Chercher une démonstration

Le brouillon sert à chercher : on y écrit dans l'ordre où les idées viennent, on part volontiers de la conclusion, on essaie des valeurs, on trace des figures, on rature. La copie sert à prouver : elle part des hypothèses et des résultats connus, avance par déductions justifiées et s'arrête sur la conclusion demandée. L'ordre de la découverte est souvent l'inverse de l'ordre de la preuve, si bien qu'une copie n'est pas un brouillon mis au propre mais une réécriture. Les pistes abandonnées n'y figurent pas, et un objet trouvé par tâtonnement y est simplement posé : « Posons $m = n^2 + 3n + 1$. »

« Il suffit de montrer que $Q$ » annonce que $Q$ entraîne le but ; cette implication doit être justifiée sur la copie (fiche Bâtir le plan d'une preuve selon le but). « Posons » introduit un objet dont le choix vient du brouillon et n'a pas à être expliqué. « Conjecture : » précède un énoncé non démontré : on ne l'introduit jamais par « donc », et l'on n'en déduit rien tant qu'il n'est pas démontré. « Vérifions sur un exemple » annonce un contrôle, qui ne prouve rien pour un énoncé universel. Piste, essai et impasse sont des mots de brouillon : ils n'ont pas leur place dans une démonstration.

Un petit cas est l'énoncé écrit pour une petite valeur de la variable ($n = 1$, $2$, $3$) : il rend le problème concret et fait apparaître des régularités. Un exemple générique est une valeur sans propriété particulière ($n = 7$, $(x, y) = (2, 5)$), qui laisse voir le mécanisme général ; $0$, $1$ ou deux variables égales écrasent au contraire la structure et produisent des coïncidences. On calcule les petits cas dans l'ordre, rangés en tableau, en réutilisant chaque résultat pour le suivant. Un exemple ne démontre jamais un énoncé universel : il sert à deviner ce qu'il faut démontrer.

Les cas limites sont les valeurs où un énoncé risque de changer de comportement : $0$ et $1$, les valeurs négatives, les bornes du domaine, le premier rang autorisé, l'égalité de deux variables ($a = b$), les objets dégénérés (fonction constante, somme d'un seul terme). On les teste après avoir deviné une conjecture sur des exemples génériques, pour fixer son domaine exact, le caractère large ou strict d'une inégalité et ses cas d'égalité. Une différence qui s'annule en un cas limite suggère souvent un facteur : si $A(x) - B(x)$ est nulle pour $x = 1$, on essaie de la factoriser par $x - 1$.

Une conjecture est un énoncé que l'on pense vrai sans l'avoir démontré. Elle est précise quand elle nomme l'ensemble où varie chaque lettre et donne la relation exacte : formule, sens et caractère large ou strict d'une inégalité avec ses cas d'égalité, nombre exact de solutions. « La somme ressemble à un carré » n'est pas une conjecture ; « pour tout entier $n \geq 1$, $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ » en est une. Seule une conjecture précise peut devenir un but de démonstration, ou être réfutée par un contre-exemple.

Si $P(n)$ est vraie pour $n = 1, 2, \dots, N$, on ne peut rien en déduire sur l'énoncé $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ P(n)$, aussi grand que soit $N$ : cet énoncé porte sur une infinité d'entiers. En revanche, un seul entier $n$ tel que $P(n)$ soit fausse suffit à le réfuter (fiche Réfuter par un contre-exemple). Les vérifications servent donc à choisir quoi démontrer, jamais à le démontrer.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de « conjecturer » ou d'« exprimer en fonction de $n$ », ou porte sur une suite ou une somme dépendant d'un entier dont on ne connaît pas la forme.
1) Au brouillon, calculer les cas successifs à partir du premier rang autorisé, au moins quatre ou cinq, rangés en tableau ; obtenir chaque cas à partir du précédent quand c'est possible.
2) Chercher le motif : comparer aux suites connues ($n$, $n^2$, $2^n$, $n(n+1)$), regarder les différences ou les quotients successifs, garder au besoin une forme non simplifiée ($1 \times 2$, $2 \times 3$) qui montre mieux la structure.
3) Écrire la conjecture en énoncé quantifié : ensemble des indices, puis formule exacte. Sur la copie : « Conjecture : pour tout entier $n \geq 1$, $S_n = n^2$. »
4) Contrôler la formule telle qu'elle est écrite au premier rang, puis sur un cas qui n'a pas servi à la trouver.
5) Garder le statut : tant qu'aucune preuve n'est écrite, c'est une conjecture. Sur la copie : « Démontrons cette conjecture. », puis la preuve.

