Limites de fonctions

Soit $D$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Un réel $a$ est adhérent à $D$ si tout intervalle ouvert centré en $a$ rencontre $D$ : $\forall \varepsilon > 0,\ ]a - \varepsilon, a + \varepsilon[ \, \cap D \neq \emptyset$. On dit que $+\infty$ est adhérent à $D$ si $D$ n'est pas majorée, et que $-\infty$ l'est si $D$ n'est pas minorée. Tout point de $D$ est adhérent à $D$ ; les bornes d'un intervalle le sont aussi, qu'elles lui appartiennent ou non : $0$ et $1$ sont adhérents à $]0,1[$, $+\infty$ est adhérent à $\mathbb{N}$ et à $]0, +\infty[$, mais $2$ n'est pas adhérent à $]0,1[$. De façon équivalente, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ est adhérent à $D$ si et seulement s'il existe une suite d'éléments de $D$ qui tend vers $a$ : pour le sens direct, on choisit $x_n$ dans $]a - \frac{1}{n + 1}, a + \frac{1}{n + 1}[ \, \cap D$, non vide par définition, lorsque $a$ est réel, et $x_n \in D$ vérifiant $x_n \geq n$ lorsque $a = +\infty$. Une limite ne se définit qu'en un point adhérent : c'est ce qui garantit qu'il existe des $x \in D$ aussi proches de $a$ que l'on veut, donc que la définition parle de quelque chose.

Une partie $V$ de $\mathbb{R}$ est un voisinage du réel $a$ s'il existe $\delta > 0$ tel que $]a - \delta, a + \delta[ \, \subset V$ ; c'est un voisinage de $+\infty$ s'il existe $A \in \mathbb{R}$ tel que $]A, +\infty[ \, \subset V$, et un voisinage de $-\infty$ s'il existe $A \in \mathbb{R}$ tel que $]-\infty, A[ \, \subset V$. L'intersection de deux voisinages de $a$ est un voisinage de $a$ (on garde le plus petit des deux $\delta$). Dire qu'une propriété est vraie au voisinage de $a$, c'est dire qu'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel qu'elle soit vraie pour tout $x \in V \cap D$ : « $f$ est bornée au voisinage de $a$ », « $f \leq g$ au voisinage de $+\infty$ ». C'est l'analogue, pour les fonctions, du « à partir d'un certain rang » des suites.

Soient $f : D \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $D$ et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$, ou que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$, si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in D,\ |x - a| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Lecture : quelle que soit la marge $\varepsilon$ imposée autour de $\ell$, on peut trouver une largeur $\delta$ autour de $a$ telle que tous les points de $D$ à distance au plus $\delta$ de $a$ ont leur image à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$. Le réel $\delta$ dépend de $\varepsilon$ (et de $a$), jamais de $x$, qui est quantifié après lui. Remplacer les inégalités larges par des strictes donne une définition équivalente. Si $a \in D$, la définition s'applique à $x = a$ : une limite en un point de $D$, quand elle existe, vaut nécessairement $f(a)$ (voir le thème Continuité et théorème des valeurs intermédiaires).

Les mêmes définitions se transposent en remplaçant « $|x - a| \leq \delta$ » par « $x \geq A$ » quand $x$ tend vers $+\infty$ (ce qui suppose $D$ non majorée), et « $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ » par « $f(x) \geq M$ » quand la limite est $+\infty$. Ainsi $f$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists A \in \mathbb{R},\ \forall x \in D,\ x \geq A \Rightarrow |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ ; $f$ tend vers $+\infty$ en $a \in \mathbb{R}$ si $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in D,\ |x - a| \leq \delta \Rightarrow f(x) \geq M$ ; $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists A \in \mathbb{R},\ \forall x \in D,\ x \geq A \Rightarrow f(x) \geq M$. Les cas $-\infty$ s'obtiennent en renversant l'inégalité concernée ($x \leq A$, $f(x) \leq M$). Une fonction qui tend vers $+\infty$ n'a pas de limite finie, mais on dit qu'elle admet une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$ ; « $f$ n'a pas de limite en $a$ » signifie : ni finie, ni infinie.

