Suites monotones, adjacentes et extraites

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Elle est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq u_{n+1}$, strictement croissante si l'inégalité est stricte, décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \leq u_n$, et monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$ ; le réel $M$ est alors un majorant de la suite, c'est-à-dire de la partie $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ de $\mathbb{R}$. Elle est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \geq m$, et bornée si elle est majorée et minorée, ce qui équivaut à l'existence d'un réel $K$ tel que pour tout $n$, $|u_n| \leq K$. L'ordre des quantificateurs est essentiel : le majorant $M$ est choisi avant $n$. Toutes ces propriétés peuvent n'être vraies qu'à partir d'un certain rang $N$ : les théorèmes de ce thème s'appliquent alors à la suite décalée $(u_{N+n})_{n \in \mathbb{N}}$ et donnent la même limite, mais leurs conclusions qui portent sur tous les termes ne valent plus qu'à partir du rang $N$.

Théorème. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses termes : $\lim u_n = \sup\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$. Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, elle converge vers $\inf\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$. Les deux hypothèses sont indispensables : $u_n = n$ est croissante non majorée et diverge, $u_n = (-1)^n$ est bornée non monotone et diverge. Le théorème fournit l'existence de la limite sans la calculer ; on l'identifie ensuite par un autre argument (passage à la limite dans une relation de récurrence, encadrement). Il repose sur la propriété de la borne supérieure (thème Nombres réels) : c'est, en fait, une reformulation de cette propriété.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle croissante et majorée. Montrer que $(u_n)$ converge vers $\sup\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$.
Posons $A = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$. C'est une partie de $\mathbb{R}$, non vide car elle contient $u_0$, et majorée car la suite l'est : tout majorant $M$ de la suite majore $A$.
D'après la propriété de la borne supérieure, $A$ admet une borne supérieure ; notons $L = \sup A$. Montrons que $u_n$ tend vers $L$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Comme $L$ est le plus petit des majorants de $A$, le réel $L - \varepsilon < L$ n'est pas un majorant de $A$ : il existe un élément de $A$ strictement supérieur à $L - \varepsilon$, c'est-à-dire un entier $N \in \mathbb{N}$ tel que $u_N > L - \varepsilon$.
Soit $n \geq N$.
Comme $(u_n)$ est croissante, $u_n \geq u_N$, donc $u_n > L - \varepsilon$.
Comme $L$ majore $A$, $u_n \leq L$, donc $u_n < L + \varepsilon$.
Ainsi $L - \varepsilon < u_n < L + \varepsilon$, c'est-à-dire $|u_n - L| < \varepsilon$, et en particulier $|u_n - L| \leq \varepsilon$.
On a montré : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| \leq \varepsilon$. Donc $(u_n)$ converge vers $L = \sup\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$.
Cas d'une suite $(v_n)$ décroissante et minorée : la suite $(-v_n)$ est croissante et majorée, donc converge vers $\sup\{-v_n \mid n \in \mathbb{N}\} = -\inf\{v_n \mid n \in \mathbb{N}\}$, et $(v_n)$ converge vers $\inf\{v_n \mid n \in \mathbb{N}\}$.
À retenir : le rang $N$ vient de la caractérisation de la borne supérieure par $\varepsilon$, et la croissance transporte l'inégalité obtenue au rang $N$ à tous les rangs suivants.

