Suites réelles et complexes : convergence

Une suite réelle est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (au sens du bloc Fondements 1 : à chaque entier $n$ elle associe un unique réel), parfois définie seulement à partir d'un rang $n_0$ ; on note $u_n$ l'image de $n$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite. Elle est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$ (un tel $M$ est un majorant de la suite, c'est-à-dire de la partie $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ de $\mathbb{R}$), minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \geq m$, bornée si elle est majorée et minorée, ce qui équivaut à l'existence de $M \geq 0$ tel que pour tout $n$, $|u_n| \leq M$. Une propriété $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang s'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie pour tout $n \geq N$. Deux propriétés vraies à partir des rangs $N_1$ et $N_2$ sont vraies ensemble à partir du rang $\max(N_1, N_2)$ : ce passage au plus grand des rangs revient dans toutes les démonstrations du thème. Il s'étend à un nombre fini de propriétés, jamais à une infinité.

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$, ou tend vers $\ell$, si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n \geq N \Rightarrow |u_n - \ell| \leq \varepsilon)$. En français : quelle que soit la marge d'erreur $\varepsilon$, aussi petite soit-elle, tous les termes de la suite sont à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$ à partir d'un certain rang. Le rang $N$ est choisi après $\varepsilon$ et dépend de $\varepsilon$ ; il ne dépend pas de $n$, qui est introduit en dernier. La suite est convergente s'il existe un réel $\ell$ tel qu'elle converge vers $\ell$, divergente sinon. La négation s'obtient en échangeant les quantificateurs (voir « Nier une proposition ») : $(u_n)$ ne tend pas vers $\ell$ si $\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ |u_n - \ell| > \varepsilon$, c'est-à-dire si une certaine marge est dépassée pour des indices aussi grands que l'on veut.

Les formulations suivantes définissent la même notion : remplacer $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$ par $|u_n - \ell| < \varepsilon$ (il suffit d'appliquer la version large à $\varepsilon/2$) ; remplacer $n \geq N$ par $n > N$ ; restreindre « pour tout $\varepsilon > 0$ » à « pour tout $\varepsilon \in ]0, 1]$ », ou aux seuls $\varepsilon = 1/(k+1)$ avec $k \in \mathbb{N}$ (un $\varepsilon$ plus grand est servi par le même rang, et tout $\varepsilon > 0$ est minoré par un $1/(k+1)$ d'après la propriété d'Archimède, thème Nombres réels). De plus $(u_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si $(u_n - \ell)$ converge vers $0$, si et seulement si $(|u_n - \ell|)$ converge vers $0$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, la suite décalée $(u_{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell$ (le même rang $N$ convient). Enfin, modifier un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la limite : la définition ne regarde les termes qu'à partir d'un certain rang.

Converger : avoir une limite réelle. Tendre vers $+\infty$ : ce n'est pas converger, une telle suite est divergente. Diverger : ne pas converger, ce qui recouvre deux situations, avoir une limite infinie ($u_n = n$) ou n'avoir aucune limite ($u_n = (-1)^n$). Bornée : les termes restent dans un segment fixe. À partir d'un certain rang : il existe $N$ tel que la propriété vaut pour tout $n \geq N$ ; « pour $n$ assez grand » veut dire la même chose. Limite : un réel, ou l'un des symboles $+\infty$ et $-\infty$ ; « la suite admet une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$ » réunit les deux cas. Stationnaire : constante à partir d'un certain rang, donc convergente. Terme général : l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ ; on distingue la suite $(u_n)$ de son terme $u_n$, comme une fonction de sa valeur en un point.

Théorème : si une suite réelle $(u_n)$ converge vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors $\ell = \ell'$. On parle donc de la limite d'une suite convergente et l'on écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$, ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ ; ces notations ne s'emploient qu'après avoir établi l'existence de la limite. Idée de la démonstration, rédigée dans « Rédaction modèle : unicité de la limite » : si $\ell \neq \ell'$, une marge $\varepsilon$ strictement plus petite que la moitié de $|\ell - \ell'|$ définit deux intervalles disjoints autour de $\ell$ et de $\ell'$, et un même terme $u_n$ ne peut pas être dans les deux. Le même argument montre qu'une suite a au plus une limite dans $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ (carte « Suite de limite infinie »).