Pour tout entier $n \geq 1$, on pose $S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$. Calculer $S_1, \dots, S_5$, conjecturer une expression de $S_n$, puis la démontrer.
Au brouillon.
Chaque somme s'obtient à partir de la précédente en ajoutant l'impair suivant : $S_{n+1} = S_n + (2n + 1)$.

Les valeurs sont les carrés de $1, 2, \dots, 5$ ; le cas $n = 6$, calculé après coup, confirme : $25 + 11 = 36 = 6^2$.
Sur la copie.
On a $S_1 = 1$, $S_2 = S_1 + 3 = 4$, $S_3 = S_2 + 5 = 9$, $S_4 = S_3 + 7 = 16$ et $S_5 = S_4 + 9 = 25$.
Conjecture : pour tout entier $n \geq 1$, $S_n = n^2$.
Démontrons cette conjecture. Soit $n$ un entier tel que $n \geq 1$.
Les termes de $S_n$ sont les entiers $2k - 1$ pour $k$ entier allant de $1$ à $n$, donc $S_n = (2 \times 1 - 1) + (2 \times 2 - 1) + \cdots + (2 \times n - 1)$.
En séparant dans chaque terme $2k$ et $-1$, et comme la somme compte $n$ termes, $S_n = 2(1 + 2 + \cdots + n) - n$.
Or $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ (somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique).
Donc $S_n = n(n+1) - n = n^2$.
Conclusion : pour tout entier $n \geq 1$, $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$.
À retenir : on range les petits cas en tableau, on écrit la conjecture avec son quantificateur et son ensemble d'indices, puis on la démontre avant de la tenir pour vraie.

Ligne fautive : « Pour $n = 0, 1, 2, \dots, 10$, l'entier $n^2 + n + 41$ est premier, donc $n^2 + n + 41$ est premier pour tout $n \in \mathbb{N}$. »
Onze vérifications ne disent rien des autres entiers, et la conclusion est ici fausse. En choisissant $n = 41$ pour que chaque terme soit multiple de $41$, on obtient $41^2 + 41 + 41 = 41 \times 43$, qui n'est pas premier ; pourtant les quarante valeurs $0 \leq n \leq 39$ donnent toutes des nombres premiers.
Version correcte : « Conjecture : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 + n + 41$ est premier. » On cherche ensuite une preuve ou un contre-exemple, et c'est ici le contre-exemple $n = 41$ qui tranche. Même vraie, une conjecture reste une conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée.

Ligne fautive : « Conjecture : pour tout entier $n \geq 1$, $1 + 3 + \cdots + (2n + 1) = n^2$. »
Les sommes calculées au brouillon étaient justes ($1$, $4$, $9$, $16$, $25$), mais la formule écrite ne les décrit plus : pour $n = 1$, son membre de gauche vaut $1 + 3 = 4$, alors que $1^2 = 1$. La somme des $n$ premiers impairs s'arrête à $2n - 1$, pas à $2n + 1$.
Version correcte : « Conjecture : pour tout entier $n \geq 1$, $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$. » On relit toujours la conjecture écrite en l'évaluant au premier rang et à un deuxième rang, avant de chercher à la démontrer.