Théorème. Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite réelle croissante et non majorée, alors $u_n$ tend vers $+\infty$. Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée, alors $u_n$ tend vers $-\infty$. Avec le théorème précédent, on obtient que toute suite monotone admet une limite dans la droite achevée $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ : une suite croissante tend vers $\sup\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$, fini ou égal à $+\infty$. Pour une suite croissante, il n'y a donc que deux issues, converger ou tendre vers $+\infty$, et diverger équivaut à ne pas être majorée. Ce théorème est la version « rang par rang » de la négation de « majorée » : tout réel $A$ est dépassé par un terme, donc, par croissance, par tous les termes suivants.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle croissante et non majorée. Montrer que $u_n$ tend vers $+\infty$.
Soit $A \in \mathbb{R}$.
Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, le réel $A$ n'en est pas un majorant : il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $u_N > A$.
Soit $n \geq N$.
Comme $(u_n)$ est croissante, $u_n \geq u_N$, donc $u_n > A$, et en particulier $u_n \geq A$.
On a montré : pour tout réel $A$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \geq A$. Donc $u_n$ tend vers $+\infty$.
À retenir : la négation de « majorée » fournit un rang $N$ pour chaque réel $A$ ; la croissance fait le reste.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ est croissante, donc elle converge vers un réel $L$. »
C'est faux : la suite $u_n = n$ est croissante et tend vers $+\infty$. Variante plus subtile : « $(u_n)$ est croissante et $u_{n+1} - u_n$ tend vers $0$, donc $(u_n)$ converge. » C'est faux aussi : la suite $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ est croissante, $H_{n+1} - H_n = \frac{1}{n+1}$ tend vers $0$, et pourtant $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$, ce qui interdit la convergence (si $H_n$ tendait vers $L$, la suite extraite $(H_{2n})$ aussi, et $H_{2n} - H_n$ tendrait vers $0$). Une suite croissante admet une limite dans $\overline{\mathbb{R}}$, et rien n'empêche que ce soit $+\infty$.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$, donc, d'après le théorème de la limite monotone, elle converge. » Sans majorant, on écrit seulement : « $(u_n)$ est croissante, donc elle tend vers $\sup u_n \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ », puis on cherche à exclure $+\infty$.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle converge vers $3$. »
C'est faux : la suite $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est croissante, majorée par $3$, par $2$ et par $1$, et converge vers $1$. La limite d'une suite croissante majorée est le plus petit des majorants, la borne supérieure, et le majorant trouvé dans la preuve n'a aucune raison d'être celui-là. Erreur voisine : « la limite est le plus grand terme de la suite ». La suite ci-dessus n'a pas de plus grand terme : $1$ est sa borne supérieure et n'est atteint par aucun $u_n$. Un sup n'est pas un max.
Version correcte : « $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle converge vers un réel $L$ et $L \leq 3$. » Puis on identifie $L$ par un autre argument : passage à la limite dans une relation de récurrence, encadrement, calcul explicite.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande de montrer que $(u_n)$ converge sans donner sa limite, et la suite est une somme de termes de signe constant, un produit, ou une suite définie par une récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ; aucun candidat explicite pour la limite n'est disponible.
1) Étudier la monotonie : calculer $u_{n+1} - u_n$ et déterminer son signe (pour une somme, c'est le terme ajouté ; pour une récurrence, on raisonne par récurrence sur $n$ ou l'on étudie le signe de $f(x) - x$ sur un intervalle stable). Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. Écrire : « Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} - u_n = \dots \geq 0$, donc $(u_n)$ est croissante. »
2) Trouver une borne du bon côté : un majorant pour une suite croissante, un minorant pour une décroissante, indépendant de $n$. Pour une récurrence, on démontre « pour tout $n$, $u_n \leq M$ » par récurrence ; pour une somme, on majore chaque terme par une différence qui se télescope. Écrire : « Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$. »
3) Conclure : « La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$ ; d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $L$, et $L \leq M$. » La limite n'existe qu'à partir de cette ligne : ne jamais écrire $L$ avant.
4) Identifier $L$ si l'énoncé le demande : passer à la limite dans la relation de récurrence (avec les opérations sur les limites, ou la continuité de $f$, thème Continuité), ou dans un encadrement valable pour tout $n$ (passage à la limite dans les inégalités larges) : « Comme $u_n \geq a$ pour tout $n$, on a $L \geq a$. »

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ converge.
Monotonie. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$, donc $(u_n)$ est croissante.
Majoration. Soit $k \geq 2$. Comme $k - 1 \geq 1 > 0$ et $k - 1 \leq k$, on a $0 < k(k-1) \leq k^2$ ; en passant aux inverses de réels strictement positifs, $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.
Soit $n \geq 2$. En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $2$ à $n$, la somme de droite se télescope :
$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = 1 - \frac{1}{n} \leq 1$.
Donc $u_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 2$. Par ailleurs $u_1 = 1 \leq 2$. Ainsi, pour tout $n \geq 1$, $u_n \leq 2$ : la suite est majorée par $2$.
Conclusion. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc, d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $L$, avec $u_1 = 1 \leq L \leq 2$.
À retenir : pour majorer une somme de termes positifs, on majore chaque terme par une différence de deux termes consécutifs d'une même suite, et la somme se télescope. La limite $L = \frac{\pi^2}{6}$ est un résultat célèbre d'Euler, hors de portée ici : le théorème donne l'existence, pas la valeur.

