Nombres réels

On admet que $\mathbb{R}$ est un corps commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles, muni d'une relation d'ordre total $\leq$ compatible avec ces opérations : pour tous réels $x, y, z$, si $x \leq y$ alors $x + z \leq y + z$, et si $x \leq y$ et $z \geq 0$ alors $xz \leq yz$. Le corps $\mathbb{Q}$ vérifie déjà tout cela ; ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ est la propriété de la borne supérieure, énoncée plus loin, et c'est elle qui rend l'analyse possible. Rappel du bloc Fondements 1 : une partie de $\mathbb{R}$ est un ensemble de réels, et une application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ associe à chaque réel $x$ un unique réel $f(x)$ ; ces deux mots suffisent ici. Règles de calcul : on multiplie une inégalité par un réel positif sans la changer, par un réel négatif en la renversant, et l'on n'additionne membre à membre que des inégalités de même sens.

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Un réel $M$ est un majorant de $A$ si pour tout $x \in A$, $x \leq M$ ; un réel $m$ est un minorant de $A$ si pour tout $x \in A$, $m \leq x$. La partie $A$ est majorée si elle admet au moins un majorant, minorée si elle admet un minorant, bornée si elle est les deux, ce qui équivaut à l'existence d'un réel $K \geq 0$ tel que pour tout $x \in A$, $|x| \leq K$. Un plus grand élément (ou maximum) de $A$ est un majorant de $A$ qui appartient à $A$ ; il est unique quand il existe et se note $\max A$ ; de même pour le plus petit élément $\min A$. Un majorant n'a aucune raison d'être dans $A$, et une partie majorée n'a aucune raison d'avoir un maximum : $]0, 1[$ est majorée par $1$, par $7$, par tout réel supérieur ou égal à $1$, et n'a pas de plus grand élément.

La valeur absolue du réel $x$ est $|x| = \max(x, -x)$, c'est-à-dire $x$ si $x \geq 0$ et $-x$ si $x < 0$. Elle vérifie $|x| \geq 0$, avec $|x| = 0$ si et seulement si $x = 0$, ainsi que $|xy| = |x|\,|y|$, $|-x| = |x|$ et $\sqrt{x^2} = |x|$. Pour deux réels $x$ et $y$, le réel $|x - y|$ est la distance de $x$ à $y$ sur la droite réelle : c'est sous cette forme qu'elle intervient dans toutes les définitions de limite du bloc. Pour $r \geq 0$, l'inégalité $|x| \leq r$ équivaut à $-r \leq x \leq r$, et $|x - a| \leq r$ équivaut à $a - r \leq x \leq a + r$ ; les mêmes équivalences valent avec des inégalités strictes.

Théorème : pour tous réels $x$ et $y$, $|x + y| \leq |x| + |y|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe au sens large, c'est-à-dire $xy \geq 0$. Seconde inégalité triangulaire : pour tous réels $x$ et $y$, $\big|\,|x| - |y|\,\big| \leq |x - y|$. Démonstration de la première : on a $-|x| \leq x \leq |x|$ et $-|y| \leq y \leq |y|$ ; en ajoutant ces deux encadrements, $-(|x| + |y|) \leq x + y \leq |x| + |y|$, ce qui est exactement $|x + y| \leq |x| + |y|$. Par récurrence sur le nombre de termes, $|x_1 + \dots + x_n| \leq |x_1| + \dots + |x_n|$. Ces inégalités sont l'outil de toute majoration en analyse : on ne remplace jamais $|x + y|$ par $|x| + |y|$, car $x$ et $y$ peuvent être de signes contraires, et pour minorer $|x - y|$ on retient $|x - y| \geq |x| - |y|$, qui n'apporte quelque chose que si $|x| > |y|$.