Toutes les définitions précédentes disent la même chose : pour tout voisinage $W$ de la limite $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, il existe un voisinage $V$ du point $a \in \overline{\mathbb{R}}$ tel que $f(V \cap D) \subset W$. Le tableau ci-dessous donne, selon la position de $a$ et de $\ell$, l'hypothèse sur $x$ et la conclusion sur $f(x)$ à écrire après « $\forall x \in D$ » ; le quantificateur de la conclusion vient toujours en premier ($\varepsilon$ ou $M$), celui de l'hypothèse en second ($\delta$ ou $A$). Cette formulation unifiée permet de démontrer une fois pour toutes les théorèmes valables dans tous les cas : unicité, caractérisation séquentielle, composition. Elle donne aussi le caractère local de la limite : si $V_0$ est un voisinage de $a$, le point $a$ reste adhérent à $V_0 \cap D$, et $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si sa restriction à $V_0 \cap D$ tend vers $\ell$ en $a$, puisqu'il suffit de remplacer le voisinage $V$ fourni par la définition par $V \cap V_0$, qui en est un.

Ligne fautive : « Soit $f : ]0,1[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$. Pour tout $\varepsilon > 0$, $\delta = 1$ convient, donc $\lim_{x \to 3} f(x) = 0$. »
Le réel $3$ n'est pas adhérent à $]0,1[$ : aucun $x \in D$ ne vérifie $|x - 3| \leq 1$, donc l'implication $|x - 3| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ est vraie pour tout $x \in D$ par fausseté de son hypothèse (voir le thème Implication et équivalence). Le même calcul « prouve » que $f$ tend vers $0$, vers $17$ et vers $-5$ en $3$ : la définition ne dit plus rien, et l'unicité de la limite s'effondre. C'est pour cela que l'hypothèse « $a$ adhérent à $D$ » figure dans la définition et dans tous les théorèmes du thème.
Version correcte : avant d'écrire $\lim_{x \to a} f(x)$, vérifier en une ligne que $a$ est adhérent à l'ensemble de définition : « $0$ est adhérent à $]0,1[$, car pour tout $\varepsilon > 0$, le réel $\frac{1}{2}\min(\varepsilon, 1)$ appartient à $]0,1[ \, \cap \, ]-\varepsilon, \varepsilon[$ » ; « $+\infty$ est adhérent à $D = \mathbb{R}_+^*$, qui n'est pas majoré ». Aucune limite en $3$ n'a de sens pour cette fonction.

Ligne fautive : « Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour tout $\varepsilon > 0$, posons $\delta = \frac{\varepsilon}{|x + 2|}$ : alors $|x - 2| \leq \delta$ entraîne $|x^2 - 4| = |x - 2| \, |x + 2| \leq \varepsilon$. »
Le réel $\delta$ est choisi après $x$, donc en fonction de $x$ : ce qui est démontré est $\forall \varepsilon > 0,\ \forall x \in D,\ \exists \delta > 0,\ \ldots$, propriété vraie pour n'importe quelle fonction dès que $\ell = f(a)$, et pour n'importe quel $\ell$ si $a \notin D$ : pour $x \neq a$, un $\delta < |x - a|$ rend l'hypothèse fausse, et $x = a$ ne teste que la valeur $f(a)$. Second défaut de la même ligne : pour $x = -2$, la formule $\frac{\varepsilon}{|x + 2|}$ ne définit aucun $\delta$, un $\delta$ fabriqué à partir de $x$ pouvant même ne pas exister. Intervertir « $\exists \delta$ » et « $\forall x$ » change le sens de l'énoncé (voir le thème Ordre des quantificateurs). Faute en miroir : choisir $\delta$ d'abord, puis exhiber un $\varepsilon$ qui convient pour ce $\delta$ ($\exists \delta,\ \exists \varepsilon$), ce qui ne démontre que le caractère borné de $f$ près de $a$.
Version correcte : les phrases de la copie suivent l'ordre des quantificateurs, « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\delta = \ldots$ », expression en $\varepsilon$ et en $a$ seulement, puis « Soit $x \in D$ tel que $|x - a| \leq \delta$. » Pour $x^2$ en $2$, on borne d'abord $|x + 2|$ en imposant $|x - 2| \leq 1$, puis on pose $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$ (rédaction modèle plus bas).

