Bolzano-Weierstrass et suites de Cauchy

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe. On rappelle qu'une suite extraite de $(u_n)$ est une suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ où $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante (une extractrice), et qu'alors $\varphi(n) \geq n$ pour tout $n$ (thème Suites monotones, adjacentes et extraites). Un nombre $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ s'il existe une extractrice $\varphi$ telle que $u_{\varphi(n)} \to a$ quand $n \to +\infty$. Autrement dit, $a$ est la limite d'une suite extraite de $(u_n)$ : la suite entière n'a pas besoin de converger, il suffit qu'une partie infinie de ses termes s'accumule en $a$. Une suite peut avoir aucune, une seule, plusieurs ou une infinité de valeurs d'adhérence ; on note $\mathrm{Adh}(u)$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$.

Tout ce thème repose sur deux locutions qu'il ne faut pas échanger. Une propriété $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang quand il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie pour tout $n \geq N$ : elle n'est fausse que pour un nombre fini d'indices. Elle est vraie pour une infinité d'indices quand, pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ tel que $P(n)$ soit vraie : l'ensemble des indices où elle est vraie est infini, mais celui où elle est fausse peut l'être aussi. La première locution définit la limite (« $|u_n - L| \leq \varepsilon$ à partir d'un certain rang »), la seconde la valeur d'adhérence (« $|u_n - a| \leq \varepsilon$ pour une infinité d'indices »). La négation de l'une est l'autre appliquée à $\neg P$ : « $P(n)$ n'est pas vraie à partir d'un certain rang » signifie « $\neg P(n)$ est vraie pour une infinité d'indices » (thème Nier une proposition).

Propriété : soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe et $a$ un nombre. Alors $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ si et seulement si $\forall \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ |u_n - a| \leq \varepsilon$. En français : pour toute marge $\varepsilon$, l'inégalité $|u_n - a| \leq \varepsilon$ est vraie pour une infinité d'indices $n$, alors qu'une limite l'exige à partir d'un certain rang. Le sens direct passe par $\varphi(n) \geq n$ ; le sens réciproque construit l'extractrice par récurrence, en imposant à chaque étape $\varphi(k+1) > \varphi(k)$ (voir la rédaction modèle plus bas). Cette forme est celle que l'on utilise dès qu'aucune extractrice explicite n'est visible.

Propriété : si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $L$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $L$ (thème Suites monotones, adjacentes et extraites), donc $L$ est l'unique valeur d'adhérence de $(u_n)$. Par contraposée, une suite qui possède deux valeurs d'adhérence distinctes diverge : c'est le geste « deux suites extraites de limites différentes » du thème précédent. La réciproque de la première affirmation est fausse en général : une suite peut avoir une unique valeur d'adhérence sans converger (voir le Piège « Unique valeur d'adhérence sans bornitude »). Elle devient vraie sous l'hypothèse bornée, ce qui est l'un des résultats centraux de ce thème.

Quand l'utiliser : la suite est donnée par une formule qui fait apparaître $(-1)^n$, $\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)$, $i^n$, une distinction pair/impair ou un reste modulo $q$, et l'on demande ses valeurs d'adhérence, ou de prouver qu'elle diverge.
1) Repérer la périodicité cachée : le comportement de $u_n$ ne dépend que du reste de $n$ modulo $q$ ($q = 2$ pour $(-1)^n$, $q = 4$ pour $i^n$, $q = 6$ pour $\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)$).
2) Pour chaque reste $r \in \{0, \dots, q-1\}$, écrire l'extractrice $\varphi_r : n \mapsto qn + r$, strictement croissante, calculer $u_{qn+r}$ et sa limite $a_r$ : « L'application $n \mapsto 2n$ est strictement croissante et $u_{2n} = 1 + \frac{1}{2n} \to 1$, donc $1$ est valeur d'adhérence. »
3) Montrer qu'il n'y en a pas d'autres. Soit $a$ une valeur d'adhérence et $\varphi$ une extractrice telle que $u_{\varphi(n)} \to a$. Deux voies : soit une fonction simple de $u_n$ converge (par exemple $u_n^2 \to 1$), et l'on en déduit une équation vérifiée par $a$ ; soit on écrit que la partie $\{n : \varphi(n) \equiv r \pmod q\}$ est infinie pour au moins un $r$, et l'on extrait de nouveau.
4) Conclure : « Les valeurs d'adhérence de $(u_n)$ sont exactement $\dots$ ; il y en a au moins deux, donc $(u_n)$ diverge. »