Quand l'utiliser : dès qu'une hypothèse ou une conclusion contient une valeur absolue, $|x - a| < r$, $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$, $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ ; c'est le premier geste de toute preuve en $\varepsilon$.
1) Traduire la valeur absolue en double inégalité : $|x - a| < r$ signifie $a - r < x < a + r$. Dans l'autre sens, pour établir $|y| \leq \varepsilon$, il faut et il suffit d'établir les deux inégalités $y \leq \varepsilon$ et $y \geq -\varepsilon$.
2) Pour résoudre une inéquation, revenir à l'encadrement puis résoudre chaque inégalité ; pour une inéquation du type $|x - a| \geq r$, écrire la disjonction $x \leq a - r$ ou $x \geq a + r$.
3) Pour majorer une expression sous l'hypothèse $|x - a| < r$, encadrer d'abord $x$, puis chaque quantité qui en dépend, sans jamais perdre la borne inférieure.
4) Sur la copie, écrire la traduction en toutes lettres : « Comme $|x - 2| < 1$, on a $1 < x < 3$. »

Soit $x$ un réel tel que $|x - 2| < 1$. Montrer que $|x^2 - 4| \leq 5\,|x - 2|$, puis que $|x^2 - 4| < 5$.
Comme $|x - 2| < 1$, on a $-1 < x - 2 < 1$, donc $1 < x < 3$.
En ajoutant $2$ à chaque membre, $3 < x + 2 < 5$ ; en particulier $x + 2 > 0$, donc $|x + 2| = x + 2 < 5$.
Or $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, donc $|x^2 - 4| = |x - 2| \times |x + 2|$.
Comme $|x - 2| \geq 0$ et $0 \leq |x + 2| \leq 5$, on peut multiplier membre à membre : $|x^2 - 4| \leq 5\,|x - 2|$.
Enfin $|x - 2| < 1$ donne $5\,|x - 2| < 5$, et par transitivité $|x^2 - 4| < 5$.
À retenir : une hypothèse $|x - a| < r$ se traduit aussitôt en encadrement de $x$, dont on tire un encadrement de chaque facteur avant de multiplier.

Quand l'utiliser : pour majorer $|a - c|$ quand on sait majorer $|a - b|$ et $|b - c|$ pour un $b$ bien choisi ; c'est le mécanisme de l'unicité de la limite, de la convergence des suites de Cauchy, de la continuité d'une composée (voir les thèmes correspondants du bloc). Aussi pour minorer $|x - y|$, avec la seconde inégalité triangulaire.
1) Écrire la quantité à majorer sous la forme $|a - c|$ et choisir le terme intermédiaire $b$ : la limite, la valeur en un point voisin, le terme de rang $N$.
2) Ajouter et retrancher $b$, puis appliquer l'inégalité triangulaire : « $|a - c| = |(a - b) + (b - c)| \leq |a - b| + |b - c|$ ».
3) Majorer séparément chacun des deux morceaux, chacun avec l'hypothèse qui le concerne, et conclure par somme.
4) Pour une minoration, écrire « $|x - y| \geq \big|\,|x| - |y|\,\big| \geq |x| - |y|$ », puis minorer $|x|$ et majorer $|y|$.
5) Sur la copie, ne jamais sauter l'étape 2 : le correcteur doit voir le terme inséré.

Montrer que pour tous réels $x$ et $y$, $\big|\,|x| - |y|\,\big| \leq |x - y|$.
Soient $x$ et $y$ deux réels.
Écrivons $x = (x - y) + y$. D'après l'inégalité triangulaire, $|x| = |(x - y) + y| \leq |x - y| + |y|$, donc $|x| - |y| \leq |x - y|$.
En échangeant les rôles de $x$ et $y$, écrivons $y = (y - x) + x$ ; l'inégalité triangulaire donne $|y| \leq |y - x| + |x|$, donc $|y| - |x| \leq |y - x| = |x - y|$.
Ainsi $|x| - |y| \leq |x - y|$ et $-(|x| - |y|) \leq |x - y|$.
Or $\big|\,|x| - |y|\,\big|$ est le plus grand des deux réels $|x| - |y|$ et $-(|x| - |y|)$, chacun majoré par $|x - y|$, donc $\big|\,|x| - |y|\,\big| \leq |x - y|$.
Ceci valant pour tous réels $x$ et $y$, l'inégalité est démontrée.
À retenir : pour établir $|u| \leq K$, on établit séparément $u \leq K$ et $-u \leq K$, et chacune s'obtient en insérant un terme intermédiaire dans l'inégalité triangulaire.