Soient $f : D \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $D \, \cap \, ]-\infty, a[$. La limite à gauche de $f$ en $a$ est, si elle existe, la limite en $a$ de la restriction de $f$ à $D \, \cap \, ]-\infty, a[$ ; on la note $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ou $f(a^-)$. En $\varepsilon$ et $\delta$ : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in D,\ a - \delta \leq x < a \Rightarrow |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$. La limite à droite $f(a^+)$ se définit de même avec $D \, \cap \, ]a, +\infty[$ et la condition $a < x \leq a + \delta$. Le point $a$ lui-même est exclu des deux : $f(a)$ n'intervient ni dans $f(a^-)$ ni dans $f(a^+)$, même si $a \in D$. Exemple : la partie entière vérifie $\lfloor x \rfloor \to 0$ quand $x \to 1^-$ et $\lfloor x \rfloor \to 1$ quand $x \to 1^+$.

Soient $f : D \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à la fois à $D \, \cap \, ]-\infty, a[$ et à $D \, \cap \, ]a, +\infty[$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $a \notin D$ : $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si $f(a^-)$ et $f(a^+)$ existent et valent toutes deux $\ell$. Si $a \in D$ : $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $f(a^-)$ et $f(a^+)$ existent et sont égales à $f(a)$, et cette limite est alors $f(a)$. Preuve du sens réciproque pour $\ell \in \mathbb{R}$ : soit $\varepsilon > 0$ ; les deux limites latérales fournissent $\delta_1 > 0$ et $\delta_2 > 0$, et $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ convient pour tout $x \in D$ tel que $|x - a| \leq \delta$, en distinguant $x < a$, $x > a$ et, si $a \in D$, $x = a$ où $|f(a) - \ell| = 0$. Le sens direct est immédiat : une restriction hérite de la limite. Si $a$ n'est adhérent que d'un côté (une borne d'intervalle), la seule limite latérale disponible tient lieu des deux : lorsque $a \notin D$, la limite en $a$ est la limite de ce côté ; lorsque $a \in D$, $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si cette limite latérale vaut $f(a)$.

Ligne fautive : « Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 0$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 1$. Pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $x \neq 0$, $|f(x) - 0| = 0 \leq \varepsilon$, donc $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. »
Le point $0$ appartient à $D = \mathbb{R}$, donc la définition impose aussi la conclusion pour $x = 0$, et $|f(0) - 0| = 1 > \varepsilon$ dès que $\varepsilon < 1$ : $f$ n'a pas de limite en $0$ au sens de ce cours. Ce qui est vrai, c'est que $f(0^-) = f(0^+) = 0$, autrement dit que la restriction de $f$ à $\mathbb{R}^*$ tend vers $0$ en $0$. D'autres cours définissent la limite en excluant $x = a$ (limite « épointée ») ; ils obtiennent alors $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, mais doivent ajouter une hypothèse de continuité dans le théorème de composition. Chaque convention est cohérente, à condition de ne pas les mélanger dans une même copie.
Version correcte : « La restriction de $f$ à $\mathbb{R}^*$ tend vers $0$ en $0$ ; comme $f(0) = 1 \neq 0$, $f$ n'admet pas de limite en $0$. » Quand $a \in D$, une limite en $a$ n'existe que si elle vaut $f(a)$ : on vérifie toujours la valeur au point.