Ligne fautive : « Conjecture : pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$, alors $a^2 < b^2$ (vérifié pour $(a, b) = (1, 2)$, $(2, 3)$ et $(3, 7)$). »
Les trois essais sont des couples d'entiers positifs, qui ne sondent qu'une partie des cas. Le couple $(a, b) = (-3, 1)$ vérifie $a < b$, mais $a^2 = 9$ et $b^2 = 1$.
Version correcte : après les exemples, tester les cas limites (une valeur négative, la valeur $0$, deux valeurs de signes contraires), puis restreindre le domaine : « Conjecture : pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0 \leq a < b$, $a^2 < b^2$. »

Au brouillon, l'allure des courbes (tracée à la main à partir de quelques valeurs, ou à la calculatrice) suggère un sens de variation, une position relative, un nombre de points d'intersection ; un tableau de valeurs donne des valeurs, exactes ou approchées, aux points choisis. Mais une figure et un tableau ne portent que sur un nombre fini de points d'une fenêtre bornée : ils ne montrent ni ce qui se passe hors de la fenêtre, ni la différence entre deux courbes très proches ou tangentes. Ils suggèrent donc une conjecture, mais ne démontrent ni un énoncé portant sur tout un intervalle, ni un nombre de solutions, ni une position relative. La copie ne cite jamais la figure (fiche Enchaîner et justifier chaque étape) ; une valeur n'y figure qu'avec son calcul exact, par exemple pour exhiber un contre-exemple ou vérifier les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires.

Quand l'utiliser : il faut comparer deux fonctions, dire où l'une est au-dessus de l'autre, ou déterminer le nombre de solutions d'une équation que l'on ne sait pas résoudre par le calcul.
1) Au brouillon, tracer l'allure des courbes en jeu sur une fenêtre assez large ; noter les points d'intersection, la position relative et les zones où la figure ne tranche pas (courbes presque confondues ou tangentes).
2) Calculer un tableau de valeurs aux points douteux, au-delà des bords de la fenêtre et aux cas limites ($0$, $1$, valeurs négatives).
3) Écrire la conjecture précise : intervalles, inégalité large ou stricte et cas d'égalité ; ou nombre exact de solutions et intervalles qui les séparent.
4) Choisir un outil de preuve qui ne regarde pas la figure. Pour une inégalité $f(x) \leq g(x)$, poser $h = g - f$ et établir $h(x) \geq 0$ : par le signe de $h(x)$ factorisée quand c'est possible (fiche Rédiger une inégalité), sinon par le tableau de variations de $h$, qui montre par exemple que $h$ admet un minimum positif. Pour un nombre de solutions, découper le domaine en intervalles où la fonction auxiliaire est strictement monotone ; sur chacun, le théorème de la bijection donne exactement une solution ou aucune, selon que $0$ appartient ou non à l'intervalle image ; examiner enfin les bornes communes. C'est ce découpage qui établit l'existence de chaque solution et l'absence de toute autre.
5) Sur la copie, commencer par « Soit $x \in \mathbb{R}$. » ou « Posons, pour tout réel $x$, $h(x) = g(x) - f(x)$. », et ne jamais écrire « d'après le graphique ».

Comparer $x^2$ et $x^3$ selon les valeurs du réel $x$.
Au brouillon.
Allure des courbes de $x \mapsto x^2$ et de $x \mapsto x^3$ : elles se croisent en $x = 1$, et à droite de $1$ la cubique passe au-dessus. Près de $0$, les deux courbes sont aplaties : la figure ne dit pas laquelle est au-dessus.
Tableau de valeurs aux points douteux et aux cas limites :