On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n \geq A$. En français : quel que soit le seuil $A$, aussi grand soit-il, tous les termes le dépassent à partir d'un certain rang. On dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si $(-u_n)$ tend vers $+\infty$, c'est-à-dire si $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n \leq A$. Une suite qui tend vers $+\infty$ n'est pas majorée, donc pas bornée, donc elle ne converge pas (carte « Toute suite convergente est bornée ») : elle est divergente, et l'on écrit $\lim u_n = +\infty$ sans jamais dire qu'elle « converge vers $+\infty$ ». Négation : $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$ si $\exists A \in \mathbb{R},\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ u_n < A$.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ diverge, donc $u_n \to +\infty$ ou $u_n \to -\infty$. » Autre ligne fautive : « $u_n \to +\infty$, donc $(u_n)$ converge, vers $+\infty$. »
Diverger, c'est ne converger vers aucun réel, et cela recouvre deux situations : avoir une limite infinie, comme $u_n = n$, ou n'avoir aucune limite, comme $u_n = (-1)^n$ (sa divergence est démontrée dans le piège « Confondre bornée et convergente ») ou $u_n = (-1)^n n$, qui prend des valeurs positives et négatives aussi grandes que l'on veut et n'a donc aucune limite, finie ou infinie. Dans l'autre sens, une suite de limite infinie n'est pas bornée, donc elle est divergente : « converger » est réservé aux limites réelles.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ diverge : ou bien elle a une limite infinie, ou bien elle n'a pas de limite. » et « $u_n \to +\infty$ : la suite est divergente, de limite $+\infty$. »

Quand l'utiliser : la suite est donnée par une formule explicite et l'énoncé demande de « revenir à la définition », ou bien aucun théorème d'opérations ne s'applique (début de cours, suite définie par un procédé abstrait). C'est aussi la méthode qui fait comprendre toutes les autres.
1) Au brouillon, calculer $|u_n - \ell|$ et le majorer par une expression $\alpha_n$ plus simple, positive, qui tend visiblement vers $0$ ($C/n$, $C/\sqrt{n}$, $C q^n$ avec $0 < q < 1$), en justifiant chaque majoration.
2) Au brouillon toujours, résoudre l'inéquation $\alpha_n \leq \varepsilon$ d'inconnue $n$ : elle donne un seuil réel $s(\varepsilon)$ tel que $n \geq s(\varepsilon)$ suffit.
3) Sur la copie, écrire « Soit $\varepsilon > 0$. » puis « Posons $N = \max(0, \lfloor s(\varepsilon) \rfloor + 1)$. » : c'est un entier naturel, et $N \geq \lfloor s(\varepsilon) \rfloor + 1 > s(\varepsilon)$ (l'existence de la partie entière est la propriété d'Archimède, thème Nombres réels). Le maximum avec $0$ ne sert que si le seuil est négatif, ce qui arrive pour un majorant $C q^n$ et un $\varepsilon$ grand : avec $C = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$ et $\varepsilon = 8$, le seuil vaut $-3$. Quand le seuil est positif, comme pour $\alpha_n = \dfrac{C}{n}$, on écrit simplement $N = \lfloor s(\varepsilon) \rfloor + 1$. Le rang $N$ ne dépend que de $\varepsilon$.
4) Écrire « Soit $n \geq N$. » puis enchaîner les inégalités jusqu'à $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$, en citant $n \geq N > s(\varepsilon)$ à l'endroit où cela sert.
5) Conclure par la phrase complète : « Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. »
Pour une limite $+\infty$ : remplacer « Soit $\varepsilon > 0$ » par « Soit $A \in \mathbb{R}$ », minorer $u_n$ par une expression simple $\beta_n$ valable à partir d'un rang $n_1$, résoudre $\beta_n \geq A$, et prendre $N = \max(n_1, \lfloor s(A) \rfloor + 1)$.