Théorème : soient $f : D \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $D$. Si $f$ admet une limite en $a$ dans $\overline{\mathbb{R}}$, cette limite est unique : on peut donc parler de la limite de $f$ en $a$ et écrire $\lim_{x \to a} f(x)$. Idée, pour deux limites finies $\ell \neq \ell'$ : les intervalles $[\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon]$ et $[\ell' - \varepsilon, \ell' + \varepsilon]$ sont disjoints dès que $\varepsilon < \frac{|\ell - \ell'|}{2}$, et un point $x \in D$ assez proche de $a$ (il en existe, car $a$ est adhérent à $D$) aurait son image dans les deux. Une limite finie et une limite infinie sont incompatibles pour la même raison : $f$ bornée par $|\ell| + 1$ près de $a$ ne peut y dépasser tout $M$. La démonstration exigible est la rédaction modèle ci-dessous.

Soient $f : D \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $D$, et $\ell, \ell'$ deux réels. Montrer que si $f$ tend vers $\ell$ et vers $\ell'$ en $a$, alors $\ell = \ell'$.
Supposons que $f$ tende vers $\ell$ et vers $\ell'$ en $a$, et supposons par l'absurde que $\ell \neq \ell'$.
Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell'|}{3}$ ; comme $\ell \neq \ell'$, on a $\varepsilon > 0$.
Puisque $f$ tend vers $\ell$ en $a$, il existe $\delta_1 > 0$ tel que pour tout $x \in D$, $|x - a| \leq \delta_1$ entraîne $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$.
Puisque $f$ tend vers $\ell'$ en $a$, il existe $\delta_2 > 0$ tel que pour tout $x \in D$, $|x - a| \leq \delta_2$ entraîne $|f(x) - \ell'| \leq \varepsilon$.
Posons $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$. Comme $a$ est adhérent à $D$, il existe $x_0 \in D$ tel que $|x_0 - a| \leq \delta$.
Alors $|x_0 - a| \leq \delta_1$ et $|x_0 - a| \leq \delta_2$, donc $|f(x_0) - \ell| \leq \varepsilon$ et $|f(x_0) - \ell'| \leq \varepsilon$.
Par l'inégalité triangulaire, $|\ell - \ell'| = |(\ell - f(x_0)) + (f(x_0) - \ell')| \leq |f(x_0) - \ell| + |f(x_0) - \ell'| \leq 2\varepsilon = \frac{2}{3}|\ell - \ell'|$.
Comme $|\ell - \ell'| > 0$, on en déduit $1 \leq \frac{2}{3}$, ce qui est faux.
L'hypothèse « $\ell \neq \ell'$ » est donc fausse : $\ell = \ell'$.
À retenir : on sépare les deux limites par un $\varepsilon$ plus petit que la moitié de leur écart, on prend le plus petit des deux $\delta$, et c'est le caractère adhérent de $a$ qui fournit le point $x_0$ où la contradiction s'écrit.

Propriété : soient $f : D \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $D$. Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ : il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $|f(x)| \leq |\ell| + 1$ pour tout $x \in V \cap D$. Preuve : la définition avec $\varepsilon = 1$ fournit un voisinage $V$ de $a$ sur lequel $|f(x) - \ell| \leq 1$, donc $|f(x)| \leq |f(x) - \ell| + |\ell| \leq 1 + |\ell|$ par l'inégalité triangulaire. Le résultat est local : $x \mapsto \frac{1}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ sans être bornée sur $]0, +\infty[$. Complément indispensable pour les quotients : si $\ell > 0$, alors $f(x) \geq \frac{\ell}{2} > 0$ au voisinage de $a$ (prendre $\varepsilon = \frac{\ell}{2}$) ; si $\ell \neq 0$, alors $|f(x)| \geq \frac{|\ell|}{2}$ au voisinage de $a$, donc $f$ ne s'annule pas près de $a$ et $\frac{1}{f}$ y est bornée par $\frac{2}{|\ell|}$.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de « montrer à l'aide de la définition », ou aucun théorème d'opérations ne s'applique (fonction définie par morceaux, par une borne supérieure, par une intégrale) ; c'est aussi la preuve qu'exige toute question « rappeler et démontrer ».
1) Vérifier que $a$ est adhérent à $D$ et l'écrire.
2) Au brouillon, majorer $|f(x) - \ell|$ par une expression simple de $|x - a|$ (ou de $x$ si $a = +\infty$), en factorisant $x - a$ : le plus souvent $|f(x) - \ell| \leq K \, |x - a|$. Si le facteur $K$ dépend de $x$, le borner en se restreignant d'abord à $|x - a| \leq 1$ ; le $\delta$ final est alors un minimum.
3) Rédiger dans l'ordre des quantificateurs : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\delta = \ldots > 0$. Soit $x \in D$ tel que $|x - a| \leq \delta$. » Le réel $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$ et de $a$.
4) Reprendre la majoration du brouillon dans le sens de la copie, chaque inégalité justifiée, jusqu'à $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$.
5) Conclure en citant la définition : « Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$, $|x - a| \leq \delta$ entraîne $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ : $f$ tend vers $\ell$ en $a$. »
Pour une limite en $+\infty$, un seuil $A$ remplace $\delta$ et l'on cherche $A$ tel que $x \geq A$ entraîne $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ ; pour une limite $+\infty$, on part de $M$ et l'on minore $f(x)$.