Conjecture : pour tout réel $x \leq 1$, $x^3 \leq x^2$ ; pour tout réel $x \geq 1$, $x^3 \geq x^2$ ; égalité si et seulement si $x = 0$ ou $x = 1$. Ces deux points d'égalité suggèrent de factoriser $x^2 - x^3$ par $x^2$ et par $1 - x$.
Sur la copie.
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $x^2 - x^3 = x^2(1 - x)$, et $x^2 \geq 0$.
Si $x \leq 1$, alors $1 - x \geq 0$, donc $x^2(1 - x) \geq 0$ comme produit de deux réels positifs, c'est-à-dire $x^3 \leq x^2$.
Si $x \geq 1$, alors $1 - x \leq 0$, donc $x^2(1 - x) \leq 0$ comme produit d'un réel positif et d'un réel négatif, c'est-à-dire $x^3 \geq x^2$.
Enfin, $x^3 = x^2$ si et seulement si $x^2(1 - x) = 0$, soit $x^2 = 0$ ou $1 - x = 0$ (un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est), c'est-à-dire $x = 0$ ou $x = 1$.
Conclusion : $x^3 \leq x^2$ pour tout réel $x \leq 1$, $x^3 \geq x^2$ pour tout réel $x \geq 1$, et l'égalité a lieu exactement pour $x = 0$ et pour $x = 1$.
À retenir : la figure et le tableau de valeurs dictent la conjecture, cas d'égalité compris, mais la preuve ne repose que sur le signe d'une différence factorisée.

Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation $e^x = x + 2$.
Au brouillon.
Isoler $x$ par le calcul échoue : $x$ figure à la fois dans l'exponentielle et hors d'elle. On revient à la question posée : combien de solutions, et où ?
Allure de la courbe de l'exponentielle et de la droite d'équation $y = x + 2$ : deux points d'intersection, l'un vers $x = -1{,}8$, l'autre vers $x = 1{,}15$.
Valeurs de $f(x) = e^x - x - 2$ : $f(-2) = e^{-2} > 0$, $f(0) = -1 < 0$, $f(2) = e^2 - 4 > 0$.
Conjecture : exactement deux solutions, l'une dans $]-\infty, 0[$, l'autre dans $]0, +\infty[$. Outil : sens de variation de $f$ et théorème de la bijection sur chacun des deux intervalles.
Sur la copie.
Posons, pour tout réel $x$, $f(x) = e^x - x - 2$ ; un réel $x$ est solution de l'équation si et seulement si $f(x) = 0$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$, $f'(x) = e^x - 1$.
Pour tout $x < 0$, $e^x < 1$, donc $f'(x) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 0[$. Pour tout $x > 0$, $e^x > 1$, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
On a $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} (-x - 2) = +\infty$, donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
Pour tout $x > 0$, $f(x) = x\left(\frac{e^x}{x} - 1\right) - 2$ ; or $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ par croissances comparées, donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Enfin $f$ est continue en $0$, donc $f(x)$ tend vers $f(0) = -1$ quand $x$ tend vers $0$.
Sur $]-\infty, 0[$, $f$ est continue et strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ et $-1$ en $0$ ; comme $0 \in ]-1, +\infty[$, le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) assure que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution dans $]-\infty, 0[$.
Sur $]0, +\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante, de limite $-1$ en $0$ et $+\infty$ en $+\infty$ ; pour la même raison, l'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution dans $]0, +\infty[$.
Comme $f(0) = -1 \neq 0$, le réel $0$ n'est pas solution.
Conclusion : l'équation $e^x = x + 2$ admet exactement deux solutions réelles, l'une strictement négative, l'autre strictement positive.
À retenir : quand le calcul ne peut pas isoler l'inconnue, on devine le nombre de solutions sur une figure, puis on démontre sur la copie, intervalle par intervalle, l'existence de chacune et l'absence de toute autre.

Ligne fautive : « Conjecture, lue sur la figure : pour tout réel $x < 1$, $x^3 < x^2$. »
Pour $x = 0$, on a $x^3 = x^2 = 0$ : l'inégalité stricte est fausse en ce point, où les deux courbes se touchent sans que la figure le laisse voir.
Version correcte : « Conjecture : pour tout réel $x \leq 1$, $x^3 \leq x^2$, avec égalité si et seulement si $x = 0$ ou $x = 1$. » Une inégalité stricte conjecturée se teste d'abord aux points où les deux membres pourraient être égaux : $0$, $1$, et les points où les courbes semblent se toucher.