On pose $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Montrer que la suite est bien définie, qu'elle converge, et déterminer sa limite.
Définition de la suite. Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n$ est défini et $u_n > 0$. C'est vrai pour $n = 0$, car $u_0 = 2 > 0$. Si $u_n$ est défini et strictement positif, alors $\frac{2}{u_n}$ est défini et strictement positif, donc $u_{n+1}$ est défini comme demi-somme de deux réels strictement positifs, et $u_{n+1} > 0$. D'où le résultat.
Minoration. Soit $n \in \mathbb{N}$. On calcule $u_{n+1}^2 - 2 = \frac{1}{4}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)^2 - 2 = \frac{u_n^4 + 4u_n^2 + 4 - 8u_n^2}{4u_n^2} = \frac{(u_n^2 - 2)^2}{4u_n^2} \geq 0$.
Donc pour tout $n \geq 1$, $u_n^2 \geq 2$, et comme $u_n > 0$, $u_n \geq \sqrt{2}$. Comme $u_0 = 2 \geq \sqrt{2}$, on a $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Monotonie. Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_n} - u_n\right) = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}$. Or $u_n^2 \geq 2$ et $u_n > 0$, donc $u_{n+1} - u_n \leq 0$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.
Convergence. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$, donc, d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $L$. Par passage à la limite dans l'inégalité large $u_n \geq \sqrt{2}$, valable pour tout $n$, on obtient $L \geq \sqrt{2}$ ; en particulier $L > 0$.
Identification de la limite. Comme $L \neq 0$, par opérations sur les limites, $\frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ tend vers $\frac{1}{2}\left(L + \frac{2}{L}\right)$. Par ailleurs $u_{n+1}$ tend vers $L$ (suite extraite de $(u_n)$, voir plus bas). Par unicité de la limite, $L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{2}{L}\right)$, soit $2L^2 = L^2 + 2$, soit $L^2 = 2$. Comme $L > 0$, $L = \sqrt{2}$.
À retenir : la minoration se démontre avant la monotonie, car c'est elle qui donne le signe de $u_{n+1} - u_n$ ; la limite n'apparaît qu'après le théorème, et l'on vérifie $L \neq 0$ avant de passer à la limite dans un quotient.

Deux suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante, et $v_n - u_n$ tend vers $0$. Les trois conditions sont exigées, et le sens de chaque monotonie compte : c'est la suite croissante qui approche la limite par en dessous et la décroissante par au-dessus. On ne demande pas que $u_n \leq v_n$ : c'est une conséquence (voir le théorème). Comme pour la monotonie, il suffit que les trois conditions soient vraies à partir d'un certain rang $N$ : les deux suites convergent encore vers une même limite, mais l'encadrement donné par le théorème ne vaut alors que pour $n \geq N$.

Théorème. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites réelles adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante, alors elles convergent vers une même limite $L$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq L \leq v_n$. Lemme utilisé en cours de preuve : pour tout $n$, $u_n \leq v_n$. Si de plus $(u_n)$ est strictement croissante, alors $u_n < L$ pour tout $n$ ; si $(v_n)$ est strictement décroissante, $L < v_n$ pour tout $n$ (car $u_n < u_{n+1} \leq L$ et $L \leq v_{n+1} < v_n$). Ces inégalités strictes sont la clé des preuves d'irrationalité. L'encadrement $u_n \leq L \leq v_n$ fait de $u_n$ et $v_n$ des valeurs approchées de $L$ par défaut et par excès, à $v_n - u_n$ près. Sans la monotonie, la seule condition $v_n - u_n \to 0$ ne donne rien (voir le Piège qui suit).