Montrer, avec la définition, que la suite de terme général $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$ converge vers $3$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n - 3 = \dfrac{3n + 1 - 3(n + 2)}{n + 2} = \dfrac{-5}{n + 2}$, donc $|u_n - 3| = \dfrac{5}{n + 2}$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Posons $N = \left\lfloor \dfrac{5}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ : c'est un entier naturel, et $N > \dfrac{5}{\varepsilon}$, car la partie entière d'un réel $x$ vérifie $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$.
Soit $n \geq N$. Alors $n + 2 > n \geq N > \dfrac{5}{\varepsilon}$ ; ces réels étant strictement positifs, on en déduit $\dfrac{5}{n + 2} < \varepsilon$.
Ainsi $|u_n - 3| < \varepsilon$, et en particulier $|u_n - 3| \leq \varepsilon$.
On a montré : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - 3| \leq \varepsilon$. La suite $(u_n)$ converge donc vers $3$.
À retenir : le calcul de $|u_n - \ell|$ et le choix de $N$ se font au brouillon ; sur la copie, $\varepsilon$ est fixé d'abord, $N$ ensuite, $n$ en dernier.

Montrer, avec la définition, que la suite de terme général $u_n = n^2 - 3n$ tend vers $+\infty$.
Pour tout $n \geq 4$, on a $n - 3 \geq 1$, donc $u_n = n(n - 3) \geq n$, car $n \geq 0$.
Soit $A \in \mathbb{R}$.
Posons $N = \max(4, \lfloor A \rfloor + 1)$ : c'est un entier naturel, car $N \geq 4$, et il vérifie $N > A$, car $\lfloor A \rfloor + 1 > A$.
Soit $n \geq N$. Comme $n \geq 4$, on a $u_n \geq n$ ; comme $n \geq N > A$, on a $u_n \geq A$.
Ainsi, pour tout réel $A$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$ : la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
À retenir : pour une limite infinie, on minore $u_n$ par une expression simple valable à partir d'un rang, et $N$ prend en compte à la fois ce rang et le seuil $A$, par un maximum.

Ligne fautive : « Pour $\varepsilon = 10^{-3}$, on a $|u_n - 3| \leq 10^{-3}$ dès que $n \geq 4998$, donc $u_n \to 3$. »
Une seule valeur de $\varepsilon$ ne prouve rien : la suite constante $u_n = 3{,}0005$ vérifie $|u_n - 3| \leq 10^{-3}$ pour tout $n$ et ne tend pas vers $3$. La définition exige tous les $\varepsilon > 0$, en particulier ceux plus petits que n'importe quel nombre donné à l'avance.
Autre ligne fautive : « Soit $\varepsilon > 0$ et $n \in \mathbb{N}$. Posons $N = n$ ; alors $n \geq N$ et… » ou « Posons $\varepsilon = \dfrac{5}{n+2}$ ; alors $|u_n - 3| \leq \varepsilon$. »
Dans les deux cas, le rang ou la marge dépend de $n$, alors que la définition impose l'ordre : $\varepsilon$ d'abord, $N$ ensuite (fonction de $\varepsilon$ seul), $n$ en dernier. Avec $\varepsilon$ fonction de $n$, l'inégalité $|u_n - 3| \leq \varepsilon$ devient une tautologie qui ne dit rien de la limite (voir « Ordre des quantificateurs »).
Version correcte : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $N = \lfloor 5/\varepsilon \rfloor + 1$. Soit $n \geq N$. Alors … donc $|u_n - 3| \leq \varepsilon$. »