Ligne fautive : « Sur l'écran de la calculatrice, pour $x$ entre $-2$ et $3$, les courbes de $x \mapsto 2^x$ et de $x \mapsto x^2$ se coupent deux fois, donc l'équation $2^x = x^2$ a deux solutions réelles. »
L'écran ne montre que la fenêtre choisie : $x = 4$ est une troisième solution, puisque $2^4 = 16 = 4^2$. Et même sur une fenêtre bien choisie, une figure ne prouve ni l'existence d'une solution ni l'absence d'une autre.
Version correcte : au brouillon, élargir la fenêtre et tester des valeurs entières au-delà de ses bords, puis écrire « Conjecture : l'équation $2^x = x^2$ admet exactement trois solutions réelles. » Sur la copie, il reste à établir l'existence de chacune et l'absence de toute autre, sans citer l'écran.

Chercher à rebours, c'est partir du but $B$ et chercher un énoncé $B_1$ plus simple qui suffit à obtenir $B$, puis un énoncé $B_2$ qui suffit à obtenir $B_1$, et ainsi de suite jusqu'à un fait connu ou une hypothèse $A$. Chaque pas cherche une condition suffisante : il faut que $B_1$ entraîne $B$, et non l'inverse. La preuve parcourt ensuite la chaîne dans l'autre sens, de $A$ vers $B$. Un pas de brouillon qui ne se remonte pas casse la preuve, même si le brouillon semblait aboutir : remplacer le but $a \leq b$ par $a^2 \leq b^2$ sans savoir que $b \geq 0$, ou le but $a = b$ par $ac = bc$ alors que $c$ peut s'annuler, la remontée obligeant à diviser par $c$.

Quand l'utiliser : on ne voit pas d'où partir, alors que le but se laisse transformer (inégalité à simplifier, égalité à réduire, propriété à remplacer par une condition plus simple).
1) Au brouillon, écrire le but $B$ en haut de la page. Chercher un énoncé $B_1$ plus simple qui suffirait, et noter en marge la règle qui permettra de remonter de $B_1$ à $B$ (croissance d'une fonction, passage à l'inverse entre réels strictement positifs, identité).
2) Recommencer avec $B_1$, jusqu'à obtenir un fait connu ou une hypothèse $A$.
3) Vérifier chaque pas dans le sens de la remontée : l'énoncé du dessous entraîne-t-il celui du dessus, avec les conditions dont on dispose ? Un pas valable seulement en descendant ne peut pas servir.
4) Sur la copie, écrire la chaîne à l'envers : « Soit … . On a $A$. », puis à chaque pas « donc » suivi de la justification notée en marge, jusqu'à « Par conséquent, $B$. »
5) Ne jamais écrire le but comme un fait acquis (« On a $B$ ») pour en tirer des « donc » qui descendent vers $A$ : un tel texte prouve au mieux la réciproque.
Variante 1 : on peut garder l'ordre de la recherche, à condition d'annoncer chaque réduction et de la justifier dans le bon sens : « Il suffit de montrer que $B_1$. En effet, $B_1$ entraîne $B$ car [règle]. Montrons $B_1$. », et ainsi de suite jusqu'à $A$.
Variante 2 : si chaque pas est une équivalence justifiée entre énoncés portant sur la même variable, une chaîne de « si et seulement si » partant du but est correcte (fiche Enchaîner et justifier chaque étape) ; chaque équivalence doit alors être justifiée dans les deux sens.

Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$.
Au brouillon.
But : $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$. Élever au carré laisse une racine $\sqrt{n^2 + n}$ : piste écartée.
La quantité conjuguée donne $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$. Il suffirait donc que $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$.
Les deux dénominateurs sont strictement positifs : il suffirait que $2\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ (remontée par décroissance de l'inverse sur $]0, +\infty[$).
C'est-à-dire $\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}$ (remontée en ajoutant $\sqrt{n}$), qui découle de $n \leq n + 1$ (croissance de la racine carrée). Fait connu atteint.
Sur la copie.
Soit $n$ un entier tel que $n \geq 1$.
On a $n \leq n + 1$ et la fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$, donc $\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}$.
En ajoutant $\sqrt{n}$ aux deux membres, on obtient $2\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$.
Or $2\sqrt{n} > 0$ car $n \geq 1$, donc les deux membres de cette inégalité sont strictement positifs ; la fonction inverse étant décroissante sur $]0, +\infty[$, on en déduit $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$.
Par ailleurs, $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \neq 0$, donc $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
Par conséquent, $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$.
Conclusion : pour tout entier $n \geq 1$, $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$.
À retenir : au brouillon on descend du but vers un fait connu en cherchant à chaque pas une condition suffisante, et sur la copie on remonte de ce fait vers le but en justifiant chaque pas dans ce sens.