Soit $x$ un réel tel que $|x - 3| \leq 1$. Montrer que $x \neq 0$ et que $\left|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}\right| \leq \dfrac{|x - 3|}{6}$.
Écrivons $x = 3 + (x - 3)$. D'après la seconde inégalité triangulaire, $|x| = |3 + (x - 3)| \geq |3| - |x - 3|$.
Or $|x - 3| \leq 1$, donc $|x| \geq 3 - 1 = 2$. En particulier $|x| > 0$, donc $x \neq 0$ et $\dfrac{1}{x}$ est défini.
On a $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - x}{3x}$, donc $\left|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}\right| = \dfrac{|x - 3|}{3\,|x|}$.
Comme $|x| \geq 2$, on a $3\,|x| \geq 6 > 0$, donc $\dfrac{1}{3\,|x|} \leq \dfrac{1}{6}$.
En multipliant par $|x - 3| \geq 0$ : $\left|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3}\right| \leq \dfrac{|x - 3|}{6}$.
À retenir : pour minorer $|x|$ quand $x$ est proche d'un réel $a \neq 0$, on écrit $|x| \geq |a| - |x - a|$ ; c'est ce qui permet de majorer un quotient dont le dénominateur bouge.

Ligne fautive : « $|x - y| \leq |x| - |y|$, donc $|x - y|$ est petit dès que $|x|$ et $|y|$ sont proches. »
C'est faux : pour $x = 1$ et $y = 3$, on a $|x - y| = 2$ et $|x| - |y| = -2$. L'inégalité vraie est dans l'autre sens, $|x - y| \geq \big|\,|x| - |y|\,\big|$ : deux réels de valeurs absolues proches peuvent être éloignés, comme $1$ et $-1$, pour lesquels $|x - y| = 2$ et $|x| - |y| = 0$. De même, $|x + y| = |x| + |y|$ n'est vrai que si $x$ et $y$ sont de même signe : pour $x = 1$ et $y = -1$, le membre de gauche vaut $0$ et le membre de droite $2$.
Version correcte : pour majorer, $|x - y| \leq |x| + |y|$ et $|x + y| \leq |x| + |y|$ ; pour minorer, $|x - y| \geq \big|\,|x| - |y|\,\big|$ et $|x + y| \geq \big|\,|x| - |y|\,\big|$.

Ligne fautive : « $|x - 1| < 2$, donc $x - 1 < 2$, donc $x < 3$ : l'ensemble des solutions est $]-\infty, 3[$. »
C'est faux : $x = -5$ vérifie $x < 3$ mais $|x - 1| = 6$. Une valeur absolue majorée cache deux inégalités, $x - 1 < 2$ et $-(x - 1) < 2$, et l'on n'a gardé que la première. La même erreur, dans l'autre sens, fait « démontrer » $|u| \leq \varepsilon$ à partir de la seule inégalité $u \leq \varepsilon$, alors que $u = -10$ vérifie $u \leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ sans être petit.
Version correcte : « $|x - 1| < 2$ équivaut à $-2 < x - 1 < 2$, c'est-à-dire $-1 < x < 3$ : l'ensemble des solutions est $]-1, 3[$. » Et pour établir $|u| \leq \varepsilon$, on établit $u \leq \varepsilon$ et $u \geq -\varepsilon$.

Les règles ci-dessous valent pour tous réels $x, y$ et tout réel $r \geq 0$ ; celles qui font intervenir un quotient supposent $y \neq 0$, et les équivalences écrites avec $\leq$ restent vraies avec $<$ pour $r > 0$. La fonction $x \mapsto |x|$ est paire, décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$ ; sa continuité est établie au thème Continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Propriété : soit $x$ un réel tel que pour tout réel $\varepsilon > 0$, $|x| \leq \varepsilon$. Alors $x = 0$. Plus généralement, si $a$ et $b$ sont deux réels tels que pour tout $\varepsilon > 0$, $a \leq b + \varepsilon$, alors $a \leq b$. Le quantificateur « pour tout $\varepsilon > 0$ » est essentiel : une inégalité $|x| \leq \varepsilon$ pour un $\varepsilon$ ne dit rien de $x$. Ce lemme est la clé de toutes les unicités en analyse, à commencer par l'unicité de la limite (thème Suites réelles et complexes : convergence) : quand on ne sait pas montrer $x = 0$ directement, on montre que $|x|$ est plus petit que tout $\varepsilon > 0$.