Quand l'utiliser : on sait que $(u_n)$ converge vers $\ell$ (hypothèse de l'énoncé ou résultat déjà obtenu) et l'on veut en tirer une propriété des termes : un encadrement, un signe, une majoration, ou une contradiction. La définition est alors une réserve d'inégalités : chaque $\varepsilon$ fournit un rang et une inégalité, et tout l'art est de choisir $\varepsilon$.
1) Écrire ce que l'on veut obtenir sur $u_n$, et en déduire la marge qui le donne : $\varepsilon = 1$ pour borner ; $\varepsilon = \ell/2$ pour garder le signe de $\ell > 0$ ; $\varepsilon = |\ell - \ell'|/3$ pour séparer deux limites distinctes ; $\varepsilon = \delta/3$ pour obtenir une contradiction à partir d'un écart $\delta > 0$ ; $\varepsilon/2$ pour chacune de deux suites quand leurs erreurs s'ajoutent.
2) Sur la copie : « Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, en appliquant la définition à $\varepsilon = \dots$, qui est strictement positif car …, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$. » Justifier $\varepsilon > 0$ à chaque fois.
3) Traduire $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$ par l'encadrement $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon$, et n'en garder que la moitié utile.
4) Si deux convergences sont utilisées, obtenir deux rangs $N_1$ et $N_2$, puis travailler pour $n \geq \max(N_1, N_2)$ ; s'il faut un indice précis, prendre $n = \max(N_1, N_2)$.
5) Si les premiers termes gênent (majoration, signe), les traiter à part : ils sont en nombre fini.

Soit $(u_n)$ une suite réelle qui converge vers $\ell$ et vers $\ell'$. Montrer que $\ell = \ell'$.
Supposons par l'absurde que $\ell \neq \ell'$ (voir « Raisonnement par l'absurde »).
Posons $\varepsilon = \dfrac{|\ell - \ell'|}{3}$ ; comme $\ell \neq \ell'$, on a $\varepsilon > 0$.
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, il existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$.
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell'$, il existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_2$, $|u_n - \ell'| \leq \varepsilon$.
Posons $n = \max(N_1, N_2)$ : cet indice vérifie $n \geq N_1$ et $n \geq N_2$, donc les deux inégalités.
Par l'inégalité triangulaire, $|\ell - \ell'| = |(\ell - u_n) + (u_n - \ell')| \leq |u_n - \ell| + |u_n - \ell'| \leq 2\varepsilon = \dfrac{2}{3}|\ell - \ell'|$.
Donc $\dfrac{1}{3}|\ell - \ell'| \leq 0$, c'est-à-dire $|\ell - \ell'| \leq 0$, ce qui contredit $|\ell - \ell'| > 0$.
L'hypothèse « $\ell \neq \ell'$ » est donc fausse : $\ell = \ell'$.
À retenir : la marge est choisie pour que deux marges mises bout à bout ne comblent pas l'écart entre les deux limites, et l'inégalité triangulaire fait le raccord.

Théorème : toute suite réelle convergente est bornée. La réciproque est fausse : $u_n = (-1)^n$ est bornée et diverge. La contraposée est l'usage principal : une suite non bornée diverge, sans autre calcul ; c'est le cas de $u_n = n$, de $u_n = (-1)^n n$ et de toute suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Idée de la démonstration, rédigée dans « Rédaction modèle : toute suite convergente est bornée » : la marge $\varepsilon = 1$ borne tous les termes à partir d'un rang $N$ par $|\ell| + 1$, et les termes d'indice inférieur à $N$ sont en nombre fini.

Soit $(u_n)$ une suite réelle convergente, de limite $\ell$. Montrer que $(u_n)$ est bornée.
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, en appliquant la définition à $\varepsilon = 1$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| \leq 1$.
Soit $n \geq N$. Par l'inégalité triangulaire, $|u_n| = |(u_n - \ell) + \ell| \leq |u_n - \ell| + |\ell| \leq 1 + |\ell|$.
Les termes $u_0, \dots, u_{N-1}$ sont en nombre fini ; posons $M = \max(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, 1 + |\ell|)$, maximum d'une famille finie de réels, qui existe (si $N = 0$, ce maximum est simplement $1 + |\ell|$).
Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $n < N$, alors $|u_n| \leq M$ par définition de $M$ ; si $n \geq N$, alors $|u_n| \leq 1 + |\ell| \leq M$.
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \leq M$ : la suite $(u_n)$ est bornée.
À retenir : la marge $1$ suffit ; les termes qui précèdent le rang $N$ sont en nombre fini, et l'on prend le maximum de leurs valeurs absolues.

