Assertions, connecteurs et tables de vérité

(a) La phrase affirme une égalité, et sa seule lettre, $a$, est fixée par « Soit $a = 3$ » : c'est une assertion. Comme $a^2 - 2a = 9 - 6 = 3$, elle est vraie.
(b) La phrase affirme une égalité ; la lettre $a$ est fixée, mais $x$ n'est ni fixée ni quantifiée : ce n'est pas une assertion. Pour $x = 3$, on obtiendrait l'assertion vraie $9 = 9$ ; pour $x = 0$, l'assertion fausse $0 = 9$.
(c) La phrase affirme l'existence d'un réel ; la lettre $x$ y est quantifiée par « il existe un réel $x$ » et $a$ est fixée : c'est une assertion. Elle affirme qu'un réel a pour carré $-3$ ; or le carré d'un réel est positif et $-3 < 0$, donc elle est fausse.
(d) C'est une question : elle n'affirme rien et n'est ni vraie ni fausse ; ce n'est pas une assertion.
(e) C'est une expression : elle désigne le nombre $7$ sans rien affirmer ; ce n'est pas une assertion.
(f) La lettre $n$ n'est ni fixée ni quantifiée : ce n'est pas une assertion. Si l'on ne donne à $n$ que des valeurs entières, aucune paire ne convient, puisque (g) est vraie. Mais rien dans la phrase n'impose que $n$ soit entier : pour $n = 1$, on obtient $n(n+1) = 2$, qui est pair ; pour $n = \frac{1}{2}$, on obtient $n(n+1) = \frac{3}{4}$, qui n'est pas un entier, donc pas un entier pair. Dans tous les cas, c'est la lettre non fixée qui empêche la phrase d'être une assertion, qu'une telle paire existe ou non.
(g) La phrase affirme une propriété de tous les entiers, et la lettre $n$ y est quantifiée : c'est une assertion. Soit $n$ un entier. Des deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$, l'un est pair, donc leur produit $n(n+1)$ est pair. L'entier $n$ étant quelconque, l'assertion est vraie.
(h) C'est une consigne : elle demande une démonstration et n'affirme rien ; ce n'est pas une assertion. En revanche, « $a$ divise $12$ » en est une, vraie puisque $12 = 3 \times 4$.
(i) La phrase affirme une égalité. La lettre $a$ est fixée, et $k$ est muette : elle parcourt les entiers de $1$ à $a$ et n'a pas à être fixée. C'est donc une assertion ; comme $a = 3$, la somme vaut $1 + 2 + 3 = 6$, donc elle est vraie.
Conclusion : les assertions sont (a), vraie, (c), fausse, (g), vraie, et (i), vraie.

1) Comme $x$ est fixé, $P$, $Q$ et $R$ sont des assertions. « Positif » signifie $x \geq 0$, donc « $x$ n'est pas positif » est non $P$.
(a) « Mais » se traduit par et : « $Q$ et (non $P$) ».
(b) « Ni … ni » nie chacune des deux assertions et affirme les deux négations : « (non $P$) et (non $Q$) ».
(c) « Entier positif » est la conjonction « $P$ et $Q$ », et « il est faux que » porte sur toute cette conjonction : « non ($P$ et $Q$) ».
(d) Après la virgule, « entier ou strictement inférieur à $3$ » forme un bloc : « $P$ et ($Q$ ou $R$) ».
(e) Ici le bloc est « entier positif », que la virgule sépare de la dernière condition : « ($P$ et $Q$) ou $R$ ».
(f) « Il est faux que » nie « $x$ n'est pas un entier », c'est-à-dire non $Q$ : « non (non $Q$) », qui est logiquement équivalente à $Q$ par double négation.

2) Pour $x = -2$ : $P$ est fausse, $Q$ est vraie et $R$ est vraie. Donc (a) est vraie, (b) est fausse, (c) est vraie, (d) est fausse, (e) est vraie et (f) est vraie.
Pour $x = \frac{7}{2}$ : $P$ est vraie, $Q$ est fausse et $R$ est fausse. Donc (a) est fausse, (b) est fausse, (c) est vraie, (d) est fausse, (e) est fausse et (f) est fausse.

3) Pour $x = -2$, l'assertion (d) est fausse, car $P$ est fausse, tandis que (e) est vraie, car $R$ est vraie. Les formules « $P$ et ($Q$ ou $R$) » et « ($P$ et $Q$) ou $R$ » ne diffèrent que par la place des parenthèses, que marque la virgule dans les phrases, et pourtant elles n'ont pas la même valeur de vérité pour $x = -2$.

1) Les variables sont $P$, $Q$ et $R$ : la table compte $2^3 = 8$ lignes, écrites dans l'ordre systématique. On calcule successivement non $P$, « $P$ et $Q$ », « non $P$ et $R$ », puis $A$.

L'assertion $A$ est vraie exactement sur les lignes 1, 2, 5 et 7.

2) L'assertion $P$ est vraie sur les quatre premières lignes. Sur ces lignes, la colonne de $Q$ se lit VVFF, et celle de $A$ aussi : elles coïncident. Donc, lorsque $P$ est vraie, $A$ a la valeur de vérité de $Q$.
L'assertion $P$ est fausse sur les quatre dernières lignes. Sur ces lignes, la colonne de $R$ se lit VFVF, et celle de $A$ aussi : elles coïncident. Donc, lorsque $P$ est fausse, $A$ a la valeur de vérité de $R$.