Quand l'utiliser : la conclusion est une égalité $x = y$ ou une inégalité large $a \leq b$ qu'aucun calcul direct ne donne, mais on sait majorer $|x - y|$ ou $a - b$ par une quantité aussi petite que l'on veut : c'est le cas dans toute preuve d'unicité d'une limite, et chaque fois qu'une hypothèse est elle-même écrite « pour tout $\varepsilon > 0$ ».
1) Annoncer le plan : « Montrons que pour tout $\varepsilon > 0$, $|x - y| \leq \varepsilon$. »
2) Écrire « Soit $\varepsilon > 0$. », puis majorer $|x - y|$ par $\varepsilon$ à l'aide des hypothèses, souvent avec l'inégalité triangulaire et en découpant $\varepsilon$ en $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}$.
3) Conclure : « Ceci valant pour tout $\varepsilon > 0$, on a $x - y = 0$ d'après la propriété, donc $x = y$. »
4) Pour exploiter à la main une hypothèse « pour tout $\varepsilon > 0$, $|x| \leq \varepsilon$ », raisonner par l'absurde : si $x \neq 0$, choisir $\varepsilon = \frac{|x|}{2}$, réel strictement positif auquel l'hypothèse s'applique, et lire la contradiction $|x| \leq \frac{|x|}{2}$.

Soit $x$ un réel tel que pour tout réel $\varepsilon > 0$, $|x| \leq \varepsilon$. Montrer que $x = 0$.
Supposons par l'absurde que $x \neq 0$. Alors $|x| > 0$.
Posons $\varepsilon_0 = \dfrac{|x|}{2}$ : c'est un réel strictement positif.
L'hypothèse, appliquée à ce réel $\varepsilon_0 > 0$, donne $|x| \leq \varepsilon_0 = \dfrac{|x|}{2}$.
En retranchant $\dfrac{|x|}{2}$ aux deux membres, $\dfrac{|x|}{2} \leq 0$, donc $|x| \leq 0$.
Or $|x| > 0$ : les deux inégalités sont incompatibles.
L'hypothèse « $x \neq 0$ » est donc fausse : $x = 0$.
À retenir : une hypothèse « pour tout $\varepsilon > 0$ » s'exploite en choisissant un $\varepsilon$ particulier, ici la moitié du réel que l'on veut écraser ; le choix $\varepsilon_0 = |x|$ donnerait $|x| \leq |x|$, qui n'apprend rien.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que pour tout réel $\varepsilon > 0$, $a \leq b + \varepsilon$ et $b \leq a + \varepsilon$. Montrer que $a = b$.
Montrons que pour tout réel $\varepsilon > 0$, $|a - b| \leq \varepsilon$.
Soit $\varepsilon > 0$. La première hypothèse, appliquée à ce réel $\varepsilon$, donne $a - b \leq \varepsilon$ ; la seconde donne $b - a \leq \varepsilon$, c'est-à-dire $-(a - b) \leq \varepsilon$.
Or $|a - b|$ vaut $a - b$ ou $-(a - b)$ : dans les deux cas, $|a - b| \leq \varepsilon$.
Ceci valant pour tout réel $\varepsilon > 0$, la propriété « un réel majoré en valeur absolue par tout $\varepsilon > 0$ est nul » donne $a - b = 0$, c'est-à-dire $a = b$.
À retenir : le plan s'annonce avant tout calcul, $\varepsilon$ est fixé une fois pour toutes par « Soit $\varepsilon > 0$ » et ne doit jamais dépendre de ce qui le suit, et la conclusion rappelle « ceci valant pour tout $\varepsilon > 0$ » avant d'invoquer la propriété. C'est le geste de toutes les preuves d'unicité en analyse.