Ligne fautive : « Pour tout $n$, $-1 \leq u_n \leq 1$, donc $(u_n)$ converge. »
Être bornée est une condition nécessaire à la convergence, jamais suffisante. Contre-exemple : $u_n = (-1)^n$. Supposons qu'elle converge vers un réel $\ell$ ; avec $\varepsilon = \dfrac{1}{2}$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - \ell| \leq \dfrac{1}{2}$. Alors $|u_{N+1} - u_N| \leq |u_{N+1} - \ell| + |\ell - u_N| \leq 1$, alors que $|u_{N+1} - u_N| = |(-1)^{N+1} - (-1)^N| = 2$ : contradiction. La suite est bornée et divergente.
Version correcte : pour conclure à la convergence d'une suite bornée, il faut une hypothèse de plus, par exemple la monotonie (théorème de la limite monotone, thème Suites monotones, adjacentes et extraites) ; sans elle, le théorème de Bolzano-Weierstrass ne fournit qu'une suite extraite convergente (thème Bolzano-Weierstrass et suites de Cauchy).

Propriété : si $(u_n)$ converge vers $\ell > 0$, alors il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \geq \dfrac{\ell}{2} > 0$. Démonstration : la définition appliquée à $\varepsilon = \ell/2 > 0$ donne un rang $N$ à partir duquel $\ell - \ell/2 \leq u_n$. De même, si $\ell < 0$, alors $u_n \leq \ell/2 < 0$ à partir d'un certain rang. Si $\ell \neq 0$, alors $|u_n| \geq |\ell|/2 > 0$ à partir d'un certain rang, car $\big| |u_n| - |\ell| \big| \leq |u_n - \ell|$ (seconde inégalité triangulaire) ; en particulier $u_n \neq 0$ à partir d'un certain rang, ce qui permet de définir $1/u_n$ et de le majorer en valeur absolue par $2/|\ell|$. Attention au sens : une limite strictement positive impose le signe des termes, mais des termes strictement positifs n'imposent à la limite que $\ell \geq 0$ (carte « Passage à la limite dans les inégalités larges »).

Théorème : soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles qui convergent vers $\ell$ et $\ell'$, et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $(u_n + v_n)$ converge vers $\ell + \ell'$ ; $(\lambda u_n)$ converge vers $\lambda \ell$ ; $(u_n v_n)$ converge vers $\ell \ell'$ ; $(|u_n|)$ converge vers $|\ell|$ ; si $\ell' \neq 0$, alors $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang et la suite $(u_n / v_n)$, définie à partir de ce rang, converge vers $\ell / \ell'$. L'hypothèse les deux suites convergent est indispensable à chaque ligne : le théorème va des facteurs vers l'expression, jamais dans l'autre sens. Un résultat de plus, sans convergence de $(v_n)$ : si $(u_n)$ tend vers $0$ et $(v_n)$ est bornée, alors $(u_n v_n)$ tend vers $0$ ; ainsi $\dfrac{(-1)^n}{n} \to 0$. Démonstrations : la somme avec $\varepsilon/2$ pour chaque suite, le produit dans « Rédaction modèle : produit de deux suites convergentes », l'inverse par la minoration $|v_n| \geq |\ell'|/2$, le quotient comme produit par l'inverse.

Quand l'utiliser : pour prouver avec la définition la convergence d'une expression où deux quantités varient à la fois (produit $u_n v_n$, quotient, $u_n^2$, $\sqrt{u_n}$), ou pour majorer l'écart entre une expression et sa limite supposée.
1) Écrire la différence à majorer et intercaler un terme mixte qui ne fait varier qu'une quantité à la fois : $u_n v_n - \ell \ell' = u_n (v_n - \ell') + \ell' (u_n - \ell)$ ; de même $u_n^2 - \ell^2 = (u_n - \ell)(u_n + \ell)$.
2) Appliquer l'inégalité triangulaire : $|u_n v_n - \ell \ell'| \leq |u_n| \, |v_n - \ell'| + |\ell'| \, |u_n - \ell|$.
3) Remplacer ce qui varie mais reste borné par une constante : $|u_n| \leq M$, car une suite convergente est bornée ; $|\ell'|$ est déjà une constante.
4) Répartir la marge : obtenir $|v_n - \ell'| \leq \dfrac{\varepsilon}{2M}$ à partir d'un rang $N_1$ et $|u_n - \ell| \leq \dfrac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)}$ à partir d'un rang $N_2$ (le $+1$ évite de diviser par zéro si $\ell' = 0$, et $M$ est pris strictement positif).
5) Pour $n \geq \max(N_1, N_2)$, additionner : chaque morceau vaut au plus $\varepsilon/2$. Conclure par la phrase complète.

