : « Ainsi $a^2$ est pair ; d'après (L) appliquée en $m = a$, l'entier $a$ est pair. »
5) Si l'hypothèse ne peut pas être établie pour $a$, l'implication ne s'applique pas : on ne tire rien de (L) pour cet objet, et l'on ne remonte jamais de la conclusion vers l'hypothèse.

On admet le résultat (L) : pour tout entier $m$, si $m^2$ est pair, alors $m$ est pair. Soit $n$ un entier tel que $n^2 + 2n + 1$ soit pair. Montrer que $n$ est impair.
Pour appliquer (L) à l'entier $m = n + 1$, vérifions d'abord que son hypothèse est satisfaite, c'est-à-dire que $(n + 1)^2$ est pair.
On a $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$, et ce nombre est pair par hypothèse.
Ainsi $n + 1$ est un entier dont le carré est pair ; d'après (L) appliquée en $m = n + 1$, l'entier $n + 1$ est pair.
Il existe donc $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n + 1 = 2k$ ; fixons un tel entier $k$.
Alors $n = 2k - 1 = 2(k - 1) + 1$, où $k - 1$ est un entier.
Donc $n$ est impair.
À retenir : on n'écrit la conclusion d'une implication qu'après avoir établi son hypothèse sur la copie, pour l'objet précis auquel on l'applique.

Hypothèse (H) : pour tout réel $x$, si $x \geq 1$, alors $f(x) \geq 0$.
Ligne fautive : « D'après (H), $f(0) \geq 0$. »
Erreur : (H) ne dit rien en $x = 0$, puisque $0 \geq 1$ est faux ; la fonction $x \mapsto x - 1$ vérifie (H), et pourtant elle vaut $-1$ en $0$. Faute voisine : « $f(a) \geq 0$, donc d'après (H), $a \geq 1$ », qui lit l'implication à l'envers ; la fonction constante égale à $1$ vérifie (H) et est positive en $0$, alors que $0 < 1$.
Version correcte : « Comme $2 \geq 1$, (H) appliquée en $x = 2$ donne $f(2) \geq 0$. » En $0$, (H) ne permet de rien conclure.

Si l'on sait que $\exists x \in E,\ P(x)$, on peut introduire un nom neuf $a$ et raisonner en sachant seulement que $a \in E$ et $P(a)$ : l'objet $a$ est un témoin. Ce témoin est imposé : on ne choisit ni sa valeur ni aucune de ses propriétés, et il peut y en avoir plusieurs sans qu'on sache lequel on tient. Si l'existence suit un « pour tout $t$ », le témoin dépend du $t$ en lequel on a spécialisé. Une conclusion obtenue de cette façon est acquise dès qu'elle ne mentionne plus $a$, puisqu'elle vaut alors quel que soit le témoin retenu.

Quand : une hypothèse, un résultat du cours ou une question précédente affirme une existence (« il existe », « admet », « on peut trouver »), ou emploie un mot dont la définition commence par un « il existe » : pair, divise, majorée, périodique, s'annule.
1) Écrire l'existence en toutes lettres, avec l'ensemble du témoin : « Par hypothèse, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k$ ».
2) Fixer aussitôt le témoin sous un nom neuf : « ; fixons un tel $k$ ». La tournure « soit $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k$ » est équivalente, une fois l'existence écrite.
3) Si plusieurs hypothèses fournissent des témoins, donner à chacun son propre nom : $k$ et $\ell$, $M$ et $M'$.
4) Si l'existence est précédée d'un « pour tout », spécialiser d'abord, puis fixer : le témoin dépend du point choisi, ce que son nom peut rappeler ($x_A$, $N_\varepsilon$).
5) N'utiliser du témoin que ce que dit l'hypothèse, son ensemble et sa propriété ; toute autre information (signe, valeur, parité) se démontre.
6) Terminer par une conclusion qui ne mentionne plus le témoin : absent de l'énoncé, il doit être absent de la réponse.

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers tels que $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$. Montrer que $a$ divise $c$.
Rappelons que, pour deux entiers $u$ et $v$, « $u$ divise $v$ » signifie qu'il existe $j \in \mathbb{Z}$ tel que $v = ju$.
Par hypothèse, $a$ divise $b$ : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ka$ ; fixons un tel entier $k$.
Par hypothèse, $b$ divise $c$ : il existe $\ell \in \mathbb{Z}$ tel que $c = \ell b$ ; fixons un tel entier $\ell$.
En remplaçant $b$ par $ka$ dans la seconde égalité, on obtient $c = \ell (ka) = (k\ell) a$.
Posons $q = k\ell$ ; comme $k$ et $\ell$ sont des entiers, $q$ est un entier, et $c = qa$.
Il existe donc un entier $q$ tel que $c = qa$ : l'entier $a$ divise $c$.
À retenir : chaque hypothèse existentielle fournit son propre témoin, que l'on fixe aussitôt sous un nom neuf ($k$, puis $\ell$) et dont on n'utilise que ce que l'hypothèse affirme.