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que $A$ admet une borne supérieure si l'ensemble de ses majorants admet un plus petit élément ; ce plus petit majorant est alors unique, comme tout plus petit élément, et se note $\sup A$. De même, la borne inférieure $\inf A$, quand elle existe, est le plus grand des minorants de $A$. Ainsi $M = \sup A$ signifie exactement deux choses : $M$ est un majorant de $A$, et tout majorant $M'$ de $A$ vérifie $M \leq M'$. La borne supérieure n'appartient pas nécessairement à $A$ : si elle y appartient, c'est le plus grand élément et $\sup A = \max A$ ; réciproquement, si $A$ admet un plus grand élément, il est sa borne supérieure. Exemples : $\sup\, ]0, 1[ \,= 1$ et $\sup\, [0, 1] = 1$, mais seul le second est un maximum ; $\inf \{1/n \mid n \in \mathbb{N}^*\} = 0$, et cette borne n'est pas atteinte.

Théorème (propriété de la borne supérieure) : toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure. Par symétrie, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure. Cette propriété est un axiome de $\mathbb{R}$ : elle n'est pas démontrée, elle fait partie de ce qu'on appelle les réels, et toute l'analyse en dépend (limite monotone, Bolzano-Weierstrass, valeurs intermédiaires : voir les thèmes suivants du bloc). Les deux hypothèses sont indispensables : la partie vide est majorée par tout réel et n'a pas de plus petit majorant ; $\mathbb{N}$ est non vide et n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{R}$, ce qui est la propriété d'Archimède. Contre-exemple qui distingue $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{R}$ : la partie $\{r \in \mathbb{Q} \mid r^2 < 2\}$ de $\mathbb{Q}$ est non vide, majorée par $2$, mais n'a pas de plus petit majorant rationnel ; dans $\mathbb{R}$, sa borne supérieure est $\sqrt{2}$, qui n'est pas dans $\mathbb{Q}$.

Théorème : soient $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $M$ un réel. Alors $M = \sup A$ si et seulement si $M$ est un majorant de $A$ et, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que $M - \varepsilon < x$ (et donc $M - \varepsilon < x \leq M$). En français : $M$ majore $A$, et aucun réel strictement plus petit que $M$ ne la majore. Démonstration : si $M = \sup A$ et $\varepsilon > 0$, le réel $M - \varepsilon < M$ n'est pas un majorant de $A$, sinon $M$ ne serait pas le plus petit ; donc il existe $x \in A$ tel que $x > M - \varepsilon$. Réciproquement, si $M$ majore $A$ et si $M'$ est un majorant de $A$ avec $M' < M$, alors $\varepsilon = M - M' > 0$ fournit $x \in A$ avec $x > M - \varepsilon = M'$, ce qui contredit le fait que $M'$ majore $A$ ; donc tout majorant $M'$ vérifie $M' \geq M$. Pour la borne inférieure : $m = \inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que $x < m + \varepsilon$. La version avec des suites (il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $\sup A$) est traitée au thème Suites réelles et complexes : convergence.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de déterminer $\sup A$ ou $\inf A$, ou de montrer que $\sup A = M$ pour un $M$ donné ; le candidat $M$ se devine sur la forme des éléments de $A$ (valeur vers laquelle tend une expression, borne d'un intervalle).
1) Vérifier que $A$ est non vide, en exhibant un élément, et annoncer le candidat : « Montrons que $\sup A = M$. »
2) Montrer que $M$ est un majorant : « Soit $x \in A$. Alors $x$ s'écrit … donc $x \leq M$. » Cette étape assure aussi que $A$ est majorée, donc que $\sup A$ existe et vérifie $\sup A \leq M$.
3) Montrer que $M$ est le plus petit majorant, par la caractérisation en $\varepsilon$ : « Soit $\varepsilon > 0$. » Chercher au brouillon un élément $x_\varepsilon \in A$ tel que $x_\varepsilon > M - \varepsilon$ ; quand $A$ est indexée par $\mathbb{N}$, le rang fourni par la propriété d'Archimède est le choix habituel. Écrire le choix explicitement : « Posons $x_\varepsilon = \dots$ ; on a $x_\varepsilon \in A$ et $x_\varepsilon > M - \varepsilon$. »
4) Conclure : « $M$ est un majorant de $A$ et pour tout $\varepsilon > 0$, $M - \varepsilon$ n'en est pas un, donc $\sup A = M$. »
5) Dire enfin si la borne est atteinte, c'est-à-dire si $M \in A$, ce qui décide de l'existence d'un plus grand élément. Pour $\inf A$, même plan avec un minorant $m$ et un élément strictement inférieur à $m + \varepsilon$.

Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de $A = [0, 1[$, en précisant si elles sont atteintes.
La partie $A$ est non vide, car $0 \in A$.
Borne inférieure. Pour tout $x \in A$, on a $0 \leq x$ : le réel $0$ est un minorant de $A$. Comme de plus $0 \in A$, c'est le plus petit élément de $A$, donc $\inf A = \min A = 0$.
Borne supérieure. Pour tout $x \in A$, on a $x < 1$, donc $x \leq 1$ : le réel $1$ est un majorant de $A$, et $A$, non vide et majorée, admet une borne supérieure.
Montrons que $\sup A = 1$ par la caractérisation en $\varepsilon$. Soit $\varepsilon > 0$. Posons $x_\varepsilon = \max\!\left(0,\ 1 - \dfrac{\varepsilon}{2}\right)$.
On a $x_\varepsilon \geq 0$, et $x_\varepsilon < 1$ puisque $0 < 1$ et $1 - \dfrac{\varepsilon}{2} < 1$ : donc $x_\varepsilon \in A$.
De plus $x_\varepsilon \geq 1 - \dfrac{\varepsilon}{2} > 1 - \varepsilon$, puisque $\dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un élément de $A$ strictement supérieur à $1 - \varepsilon$ : le réel $1$ est le plus petit des majorants, $\sup A = 1$.
Enfin $1 \notin A$, donc $A$ n'a pas de plus grand élément : la borne supérieure n'est pas atteinte.
À retenir : un candidat se prouve en deux temps, majorant puis approche à $\varepsilon$ près par un élément explicitement construit ; le $\max$ avec $0$ garantit que l'élément choisi reste dans $A$ même pour un grand $\varepsilon$.

Quand l'utiliser : pour comparer deux bornes supérieures, $\sup A \leq \sup B$ quand $A \subset B$, $\sup (A + B) = \sup A + \sup B$, $\sup(\lambda A) = \lambda \sup A$ pour $\lambda > 0$, ou pour majorer une borne supérieure par un réel : c'est le geste de base des exercices sur les bornes.
1) Pour établir $\sup A \leq K$ : montrer que $K$ est un majorant de $A$, « Soit $x \in A$ … donc $x \leq K$ », puis écrire « $K$ majore $A$, donc, $\sup A$ étant le plus petit majorant, $\sup A \leq K$ ». L'inégalité obtenue est large, même si chaque $x \leq K$ était stricte.
2) Pour établir $K \leq \sup A$ : exhiber un élément $x \in A$ tel que $K \leq x$, car $x \leq \sup A$ ; ou montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, $K - \varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$.
3) Pour une égalité, faire les deux inégalités séparément. Quand un élément de la partie dépend de deux paramètres, comme $a + b$ avec $a \in A$ et $b \in B$, passer à la borne supérieure en un paramètre à la fois, l'autre étant fixé : « $b$ étant fixé, pour tout $a \in A$, $a \leq \sup(A + B) - b$, donc $\sup A \leq \sup(A + B) - b$ ; ceci valant pour tout $b \in B$ … »
4) Avant chaque borne supérieure écrite, s'assurer que la partie est non vide et majorée.