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles qui convergent vers $\ell$ et $\ell'$. Montrer que $(u_n v_n)$ converge vers $\ell \ell'$.
La suite $(u_n)$ converge, donc elle est bornée : il existe $M \geq 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \leq M$ ; quitte à remplacer $M$ par $M + 1$, on suppose $M > 0$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n v_n - \ell \ell' = u_n (v_n - \ell') + \ell' (u_n - \ell)$, donc, par l'inégalité triangulaire, $|u_n v_n - \ell \ell'| \leq |u_n| \, |v_n - \ell'| + |\ell'| \, |u_n - \ell| \leq M |v_n - \ell'| + |\ell'| \, |u_n - \ell|$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Comme $(v_n)$ converge vers $\ell'$, en appliquant la définition à $\dfrac{\varepsilon}{2M} > 0$, il existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $|v_n - \ell'| \leq \dfrac{\varepsilon}{2M}$.
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, en appliquant la définition à $\dfrac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)} > 0$, il existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_2$, $|u_n - \ell| \leq \dfrac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)}$.
Posons $N = \max(N_1, N_2)$ et soit $n \geq N$.
Alors $|u_n v_n - \ell \ell'| \leq M \cdot \dfrac{\varepsilon}{2M} + |\ell'| \cdot \dfrac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)} \leq \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$, car $\dfrac{|\ell'|}{|\ell'| + 1} \leq 1$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n v_n - \ell \ell'| \leq \varepsilon$ : la suite $(u_n v_n)$ converge vers $\ell \ell'$.
À retenir : intercaler $u_n \ell'$, borner le facteur qui varie, puis donner à chaque convergence la moitié de la marge.

Ligne fautive : « $\lim (u_n v_n) = \lim u_n \times \lim v_n$ », écrite avant d'avoir vérifié que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent toutes les deux.
Si l'une des deux limites n'existe pas, le membre de droite n'a pas de sens, et le membre de gauche peut exister quand même : pour $u_n = v_n = (-1)^n$, le produit $u_n v_n = 1$ converge vers $1$ alors que ni $(u_n)$ ni $(v_n)$ ne converge. Si les limites sont infinies, la règle tombe aussi : $u_n = n + 1$ et $v_n = \dfrac{1}{n + 1}$ donnent $u_n v_n = 1$, alors que « $+\infty \times 0$ » n'est pas défini. Enfin, le théorème ne se remonte pas : de la convergence de $(u_n v_n)$ on ne déduit rien sur $(u_n)$, comme le montrent $u_n = (-1)^n$ et $v_n = 0$.
Version correcte : « Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, vers $\ell$ et $\ell'$ ; donc, par produit de limites, $(u_n v_n)$ converge vers $\ell \ell'$. » L'existence des deux limites se vérifie avant d'écrire le symbole $\lim$.

Théorème : soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergentes, de limites $\ell$ et $\ell'$, telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. Alors $\ell \leq \ell'$. Le théorème ne crée pas de convergence : les deux limites doivent exister avant. Cas particuliers : si $u_n \leq M$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \leq M$ ; si $u_n \geq 0$, alors $\ell \geq 0$ ; si $u_n \in [a, b]$, alors $\ell \in [a, b]$. Les inégalités strictes deviennent larges : $\dfrac{1}{n} > 0$ pour tout $n \geq 1$ et sa limite est $0$ ; de $u_n < v_n$ on ne déduit que $\ell \leq \ell'$. La démonstration (« Rédaction modèle : passage à la limite dans une inégalité large ») est un raisonnement par l'absurde avec la marge $\varepsilon = (\ell - \ell')/3$.