Ligne fautive : « On a $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$, donc $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$, donc $2\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$, donc $\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}$, ce qui est vrai. »
La première ligne affirme ce qu'il faut démontrer, et chaque « donc » va de la conclusion vers un fait connu : on a seulement établi que si l'inégalité était vraie, alors on aurait $\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}$. Aboutir à une affirmation vraie ne prouve rien : le même schéma « démontrerait » que $-2 = 2$, puisqu'en élevant au carré on obtient $4 = 4$, qui est vrai.
Version correcte : partir du fait connu et remonter, en justifiant chaque pas dans ce sens : « On a $n \leq n + 1$ et la racine carrée est croissante, donc $\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1}$, donc $2\sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ ; ces deux réels étant strictement positifs, la décroissance de la fonction inverse donne $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$ ; or $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$, d'où le résultat. » Ces justifications de remontée sont précisément ce que la ligne fautive ne contenait pas.

Un problème plus simple allège les données ou affaiblit la conclusion : un cas particulier ($n = 2$ avant $n$ quelconque), une variable fixée, une configuration symétrique, une conclusion plus faible. Un problème déjà résolu est un résultat du cours, une identité ou une question précédente dont la conclusion a la même forme que le but. Le premier fournit une idée que l'on tente de généraliser ; le second fournit directement la dernière étape, et ses hypothèses deviennent les nouveaux buts. Sur la copie, seul le cas général est rédigé, et le résultat utilisé est cité avec ses hypothèses vérifiées.

Quand l'utiliser : la conclusion a une forme reconnaissable (« est un carré », « est divisible par », « admet une solution », « est croissante », une inégalité), ou l'énoncé ressemble à une question précédente ou à un résultat du cours.
1) Écrire la conclusion seule, sous sa forme la plus nue : « $P + 1$ est un carré », « l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans $[a, b]$ ».
2) Lister les résultats connus qui concluent ainsi : identités ($(m - 1)(m + 1) + 1 = m^2$), théorèmes (valeurs intermédiaires pour une existence, signe de la dérivée pour une monotonie), questions déjà traitées.
3) Pour chaque candidat, lire ses hypothèses : ce sont les nouveaux buts. Retenir celui dont les hypothèses semblent atteignables, après un test sur un exemple.
4) Si aucun candidat ne vient, résoudre d'abord un problème plus simple (petite valeur de $n$, variable fixée, cas symétrique) et regarder quel argument se généralise.
5) Sur la copie, poser les objets nécessaires, puis citer le résultat : « Posons $m = \dots$ » ; « D'après [résultat], appliqué à …, dont les hypothèses sont vérifiées car …, on obtient … ».

Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de $1$, est le carré d'un entier.
Au brouillon.
Petits cas : $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = 5^2$ ; $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = 11^2$ ; $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 361 = 19^2$. Cas limite : $0 \times 1 \times 2 \times 3 + 1 = 1 = 1^2$.
Résultat connu dont la conclusion est « un produit augmenté de $1$ est un carré » : $(m - 1)(m + 1) + 1 = m^2$. Il suffit d'écrire le produit comme celui de deux entiers qui diffèrent de $2$.
Avec $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$ : $n(n + 3) = n^2 + 3n$ et $(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2$ diffèrent de $2$, donc $m = n^2 + 3n + 1$.
Contrôle : $n = 1$, $2$, $3$ donnent $m = 5$, $11$, $19$, conformément aux petits cas.
Sur la copie.
Soient quatre entiers consécutifs ; notons $n \in \mathbb{Z}$ le plus petit, de sorte qu'ils s'écrivent $n$, $n + 1$, $n + 2$ et $n + 3$.
Posons $P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ et $m = n^2 + 3n + 1$ ; $m$ est un entier, comme somme de produits d'entiers.
En regroupant le premier et le dernier facteur, $n(n + 3) = n^2 + 3n = m - 1$.
En regroupant les deux facteurs du milieu, $(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2 = m + 1$.
Donc $P = (m - 1)(m + 1) = m^2 - 1$, d'où $P + 1 = m^2$.
Conclusion : le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de $1$, est le carré de l'entier $n^2 + 3n + 1$, où $n$ désigne le plus petit des quatre.
À retenir : on cherche un résultat connu qui a la même conclusion que le but, on fait apparaître sa forme au brouillon, puis on pose sur la copie l'objet trouvé sans raconter comment on l'a trouvé.