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles adjacentes, $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante. Montrer qu'elles convergent vers une même limite $L$ et que pour tout $n$, $u_n \leq L \leq v_n$.
Étape 1 : pour tout $n$, $u_n \leq v_n$. Posons $w_n = v_n - u_n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
Pour tout $n$, $w_{n+1} - w_n = (v_{n+1} - v_n) - (u_{n+1} - u_n)$. Or $v_{n+1} - v_n \leq 0$ car $(v_n)$ est décroissante, et $u_{n+1} - u_n \geq 0$ car $(u_n)$ est croissante, donc $w_{n+1} - w_n \leq 0$ : la suite $(w_n)$ est décroissante.
Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $m \geq n$, la décroissance donne $w_m \leq w_n$. Comme $w_m$ tend vers $0$ quand $m$ tend vers $+\infty$, le passage à la limite dans l'inégalité large $w_m \leq w_n$ donne $0 \leq w_n$.
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq v_n$.
Étape 2 : convergence de chaque suite. Pour tout $n$, $u_n \leq v_n \leq v_0$ car $(v_n)$ est décroissante : la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$, donc elle converge vers un réel $L$ d'après le théorème de la limite monotone. De même $v_n \geq u_n \geq u_0$ : la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$, donc elle converge vers un réel $L'$.
Étape 3 : égalité des limites. Par opérations sur les limites, $v_n - u_n$ tend vers $L' - L$. Or, par hypothèse, $v_n - u_n$ tend vers $0$. Par unicité de la limite, $L' - L = 0$, donc $L' = L$.
Étape 4 : encadrement. D'après le théorème de la limite monotone, $L = \sup\{u_k \mid k \in \mathbb{N}\}$, donc $u_n \leq L$ pour tout $n$ ; et $L = \inf\{v_k \mid k \in \mathbb{N}\}$, donc $L \leq v_n$ pour tout $n$.
Conclusion : $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers le même réel $L$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq L \leq v_n$.
À retenir : l'inégalité $u_n \leq v_n$ se démontre, elle n'est pas une hypothèse ; le théorème des suites adjacentes n'est que le théorème de la limite monotone appliqué deux fois, avec $v_0$ et $u_0$ comme bornes.

Ligne fautive : « On a $v_n - u_n \to 0$, donc les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent vers la même limite. »
C'est faux : pour $u_n = (-1)^n$ et $v_n = (-1)^n + \frac{1}{n+1}$, la différence $v_n - u_n = \frac{1}{n+1}$ tend vers $0$, et aucune des deux suites ne converge ($u_{2n} = 1$ et $u_{2n+1} = -1$). La monotonie des deux suites est une hypothèse du théorème, et son sens aussi : avec $u_n = \frac{1}{n+1}$ (décroissante) et $v_n = -\frac{1}{n+1}$ (croissante), les deux suites convergent bien vers $0$, mais l'encadrement $u_n \leq L \leq v_n$ est faux, puisque $\frac{1}{n+1} \leq 0$ n'est vrai pour aucun $n$ ; l'encadrement correct est ici $v_n \leq 0 \leq u_n$. Erreur voisine : oublier de vérifier l'une des deux monotonies parce que « c'est évident sur les premiers termes ».
Version correcte : « $(u_n)$ est croissante (car $u_{n+1} - u_n = \dots \geq 0$), $(v_n)$ est décroissante (car $v_{n+1} - v_n = \dots \leq 0$) et $v_n - u_n = \dots$ tend vers $0$ : les suites sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite $L$, et pour tout $n$, $u_n \leq L \leq v_n$. »

Quand l'utiliser : l'énoncé donne deux suites, souvent $v_n = u_n + (\text{terme correctif})$, et demande de montrer qu'elles convergent vers une même limite, d'encadrer un réel, d'en donner une valeur approchée, ou de prouver qu'il est irrationnel ; ou bien l'on a construit soi-même les deux suites par dichotomie.
1) Monotonie de $(u_n)$ : calculer $u_{n+1} - u_n$ et donner son signe. Pour une somme, c'est le terme ajouté. Écrire : « Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = \dots > 0$, donc $(u_n)$ est strictement croissante. »
2) Monotonie de $(v_n)$ dans l'autre sens : calculer $v_{n+1} - v_n$, en réduisant au même dénominateur quand le terme correctif est une fraction ; le signe se lit sur le numérateur. Écrire : « donc $(v_n)$ est strictement décroissante. »
3) Limite de la différence : $v_n - u_n$ est en général explicite ; la majorer par une suite de référence qui tend vers $0$ et conclure par encadrement. Écrire : « $0 \leq v_n - u_n = \dots \leq \frac{1}{n}$, donc $v_n - u_n$ tend vers $0$. »
4) Conclure : « Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite $L$, et pour tout $n$, $u_n \leq L \leq v_n$. » Préciser les inégalités strictes si les monotonies le sont.
5) Exploiter l'encadrement : pour une valeur approchée à $10^{-p}$ près, chercher $n$ tel que $v_n - u_n \leq 10^{-p}$ ; pour une irrationalité, multiplier l'encadrement strict $u_n < L < v_n$ par un entier bien choisi pour coincer un entier entre deux entiers consécutifs.