3) Soit $x$ un réel. On note $P$ : « $x \geq 0$ », $Q$ : « $x \leq 1$ » et $R$ : « $x \geq -1$ » ; ce sont des assertions, puisque $x$ est fixé.
Pour un réel, la négation de « $x \geq 0$ » est « $x < 0$ » : l'assertion « $x < 0$ » est non $P$.
L'assertion étudiée est donc l'assertion $A$ de la question 1), écrite avec ces trois assertions.
D'après le tiers exclu, $P$ est vraie ou non $P$ est vraie ; on distingue ces deux cas.
Si $x \geq 0$, alors $P$ est vraie, donc, d'après 2), l'assertion étudiée a la valeur de vérité de « $x \leq 1$ ». Or, comme $x \geq 0$, $|x| = x$, donc « $x \leq 1$ » est l'assertion « $|x| \leq 1$ ».
Si $x < 0$, alors $P$ est fausse, donc, d'après 2), l'assertion étudiée a la valeur de vérité de « $x \geq -1$ ». En multipliant par $-1 < 0$, ce qui renverse le sens de l'inégalité, on voit que « $x \geq -1$ » a la même valeur de vérité que « $-x \leq 1$ ». Or, comme $x < 0$, $|x| = -x$, donc c'est l'assertion « $|x| \leq 1$ ».
Dans les deux cas, l'assertion « ($x \geq 0$ et $x \leq 1$) ou ($x < 0$ et $x \geq -1$) » a la même valeur de vérité que « $|x| \leq 1$ ».

1) Les variables présentes dans $A$ ou dans $P$ sont $P$ et $Q$ : bien que $Q$ n'apparaisse pas dans la seconde assertion, la table commune compte $2^2 = 4$ lignes.

Les colonnes de $A$ et de $P$ coïncident sur chacune des quatre lignes.
Donc $A$ et $P$ sont logiquement équivalentes : $A \equiv P$.

2) Soit $n$ un entier. On note $P$ : « $n \geq 1$ » et $Q$ : « $n$ est pair » ; ce sont des assertions, puisque $n$ est fixé.
Un entier est impair exactement lorsqu'il n'est pas pair : l'assertion « $n$ est impair » est non $Q$.
L'assertion étudiée s'écrit donc « ($P$ et $Q$) ou ($P$ et non $Q$) » : c'est l'assertion $A$ de la question 1).
Or, d'après 1), $A$ et $P$ ont la même valeur de vérité sur chaque ligne de leur table, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de vérité de $P$ et de $Q$.
Donc l'assertion étudiée a la même valeur de vérité que $P$, c'est-à-dire que « $n \geq 1$ ».

3) Pour $P$ vraie et $Q$ vraie : « $P$ ou $Q$ » est vraie et non $P$ est fausse, donc $B$ est fausse, alors que $Q$ est vraie.
Les colonnes de $B$ et de $Q$ diffèrent sur cette ligne, donc $B$ et $Q$ ne sont pas logiquement équivalentes.
L'assertion $B$ affirme davantage que $Q$ : elle affirme aussi que $P$ est fausse. Une seule ligne a suffi à refuser cette équivalence, alors qu'il en a fallu quatre pour établir celle de la question 1).

1) Les variables sont $P$ et $Q$ : la table compte $2^2 = 4$ lignes.

La colonne de $K$ ne contient que des F, donc $K$ est une antilogie ; sa négation, non $K$, est une tautologie.

2) Soit $x$ un réel tel que $x(x - 1) = 0$ et $x \neq 0$. Montrons que $x = 1$.
On note $P$ : « $x = 0$ » et $Q$ : « $x = 1$ » ; ce sont des assertions, puisque $x$ est fixé.
Un produit de deux réels est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Comme $x(x - 1) = 0$, l'assertion « $x = 0$ ou $x - 1 = 0$ » est vraie ; or « $x - 1 = 0$ » a la même valeur de vérité que « $x = 1$ », donc « $P$ ou $Q$ » est vraie.
Par hypothèse, $x \neq 0$, donc non $P$ est vraie.
Ainsi $C$, conjonction des deux assertions vraies « $P$ ou $Q$ » et non $P$, est vraie.
D'après le tiers exclu, $Q$ est vraie ou non $Q$ est vraie ; on distingue ces deux cas.
Supposons non $Q$ vraie. Alors $K$, conjonction des deux assertions vraies $C$ et non $Q$, serait vraie.
Or $K$ est une antilogie : elle est fausse quelles que soient les valeurs de vérité de $P$ et de $Q$, donc elle est fausse ici. Elle serait à la fois vraie et fausse, ce que la non-contradiction interdit : ce cas est impossible.
Il reste le cas où $Q$ est vraie.
Donc $x = 1$.
Remarque : le « ou » fourni par la règle du produit nul est inclusif ; c'est l'hypothèse $x \neq 0$, et non le mot « ou », qui élimine le cas $x = 0$. L'antilogie $K$, établie une fois pour toutes par sa table, garantit pour toutes assertions $P$ et $Q$ qu'on peut écarter ainsi un membre faux d'un « ou » vrai.