Ligne fautive : « $n$ est pair, donc $n = 2k$, donc $n^2 = 4k^2$ est un multiple de $4$. »
Erreur : la lettre $k$ n'a jamais été introduite. On ignore dans quel ensemble elle vit : sans « $k \in \mathbb{Z}$ », l'égalité $n = 2k$ est vraie pour tout nombre $n$ (avec $k = \frac{n}{2}$) et ne traduit plus la parité. On ignore aussi si $k$ est imposé par l'hypothèse ou choisi, donc ce qu'on a le droit d'en faire.
Version correcte : « Par hypothèse, $n$ est pair : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k$ ; fixons un tel $k$. Alors $n^2 = 4k^2$ avec $k^2 \in \mathbb{Z}$, donc $n^2$ est un multiple de $4$. »

Ligne fautive : « $a$ et $b$ sont pairs, donc il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k$ et $b = 2k$. Ainsi $a + b = 4k$ est un multiple de $4$. »
Erreur : chaque hypothèse fournit son propre témoin ; les appeler tous deux $k$ ajoute l'hypothèse $a = b$, que l'énoncé ne contient pas. La conclusion est fausse : $2$ et $4$ sont pairs, et $6$ n'est pas un multiple de $4$.
Version correcte : « Il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k$ ; fixons un tel entier $k$. Il existe $\ell \in \mathbb{Z}$ tel que $b = 2\ell$ ; fixons un tel entier $\ell$. Alors $a + b = 2(k + \ell)$ avec $k + \ell \in \mathbb{Z}$, donc $a + b$ est pair. »

Ligne fautive : « Par hypothèse, $f$ s'annule sur $\mathbb{R}$ : il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = 0$. Comme $a$ est un réel quelconque, $f(x) = 0$ pour tout réel $x$. »
Erreur : $a$ n'est pas quelconque ; c'est un point particulier, fourni par l'hypothèse, dont on sait seulement que $f(a) = 0$. Étendre ce fait à tous les réels change « il existe » en « pour tout » : la fonction $x \mapsto x$ s'annule sans être nulle. Même confusion dans « Soit $k \in \mathbb{Z}$. Comme $n$ est pair, $n = 2k$ » : « soit » y annonce un entier quelconque, alors que $n$ ne vaut pas $2k$ pour tout entier $k$.
Version correcte : « Il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = 0$ ; fixons un tel réel $a$. » Ce que l'on déduit de $f(a) = 0$ vaut en ce point, et ne s'étend à d'autres réels qu'avec un nouvel argument.

Ligne fautive : « $f$ est majorée : prenons $M = 1$, de sorte que $f(x) \leq 1$ pour tout réel $x$. »
Erreur : un « il existe » en hypothèse fournit un témoin imposé ; on n'en choisit ni la valeur ni le signe. Choisir est le geste qui sert à démontrer une existence, pas à l'utiliser. La fonction constante égale à $5$ est majorée, mais pas par $1$.
Version correcte : « Par hypothèse, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$ ; fixons un tel $M$. » Si la suite exige un majorant positif, on le construit et on le justifie : $\max(M, 0)$ est encore un majorant de $f$, et il est positif.

Quand : une hypothèse est formulée par un mot et non par des symboles : majorée, bornée, croissante, périodique, pair, divise, injective. Un mot ne se calcule pas ; sa définition, si.
1) Écrire la définition exacte, quantificateurs dans le bon ordre et domaines compris, en donnant à ses variables des lettres qui ne sont pas encore employées dans la preuve.
2) Lire sa forme de gauche à droite : chaque « il existe » donne un témoin à fixer, chaque « pour tout » un énoncé à garder pour le spécialiser, chaque « si … alors » une implication à déclencher.
3) Rédiger dans l'ordre des quantificateurs : « Par hypothèse, $f$ est majorée : il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$ ; fixons un tel $M$. »
4) N'introduire les variables du but (« Soit $x \in \mathbb{R}$ ») qu'après les témoins qui ne doivent pas en dépendre.
5) Si le cours fournit une caractérisation plus maniable, la citer comme telle : une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement s'il existe un réel $M$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n$.