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}$. Montrer que $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune ; montrer que pour tout $n \geq 1$, $u_n < e < v_n$.
Monotonie de $(u_n)$. Pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$, donc $(u_n)$ est strictement croissante.
Monotonie de $(v_n)$. Soit $n \geq 1$. On a $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1) \cdot (n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!}$.
Réduisons au dénominateur commun $D = n(n+1) \cdot (n+1)!$, strictement positif. Comme $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, on a $\frac{1}{n \cdot n!} = \frac{n+1}{n \cdot (n+1)!} = \frac{(n+1)^2}{D}$, puis $\frac{1}{(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{D}$ et $\frac{1}{(n+1) \cdot (n+1)!} = \frac{n}{D}$.
Donc $v_{n+1} - v_n = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{D} = \frac{n^2 + 2n - n^2 - 2n - 1}{D} = \frac{-1}{D} < 0$ : la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
Différence. Pour tout $n \geq 1$, $v_n - u_n = \frac{1}{n \cdot n!}$, et $0 < \frac{1}{n \cdot n!} \leq \frac{1}{n}$ car $n! \geq 1$. Comme $\frac{1}{n}$ tend vers $0$, le théorème d'encadrement donne que $v_n - u_n$ tend vers $0$.
Conclusion. Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite, notée $e$, et pour tout $n \geq 1$, $u_n \leq e \leq v_n$.
Inégalités strictes. Soit $n \geq 1$. Comme $(u_n)$ est strictement croissante, $u_n < u_{n+1}$, et $u_{n+1} \leq e$, donc $u_n < e$. De même $e \leq v_{n+1} < v_n$, donc $e < v_n$.
À retenir : le calcul de $v_{n+1} - v_n$ se fait au dénominateur commun, sans chercher à deviner le signe ; la stricte monotonie donne les inégalités strictes, qui serviront à prouver que $e$ est irrationnel. Que cette limite soit $\exp(1)$ se démontre plus tard, avec la formule de Taylor.

Théorème. Le réel $e = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ est irrationnel. La preuve, par l'absurde (thème Raisonnement par l'absurde), repose sur l'encadrement strict $u_n < e < v_n$ obtenu avec les suites adjacentes ci-dessus, et sur un choix de rang : si $e = \frac{p}{q}$, on prend $n = q$ et l'on multiplie l'encadrement par $q!$. Le nombre $q! \, u_q$ est alors un entier, $q! \, e$ aussi, et $q!(v_q - u_q) = \frac{1}{q} \leq 1$ : un entier serait strictement compris entre deux entiers consécutifs, ce qui est impossible. Ce schéma, « coincer un entier entre deux entiers consécutifs », est le geste de toutes les preuves d'irrationalité par suites adjacentes.

On garde les notations de la rédaction précédente : $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$, $v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}$, et pour tout $n \geq 1$, $u_n < e < v_n$. Montrer que $e$ est irrationnel.
Supposons par l'absurde que $e$ soit rationnel. Comme $e > u_1 = 2 > 0$, il existe $p \in \mathbb{N}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $e = \frac{p}{q}$.
Appliquons l'encadrement au rang $n = q$, qui est bien supérieur ou égal à $1$ : $u_q < e < u_q + \frac{1}{q \cdot q!}$.
Multiplions par $q!$, qui est strictement positif : $q! \, u_q < q! \, e < q! \, u_q + \frac{1}{q}$.
Posons $N = q! \, u_q = \sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}$. Pour tout $k \in \{0, \dots, q\}$, $\frac{q!}{k!} = (k+1)(k+2) \cdots q$ est un entier naturel (il vaut $1$ pour $k = q$), donc $N \in \mathbb{N}$.
Par ailleurs $q! \, e = q! \times \frac{p}{q} = (q-1)! \, p$, qui est un entier naturel.
Enfin $q \geq 1$ donne $\frac{1}{q} \leq 1$, donc $N < (q-1)! \, p < N + \frac{1}{q} \leq N + 1$.
L'entier $(q-1)! \, p$ serait donc strictement compris entre les deux entiers consécutifs $N$ et $N + 1$, ce qui est impossible.
L'hypothèse « $e$ est rationnel » est donc fausse : $e$ est irrationnel.
À retenir : on choisit le rang égal au dénominateur, on multiplie l'encadrement strict par $q!$ pour rendre entiers ses deux membres extrêmes, et la largeur $\frac{1}{q} \leq 1$ de la fenêtre interdit qu'un entier s'y trouve.