Quand l'utiliser : une idée de preuve se présente, mais sa mise en œuvre sera longue et repose sur une étape dont on n'est pas sûr (majoration intermédiaire, factorisation devinée, formule dont on doute).
1) Isoler l'étape clé de la piste : l'inégalité intermédiaire, la factorisation, l'identité espérée.
2) La tester sur une ou deux valeurs génériques : l'étape est-elle vraie en ces points ? On évite de ne tester que $0$ ou $1$, qui vérifient souvent tout par coïncidence.
3) Si elle est vraie, vérifier qu'elle suffit : l'étape qu'il faudrait ajouter pour atteindre le but est-elle, elle aussi, vraie au même point ?
4) Un seul test négatif condamne la piste : on l'abandonne sans la rédiger. Un test positif n'est qu'un feu vert : l'étape reste à démontrer.
5) Sur la copie, aucune trace des tests : on rédige directement la piste retenue.

Montrer que pour tous réels $x \geq 1$ et $y \geq 1$, $xy + 1 \geq x + y$.
Au brouillon.
Piste 1 : de $y \geq 1$ et $x > 0$ on tire $xy \geq x$ ; de même $xy \geq y$ ; en sommant, $x + y \leq 2xy$. Pour conclure, il faudrait en plus $2xy \leq xy + 1$.
Test de cette étape en $(x, y) = (2, 3)$ : elle donnerait $12 \leq 7$, ce qui est faux. La piste ne peut pas conclure : abandonnée.
Cas limites : pour $x = 1$, $xy + 1 - x - y = y + 1 - 1 - y = 0$ quel que soit $y$ ; de même pour $y = 1$. Piste 2 : la différence vaut peut-être $(x - 1)(y - 1)$.
Test en $(x, y) = (3, 5)$ : $xy + 1 - x - y = 16 - 8 = 8$ et $(x - 1)(y - 1) = 2 \times 4 = 8$. Concordant : on s'engage.
Sur la copie.
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x \geq 1$ et $y \geq 1$.
En développant, $(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1$.
Or $x - 1 \geq 0$ et $y - 1 \geq 0$, donc $(x - 1)(y - 1) \geq 0$ comme produit de deux réels positifs.
Donc $xy - x - y + 1 \geq 0$, c'est-à-dire $xy + 1 \geq x + y$.
Conclusion : pour tous réels $x \geq 1$ et $y \geq 1$, $xy + 1 \geq x + y$.
À retenir : avant de dérouler une piste, on teste son étape clé sur un exemple, qui peut la condamner en une ligne ou lui donner un feu vert, mais jamais la démontrer.

Une piste est dans une impasse quand elle ne rapproche plus du but. Les signaux sont concrets : le calcul s'allonge sans se simplifier, on retombe sur l'énoncé de départ, un test numérique contredit l'étape clé, une hypothèse reste inutilisée, ou l'on cherche une valeur exacte alors que la question demande une inégalité ou un nombre de solutions. Reconnaître une impasse n'est pas un échec mais le signal de changer de stratégie. On note alors en une ligne pourquoi la piste bloquait, car cette raison oriente souvent vers la bonne.