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles bornées. Montrer que la suite $(u_n v_n)$ est bornée.
On utilise la caractérisation : une suite réelle $(w_n)$ est bornée si et seulement s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|w_n| \leq M$.
Comme $(u_n)$ est bornée, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \leq M$ ; fixons un tel réel $M$.
Comme $(v_n)$ est bornée, il existe $M' \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|v_n| \leq M'$ ; fixons un tel réel $M'$.
La propriété de $M$, appliquée en $n = 0$, donne $0 \leq |u_0| \leq M$, donc $M \geq 0$.
Posons $K = MM'$, qui ne dépend pas de $n$, et montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n v_n| \leq K$.
Soit $n \in \mathbb{N}$.
Comme $|u_n| \leq M$ et $|v_n| \geq 0$, on a $|u_n| \, |v_n| \leq M \, |v_n|$.
Comme $|v_n| \leq M'$ et $M \geq 0$, on a $M \, |v_n| \leq MM'$.
Donc $|u_n v_n| = |u_n| \, |v_n| \leq M \, |v_n| \leq MM' = K$.
Ceci valant pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $(u_n v_n)$ est bornée.
À retenir : on remplace le mot « bornée » par sa caractérisation quantifiée, citée comme telle, on fixe les deux témoins sous des noms distincts avant d'introduire $n$, et toute propriété supplémentaire d'un témoin, ici le signe de $M$, se démontre.

Ligne fautive : « Par hypothèse, $f$ est majorée : pour tout réel $x$, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \leq M$. »
Erreur : cet énoncé est vrai pour toute fonction, puisqu'il suffit de prendre $M = f(x)$ : l'hypothèse a été vidée de son contenu, et le prétendu majorant dépend du point. Une preuve qui s'appuie sur cette version n'exploite rien de l'hypothèse.
Version correcte : « Il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout réel $x$, $f(x) \leq M$ ; fixons un tel $M$. » On n'écrit « Soit $x \in \mathbb{R}$ » qu'ensuite, pour que $M$ ne dépende pas de $x$.

Quand : l'hypothèse est négative : « n'est pas », « non », « aucun », « ne … jamais », « distinct de », « ne s'annule pas », « irrationnel ». Sous cette forme, elle se prête mal au calcul.
1) Écrire la propriété positive correspondante, dépliée avec ses quantificateurs : « $f$ est majorée » s'écrit « il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$ ».
2) La nier symbole par symbole, sans toucher aux domaines (voir la fiche « Nier une proposition »).
3) Lire la forme obtenue : un « il existe » fournit un témoin à fixer, un « pour tout » un énoncé à spécialiser, « $P$ et non $Q$ » deux faits séparés.
4) Exploiter exactement cette forme, sans lui substituer une information plus forte : « non croissante » ne signifie pas « décroissante ».
Traductions fréquentes : « $f$ n'est pas constante » fournit deux réels $a$ et $b$ tels que $f(a) \neq f(b)$ ; « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ » donne $f(x) \neq 0$ pour tout réel $x$, ce qui autorise à diviser par $f(x)$ ; « $f$ n'est pas croissante » fournit deux réels $a \leq b$ tels que $f(a) > f(b)$.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction non majorée. Écrire ce que signifie cette hypothèse, en déduire qu'il existe un réel $x$ tel que $f(x) > 100$, puis montrer que la fonction $g : x \mapsto f(x) + \cos x$ n'est pas majorée.
Dire que $f$ est majorée signifie qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$.
En niant cet énoncé symbole par symbole, l'hypothèse s'écrit : (H) pour tout $M \in \mathbb{R}$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) > M$.
Comme $100 \in \mathbb{R}$, (H) appliquée en $M = 100$ affirme qu'il existe un réel $x$ tel que $f(x) > 100$, ce qu'il fallait établir.
Montrons maintenant que $g$ n'est pas majorée, c'est-à-dire que pour tout $A \in \mathbb{R}$, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $g(t) > A$.
Soit $A \in \mathbb{R}$.
Comme $A + 1 \in \mathbb{R}$, (H) appliquée en $M = A + 1$ fournit un réel $t$ tel que $f(t) > A + 1$ ; fixons un tel réel $t$.
Or $\cos t \geq -1$, donc $g(t) = f(t) + \cos t > (A + 1) - 1 = A$.
Ainsi, pour tout $A \in \mathbb{R}$, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $g(t) > A$ : la fonction $g$ n'est pas majorée.
À retenir : on transforme une hypothèse négative en énoncé positif en niant sa définition, puis on exploite la forme obtenue : on spécialise le « pour tout » en une valeur choisie pour le but ($100$, puis $A + 1$) et l'on fixe le témoin fourni.

Ligne fautive : « $f$ n'est pas majorée, donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. »
Erreur : on a remplacé l'hypothèse par une information qu'elle ne contient pas. La fonction $x \mapsto x \sin x$ n'est pas majorée, puisqu'elle vaut $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ en $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ pour tout entier naturel $k$ ; pourtant elle s'annule en chaque multiple de $\pi$, donc ne tend pas vers $+\infty$. Même faute avec « $f$ n'est pas croissante, donc $f$ est décroissante ».
Version correcte : « $f$ n'est pas majorée : pour tout $M \in \mathbb{R}$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) > M$. » C'est tout ce que l'on sait, et c'est cette forme que l'on spécialise.