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$. On pose $A + B = \{a + b \mid a \in A,\ b \in B\}$. Montrer que $A + B$ admet une borne supérieure et que $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$.
Les parties $A$ et $B$ sont non vides et majorées, donc $\sup A$ et $\sup B$ existent d'après la propriété de la borne supérieure.
La partie $A + B$ est non vide, car $A$ et $B$ le sont. Soit $y \in A + B$ : il existe $a \in A$ et $b \in B$ tels que $y = a + b$. Comme $a \leq \sup A$ et $b \leq \sup B$, on a $y \leq \sup A + \sup B$.
Ainsi $\sup A + \sup B$ est un majorant de $A + B$ ; cette partie, non vide et majorée, admet une borne supérieure, et $\sup(A + B) \leq \sup A + \sup B$.
Montrons l'inégalité réciproque. Fixons $b \in B$. Pour tout $a \in A$, on a $a + b \in A + B$, donc $a + b \leq \sup(A + B)$, donc $a \leq \sup(A + B) - b$.
Le réel $\sup(A + B) - b$ majore donc $A$, et comme $\sup A$ est le plus petit majorant de $A$, $\sup A \leq \sup(A + B) - b$, c'est-à-dire $b \leq \sup(A + B) - \sup A$.
Ceci valant pour tout $b \in B$, le réel $\sup(A + B) - \sup A$ majore $B$, donc $\sup B \leq \sup(A + B) - \sup A$, soit $\sup A + \sup B \leq \sup(A + B)$.
Par double inégalité, $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$.
À retenir : on passe à la borne supérieure un paramètre à la fois, l'autre étant fixé, et chaque passage s'appuie sur la phrase « ce réel majore la partie, donc il est supérieur ou égal à sa borne supérieure ».

Ligne fautive : « Soit $x_0 \in A$ tel que $x_0 = \sup A$. » ou « $A$ est majorée, donc elle admet un plus grand élément. »
C'est faux : $A = \,]0, 1[$ est non vide et majorée, $\sup A = 1$, mais $1 \notin A$ et aucun élément de $A$ n'est le plus grand, puisque pour tout $x \in A$, le réel $\frac{x + 1}{2}$ est dans $A$ et strictement plus grand que $x$. Une borne supérieure existe dès que la partie est non vide et majorée ; un maximum n'existe que si la borne est atteinte, ce qui se vérifie à part. L'erreur est fréquente dans les preuves où l'on veut « le point où la borne est réalisée » : sans hypothèse supplémentaire (partie finie, fonction continue sur un segment, voir le thème Fonctions continues sur un segment et continuité uniforme), rien n'en garantit l'existence.
Version correcte : « Posons $M = \sup A$, qui existe car $A$ est non vide et majorée. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que $M - \varepsilon < x \leq M$. » Et si l'on a besoin de $M \in A$, on le démontre, ou l'on constate que c'est faux.

Ligne fautive : « Posons $M = \sup A$ et montrons que … »
Sans les hypothèses « non vide » et « majorée », le réel $M$ n'existe pas nécessairement, et tout ce qui suit repose sur un objet fantôme. Contre-exemples : $\sup \mathbb{N}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ (propriété d'Archimède) ; $\sup \emptyset$ n'existe pas, puisque tout réel majore la partie vide et qu'il n'y a pas de plus petit réel. L'erreur est particulièrement fréquente quand $A$ est définie par une condition, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \leq 0\}$, dont on ne sait pas encore si elle est satisfaite par au moins un réel.
Version correcte : « La partie $A$ est non vide, car $a \in A$ ; elle est majorée par $K$, car pour tout $x \in A$, … Elle admet donc une borne supérieure, que l'on note $M$. » Dans la droite achevée, on convient que $\sup A = +\infty$ quand $A$ n'est pas majorée et $\sup \emptyset = -\infty$, mais ce ne sont pas des réels, et l'on ne calcule pas avec eux comme avec $M$.

Ligne fautive : « Comme $M = \sup A$, pour tout $\varepsilon > 0$, le réel $M - \varepsilon$ appartient à $A$. »
C'est faux : la caractérisation dit que $M - \varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$, c'est-à-dire qu'il existe un élément de $A$ strictement plus grand que $M - \varepsilon$, ce qui n'oblige en rien $M - \varepsilon$ à être dans $A$. Contre-exemple : $A = \{0, 1\}$, $\sup A = 1$, et pour $\varepsilon = 0{,}5$, le réel $0{,}5$ n'est pas dans $A$. Même erreur avec la borne inférieure : « $m + \varepsilon \in A$ » est faux pour $A = \{0, 1\}$ et $\varepsilon = 0{,}5$.
Version correcte : « Comme $M = \sup A$, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que $M - \varepsilon < x \leq M$. » L'élément $x$ dépend de $\varepsilon$ et doit être introduit par « il existe ».