Un segment est un intervalle fermé borné $[a, b]$ avec $a \leq b$. Une suite de segments $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $I_n = [a_n, b_n]$, est emboîtée si pour tout $n$, $I_{n+1} \subset I_n$, ce qui équivaut à $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$. Théorème. Si $(I_n)$ est une suite de segments emboîtés, l'intersection $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n$ est non vide : c'est le segment $[\alpha, \beta]$ avec $\alpha = \lim a_n = \sup a_n$ et $\beta = \lim b_n = \inf b_n$. Si de plus la longueur $b_n - a_n$ tend vers $0$, alors cette intersection est réduite à un seul point $L$, limite commune des suites adjacentes $(a_n)$ et $(b_n)$. Les mots comptent : fermés et bornés. Avec des intervalles ouverts ou non bornés, l'intersection peut être vide (voir le Piège qui suit). Ce théorème est l'outil des constructions par dichotomie et il sert à démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (thème suivant).

Soit $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de segments emboîtés, $I_n = [a_n, b_n]$ avec $a_n \leq b_n$, telle que $b_n - a_n$ tende vers $0$. Montrer qu'il existe un unique réel $L$ appartenant à tous les $I_n$.
Existence. Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme $I_{n+1} \subset I_n$, les bornes $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ de $I_{n+1}$ appartiennent à $I_n$, donc $a_n \leq a_{n+1}$ et $b_{n+1} \leq b_n$.
Ainsi $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ est décroissante ; par hypothèse, $b_n - a_n$ tend vers $0$. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont donc adjacentes.
D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite $L$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n \leq L \leq b_n$, c'est-à-dire $L \in I_n$.
Donc $L$ appartient à $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n$, qui est non vide.
Unicité. Soient $x$ et $y$ deux réels appartenant à tous les $I_n$. Pour tout $n$, $x$ et $y$ sont dans $[a_n, b_n]$, donc $|x - y| \leq b_n - a_n$.
Comme $b_n - a_n$ tend vers $0$ et que $0 \leq |x - y| \leq b_n - a_n$ pour tout $n$, le passage à la limite dans cette inégalité large donne $|x - y| \leq 0$, donc $x = y$.
Conclusion : $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n = \{L\}$.
À retenir : l'emboîtement se traduit en deux monotonies, l'existence vient des suites adjacentes, et l'unicité de ce que deux points d'un même segment sont à distance au plus sa longueur.

Ligne fautive : « Les intervalles $I_n = \left]0, \frac{1}{n}\right]$ sont emboîtés et leur longueur tend vers $0$, donc ils ont un point commun. »
C'est faux : si $x$ appartenait à tous les $I_n$, on aurait $x > 0$ et $x \leq \frac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$ ; or, par la propriété d'Archimède, il existe $n$ tel que $\frac{1}{n} < x$. L'intersection est vide, parce que la borne gauche $0$ est exclue : l'intervalle n'est pas fermé. De même, les intervalles $[n, +\infty[$ sont emboîtés, fermés, et d'intersection vide, parce qu'ils ne sont pas bornés. Le théorème exige des segments, fermés et bornés : ce n'est pas une précaution de rédaction, c'est là que se joue la propriété de la borne supérieure.
Version correcte : « Les $I_n = [a_n, b_n]$ sont des segments emboîtés, car $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$, et $b_n - a_n$ tend vers $0$ ; d'après le théorème des segments emboîtés, leur intersection est réduite à un point. »