Si une démonstration de « $H_1$ et $H_2$ entraînent $C$ » n'utilise jamais $H_2$, elle prétend démontrer « $H_1$ entraîne $C$ », énoncé plus fort que celui demandé. Si la preuve est juste, cet énoncé plus fort est donc vrai. Par contraposée, un contre-exemple, c'est-à-dire un objet qui vérifie $H_1$ sans vérifier $C$, prouve que la preuve est fausse : une de ses étapes utilisait $H_2$ en silence. Si l'on n'en trouve pas, rien n'est tranché : l'hypothèse sert peut-être ailleurs, ou seulement à donner un sens à une expression, et la preuve reste à relire, car un énoncé vrai ne valide pas sa démonstration. Dans un sujet, une hypothèse inutilisée est donc un signal d'alerte, pas une économie.

Quand : à la fin de chaque démonstration, avant de passer à la question suivante ; et pendant la recherche, quand on est bloqué, car l'hypothèse qui n'a pas encore servi indique souvent la suite.
1) Avant de rédiger, dresser la liste des hypothèses, y compris celles que porte la nature des objets : « entier », « non nul », « strictement », « sur un intervalle », « dérivable ».
2) Pendant la rédaction, citer l'hypothèse à chaque usage : « d'après (H2) ».
3) En fin de preuve, relire l'énoncé et retrouver, pour chaque hypothèse, la ligne où elle a servi.
4) Pour une hypothèse restée sans usage, chercher au brouillon un objet qui vérifie toutes les autres hypothèses sans vérifier la conclusion. S'il en existe un, la preuve est fausse : on repère l'étape qui échoue sur cet objet, c'est elle qui utilisait l'hypothèse en silence, et on la réécrit en la citant.
5) Si l'on ne trouve aucun tel objet, l'hypothèse sert peut-être plus loin dans le sujet, ou à donner un sens à une expression (quotient, logarithme, racine) : on le vérifie avant d'admettre que la preuve s'en passe.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction dérivable telle que $f(0) = 0$ et, pour tout réel $x \geq 0$, $f'(x) \geq 1$. Montrer que pour tout réel $x \geq 0$, $f(x) \geq x$.
Hypothèses : (H1) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; (H2) $f(0) = 0$ ; (H3) pour tout réel $x \geq 0$, $f'(x) \geq 1$.
Posons $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x) - x$.
D'après (H1), $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$, $g'(x) = f'(x) - 1$.
Soit $t \geq 0$. D'après (H3) appliquée en $x = t$, licite car $t \geq 0$, on a $f'(t) \geq 1$, donc $g'(t) \geq 0$.
Ceci valant pour tout réel $t \geq 0$, la dérivée $g'$ est positive sur l'intervalle $[0, +\infty[$ ; par conséquent $g$ est croissante sur cet intervalle.
Soit $x \geq 0$. Comme $0 \leq x$ et que $g$ est croissante sur $[0, +\infty[$, on a $g(0) \leq g(x)$.
Or $g(0) = f(0) - 0 = 0$ d'après (H2), donc $g(x) \geq 0$, c'est-à-dire $f(x) \geq x$.
Ceci valant pour tout réel $x \geq 0$, l'inégalité demandée est démontrée.
Relecture et contrôle, au brouillon : (H1) a rendu $g$ dérivable, (H3) a donné le signe de $g'$, (H2) a fourni $g(0) = 0$. Sans (H2), la fonction $x \mapsto x - 1$ vérifie (H1) et (H3) mais pas la conclusion en $x = 0$ ; sans (H3), la fonction nulle vérifie (H1) et (H2) mais pas la conclusion en $x = 1$ ; (H1) ne se teste pas seule, car sans elle (H3) n'a pas de sens.
À retenir : en fin de preuve, on relit l'énoncé et l'on retrouve pour chaque hypothèse la ligne où elle a servi ; un objet qui viole cette seule hypothèse et met la conclusion en défaut confirme qu'elle ne pouvait pas manquer.

Énoncé : soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$ ; montrer que $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$.
Ligne fautive : « La fonction inverse est strictement décroissante et $a < b$, donc $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$. »
Erreur : l'hypothèse $0 < a$ n'a servi à rien, et cela aurait dû alerter. La fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : elle l'est sur chacun des intervalles $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$ séparément. Avec $a = -1$ et $b = 1$, on a bien $a < b$, mais $\frac{1}{b} = 1 > -1 = \frac{1}{a}$.
Version correcte : « Comme $0 < a < b$, les réels $a$ et $b$ appartiennent à l'intervalle $]0, +\infty[$, sur lequel la fonction inverse est strictement décroissante ; comme $a < b$, on obtient $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$. »
Réflexe : une hypothèse jamais citée désigne souvent l'endroit exact où la preuve a triché.