Quand l'utiliser : on connaît une inégalité entre des termes de suites, valable à partir d'un certain rang, et l'on veut une inégalité entre les limites ; typiquement pour localiser une limite (signe, appartenance à un segment) ou comparer deux limites.
1) Vérifier et écrire que les deux membres convergent (un membre constant converge) : « Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$. » Sans cela, le théorème ne s'applique pas ; s'il manque une convergence, penser au théorème d'encadrement ou au théorème de minoration.
2) Écrire l'inégalité avec son rang et sa justification : « Pour tout $n \geq N_0$, $u_n \leq v_n$, car … ».
3) Conclure : « Par passage à la limite dans cette inégalité large, $\ell \leq \ell'$. » La conclusion est toujours large, même si l'inégalité de départ est stricte.
4) Si une inégalité stricte sur la limite est attendue, la chercher ailleurs : une valeur exclue par un autre argument, une minoration par une constante strictement positive valable à partir d'un rang.
Usage type : une suite définie par récurrence dont tous les termes sont dans $[a, b]$ et dont on sait qu'elle converge a sa limite dans $[a, b]$ (thème Suites monotones, adjacentes et extraites).

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant vers $\ell$ et $\ell'$, et $N_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_0$, $u_n \leq v_n$. Montrer que $\ell \leq \ell'$.
Supposons par l'absurde que $\ell > \ell'$, et posons $\varepsilon = \dfrac{\ell - \ell'}{3}$, qui est strictement positif.
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, il existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $|u_n - \ell| \leq \varepsilon$, et en particulier $u_n \geq \ell - \varepsilon$.
Comme $(v_n)$ converge vers $\ell'$, il existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N_2$, $|v_n - \ell'| \leq \varepsilon$, et en particulier $v_n \leq \ell' + \varepsilon$.
Posons $n = \max(N_0, N_1, N_2)$. Pour cet indice, $u_n \leq v_n$, $u_n \geq \ell - \varepsilon$ et $v_n \leq \ell' + \varepsilon$, donc $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq \ell' + \varepsilon$.
Ainsi $\ell - \ell' \leq 2\varepsilon = \dfrac{2}{3}(\ell - \ell')$, donc $\dfrac{1}{3}(\ell - \ell') \leq 0$, ce qui contredit $\ell - \ell' > 0$.
L'hypothèse « $\ell > \ell'$ » est donc fausse : $\ell \leq \ell'$.
À retenir : de chaque convergence on ne garde que la moitié utile de l'encadrement, les trois rangs se combinent par un maximum, et la preuve ne donne que l'inégalité large, comme le montrent $u_n = 0$ et $v_n = \dfrac{1}{n+1}$, où $u_n < v_n$ pour tout $n$ et $\ell = \ell' = 0$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle convergente, de limite $\ell$, dont tous les termes appartiennent à $]0, 1[$. Montrer que $\ell \in [0, 1]$, puis que les deux bornes sont possibles.
La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$, et la suite constante égale à $0$ converge vers $0$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n$, donc $0 \leq u_n$. Par passage à la limite dans cette inégalité large, $0 \leq \ell$.
De même, la suite constante égale à $1$ converge vers $1$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 1$, donc $u_n \leq 1$. Par passage à la limite dans cette inégalité large, $\ell \leq 1$.
Ainsi $\ell \in [0, 1]$.
On ne peut pas conclure mieux : pour $u_n = \dfrac{1}{n + 2}$, tous les termes sont dans $]0, 1[$ et $\ell = 0$ ; pour $u_n = 1 - \dfrac{1}{n + 2}$, tous les termes sont dans $]0, 1[$ et $\ell = 1$. Les inégalités strictes de l'énoncé ne se retrouvent donc pas sur la limite.
À retenir : on écrit d'abord les deux convergences, la suite constante comprise ; l'inégalité stricte ne donne qu'une inégalité large sur la limite, et deux exemples suffisent à montrer que c'est tout ce que l'on obtient.