Quand l'utiliser : un signal d'impasse apparaît (calcul qui s'allonge, retour à l'énoncé de départ, test qui contredit l'étape clé, hypothèse inutilisée).
1) S'arrêter et écrire au brouillon, en une ligne, pourquoi la piste bloque : « $x$ reste des deux côtés », « aucune formule ne se dessine pour la somme ».
2) Relire la question : que demande-t-elle exactement ? Une valeur exacte, une inégalité, une existence, un nombre de solutions ? Une inégalité se contente souvent d'une majoration ou d'une minoration grossière, et un nombre de solutions n'exige pas de les calculer.
3) Relire les hypothèses et repérer celles qui n'ont pas encore servi.
4) Choisir une autre entrée : petits cas, cas limites, figure, travail à rebours, problème plus simple, résultat connu de même conclusion, autre raisonnement (fiche Choisir et combiner ses raisonnements).
5) Tester la nouvelle piste sur un exemple, puis s'y engager.
6) Sur la copie, ne rédiger que la piste qui aboutit, sans mentionner les essais.

Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}$.
Au brouillon.
Notons $S_n$ cette somme. Piste 1 : la calculer. $S_1 = \frac{1}{2}$, $S_2 = \frac{7}{12}$, $S_3 = \frac{37}{60}$, $S_4 = \frac{533}{840}$ : les dénominateurs grossissent sans motif et aucune formule ne se dessine. Impasse.
Relecture de la question : on ne demande pas la valeur de $S_n$, seulement une minoration. Changement de stratégie : minorer chaque terme.
Piste 2 : minorer chaque terme par le premier, $\frac{1}{n+1}$. Test pour $n = 2$ : il faudrait $\frac{1}{4} \geq \frac{1}{3}$, ce qui est faux. Le premier terme est le plus grand : piste écartée.
Piste 3 : minorer chaque terme par le dernier, $\frac{1}{2n}$, qui est le plus petit. La somme compte $n$ termes, d'où $S_n \geq n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$ : c'est exactement le but. Test pour $n = 2$ : $\frac{7}{12} \geq \frac{2}{4}$. On s'engage.
Sur la copie.
Soit $n$ un entier tel que $n \geq 1$. Posons $S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}$ ; ses termes sont les $\frac{1}{n+k}$ pour $k$ entier allant de $1$ à $n$, donc elle compte $n$ termes.
Soit $k$ un entier tel que $1 \leq k \leq n$. On a $0 < n + k \leq 2n$ ; la fonction inverse étant décroissante sur $]0, +\infty[$, on en déduit $\frac{1}{n+k} \geq \frac{1}{2n}$.
Ainsi, pour tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq n$, $\frac{1}{n+k} \geq \frac{1}{2n}$.
En sommant ces $n$ inégalités, on obtient $S_n \geq n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$.
Conclusion : pour tout entier $n \geq 1$, $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}$.
À retenir : quand une piste tourne court, on relit ce que la question exige vraiment (ici une minoration, pas une valeur exacte) et l'on repart de là au lieu de prolonger le calcul.

Ligne fautive, sur une page entière de brouillon : « $e^x = x + 2$, donc $x = \ln(x + 2)$, donc $x = \ln(\ln(x + 2) + 2)$, donc $x = \ln(\ln(\ln(x + 2) + 2) + 2)$, … »
Chaque ligne remplace $x$ par une expression où $x$ figure encore : l'expression s'allonge, l'inconnue n'est jamais isolée, et la page se remplit sans rapprocher du but. Continuer ne mènera à rien, car aucune règle de calcul usuelle n'isole $x$ lorsqu'il apparaît à la fois dans un logarithme et hors de lui.
Version correcte : s'arrêter dès que la deuxième ligne reproduit la structure de la première, noter la raison du blocage, puis relire la question. Si elle demande le nombre de solutions, changer de stratégie : figure au brouillon, puis étude de la fonction $f : x \mapsto e^x - x - 2$ sur la copie, comme dans la rédaction modèle qui compte les solutions de cette équation.

Chaque geste de recherche a sa traduction sur la copie, et certains n'en ont aucune.