Montrer, avec la définition, que $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.
Le réel $2$ appartient à $\mathbb{R}$, ensemble de définition de $x \mapsto x^2$, donc lui est adhérent.
Brouillon : $|x^2 - 4| = |x - 2| \, |x + 2|$, et si $|x - 2| \leq 1$, alors $1 \leq x \leq 3$, donc $|x + 2| \leq 5$.
Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$ ; on a $\delta > 0$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $|x - 2| \leq \delta$.
Comme $\delta \leq 1$, on a $|x - 2| \leq 1$, donc $1 \leq x \leq 3$, donc $3 \leq x + 2 \leq 5$ et $|x + 2| \leq 5$.
Alors $|x^2 - 4| = |x - 2| \, |x + 2| \leq 5 \, |x - 2| \leq 5 \delta \leq 5 \times \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|x - 2| \leq \delta$ entraîne $|x^2 - 4| \leq \varepsilon$ : $x^2$ tend vers $4$ quand $x$ tend vers $2$.
À retenir : on factorise $x - a$, on borne le facteur restant en se plaçant d'abord dans $|x - a| \leq 1$, et le $\delta$ est un minimum qui ne dépend que de $\varepsilon$.

Montrer, avec la définition, que $\frac{2x + 1}{x + 3}$ tend vers $2$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
La fonction $f : x \mapsto \frac{2x + 1}{x + 3}$ est définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$, qui n'est pas majoré : $+\infty$ est adhérent à $D$.
Pour tout $x \in D$, $f(x) - 2 = \frac{2x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} = \frac{-5}{x + 3}$.
Soit $\varepsilon > 0$. Posons $A = \frac{5}{\varepsilon}$, réel strictement positif.
Soit $x \in D$ tel que $x \geq A$. Alors $x > 0$, donc $x + 3 > x \geq A > 0$.
Comme la fonction inverse est décroissante sur $]0, +\infty[$ et que $x + 3 \geq x \geq A > 0$, on obtient $|f(x) - 2| = \frac{5}{x + 3} \leq \frac{5}{x} \leq \frac{5}{A} = \varepsilon$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in D$, $x \geq A$ entraîne $|f(x) - 2| \leq \varepsilon$ : $f$ tend vers $2$ en $+\infty$.
À retenir : on écrit $f(x) - \ell$ sous forme d'une seule fraction, on la majore par une expression en $x$ qui décroît vers $0$, et le seuil $A$ se lit sur cette majoration.

Théorème : soient $f : D \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $D$ et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $D$ qui tend vers $a$, la suite $(f(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $\ell$. Le sens direct s'obtient en enchaînant les deux définitions ; le sens réciproque se démontre par contraposée, en construisant une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ avec $f(u_n)$ loin de $\ell$, grâce aux valeurs $\delta = \frac{1}{n + 1}$. Ce théorème est le pont entre les deux moitiés du bloc : il transporte aux fonctions les résultats sur les suites (opérations, encadrement, inégalités) sans refaire les $\varepsilon$, et il fournit l'outil pour prouver qu'une limite n'existe pas.

Soient $f : D \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $D$ et $\ell \in \mathbb{R}$. Montrer que $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $D$ convergeant vers $a$, la suite $(f(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell$.
Sens direct. Supposons que $f$ tende vers $\ell$ en $a$, et soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $D$ convergeant vers $a$. Montrons que $f(u_n) \to \ell$.
Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $f$ tend vers $\ell$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$, $|x - a| \leq \delta$ entraîne $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$.
Puisque $u_n \to a$ et que $\delta > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - a| \leq \delta$.
Soit $n \geq N$. Comme $u_n \in D$ et $|u_n - a| \leq \delta$, on a $|f(u_n) - \ell| \leq \varepsilon$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|f(u_n) - \ell| \leq \varepsilon$ : la suite $(f(u_n))$ converge vers $\ell$.
Sens réciproque, par contraposée. Supposons que $f$ ne tende pas vers $\ell$ en $a$, et construisons une suite $(u_n)$ d'éléments de $D$ convergeant vers $a$ telle que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $\ell$.
La négation de la définition s'écrit : il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que pour tout $\delta > 0$, il existe $x \in D$ vérifiant $|x - a| \leq \delta$ et $|f(x) - \ell| > \varepsilon_0$.
Soit $n \in \mathbb{N}$. En appliquant cette propriété à $\delta = \frac{1}{n + 1} > 0$, on obtient un élément de $D$, que l'on note $u_n$, tel que $|u_n - a| \leq \frac{1}{n + 1}$ et $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon_0$.
La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ainsi construite est à valeurs dans $D$, et $0 \leq |u_n - a| \leq \frac{1}{n + 1}$ avec $\frac{1}{n + 1} \to 0$, donc $u_n \to a$ par le théorème d'encadrement pour les suites.
Pourtant, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon_0$ : la suite $(f(u_n))$ ne converge pas vers $\ell$, sinon on aurait $|f(u_n) - \ell| \leq \varepsilon_0$ à partir d'un certain rang.
On a donc construit une suite qui contredit la propriété séquentielle ; par contraposée, si toutes les suites conviennent, alors $f$ tend vers $\ell$ en $a$.
À retenir : le sens direct enchaîne les deux définitions ($\delta$ donné par $f$, puis $N$ donné par la suite) ; le sens réciproque nie la définition avec un $\varepsilon_0$ fixé et fabrique la suite avec $\delta = \frac{1}{n + 1}$.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de montrer que $f$ « n'admet pas de limite en $a$ », ou une fonction oscille sans se stabiliser (sinus, cosinus, partie entière, $(-1)^{\lfloor x \rfloor}$).
1) Repérer deux valeurs que $f$ reprend indéfiniment près de $a$ : les valeurs $1$ et $-1$ de $\cos$, les valeurs $0$ et $1$ de $\sin$.
2) Construire deux suites explicites $(u_n)$ et $(v_n)$ d'éléments de $D$ qui tendent vers $a$, sur lesquelles $f$ prend ces deux valeurs, ou plus généralement telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ ont des limites différentes, finies ou infinies.
3) Vérifier et écrire les trois points pour chaque suite : $u_n \in D$, $u_n \to a$, $f(u_n) \to \ell_1$ ; de même $v_n \in D$, $v_n \to a$, $f(v_n) \to \ell_2$, avec $\ell_1 \neq \ell_2$.
4) Conclure par l'absurde en citant la caractérisation séquentielle : « Si $f$ admettait une limite $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$, on aurait $f(u_n) \to \ell$ et $f(v_n) \to \ell$, donc $\ell_1 = \ell = \ell_2$ par unicité de la limite d'une suite, ce qui est faux. Donc $f$ n'a pas de limite en $a$. »
Variante à une seule suite : une suite $(u_n) \to a$ telle que $(f(u_n))$ n'a pas de limite, par exemple $f(u_n) = (-1)^n$, suffit aussi, mais deux suites à limites différentes se rédigent plus facilement. En revanche, une seule suite sur laquelle $f$ converge ne prouve jamais rien (Piège ci-dessous).