Pour $n \geq 1$, on pose $u_n = (-1)^n + \frac{1}{n}$. Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)_{n \geq 1}$ et en déduire sa nature.
L'application $\varphi_0 : n \mapsto 2n$ est strictement croissante de $\mathbb{N}^*$ dans $\mathbb{N}^*$, et pour tout $n \geq 1$, $u_{2n} = 1 + \frac{1}{2n}$.
Comme $\frac{1}{2n} \to 0$, on a $u_{2n} \to 1$ : le réel $1$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
De même, $\varphi_1 : n \mapsto 2n + 1$ est strictement croissante et $u_{2n+1} = -1 + \frac{1}{2n+1} \to -1$ : le réel $-1$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
Montrons qu'il n'y en a pas d'autre. Soit $a$ une valeur d'adhérence de $(u_n)$ et $\varphi$ une extractrice telle que $u_{\varphi(n)} \to a$.
Pour tout $n \geq 1$, $u_n^2 = 1 + \frac{2(-1)^n}{n} + \frac{1}{n^2}$. Or $\left|\frac{2(-1)^n}{n}\right| = \frac{2}{n} \to 0$ et $\frac{1}{n^2} \to 0$, donc $u_n^2 \to 1$.
La suite $(u_{\varphi(n)}^2)$ est extraite de $(u_n^2)$, qui converge vers $1$, donc $u_{\varphi(n)}^2 \to 1$.
Par ailleurs $u_{\varphi(n)} \to a$, donc par produit $u_{\varphi(n)}^2 \to a^2$. Par unicité de la limite, $a^2 = 1$, donc $a \in \{-1, 1\}$.
Ainsi l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est exactement $\{-1, 1\}$.
La suite possède deux valeurs d'adhérence distinctes ; si elle convergeait vers $L$, toute suite extraite convergerait vers $L$ et l'on aurait $1 = L = -1$, ce qui est absurde. Donc $(u_n)$ diverge.
À retenir : une extractrice explicite par reste modulo $2$ donne les valeurs d'adhérence visibles, et une fonction de $u_n$ qui converge fournit l'équation qui interdit toutes les autres.

Quand l'utiliser : on sait qu'une propriété est vraie « pour une infinité d'indices » (pour tout $N$, il existe $n \geq N$ qui la vérifie), typiquement $|u_n - a| \leq \varepsilon$ ou $u_n \in [a_k, b_k]$, et l'on veut en tirer une suite extraite : c'est le cœur de la caractérisation par $\varepsilon$, de la démonstration de Bolzano-Weierstrass et de celle du théorème « bornée à unique valeur d'adhérence ».
1) Annoncer la construction : « On construit par récurrence une application $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $P_k(\varphi(k))$. » La propriété peut dépendre de $k$ (marge $\frac{1}{k+1}$, segment numéro $k$).
2) Initialisation : appliquer l'hypothèse avec $N = 0$ pour obtenir $\varphi(0)$.
3) Hérédité : « Soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $\varphi(0) < \dots < \varphi(k)$ soient construits. On applique l'hypothèse avec $N = \varphi(k) + 1$ : il existe $n \geq \varphi(k) + 1$ tel que $P_{k+1}(n)$. On pose $\varphi(k+1) = n$. » C'est le $+1$ qui garantit $\varphi(k+1) > \varphi(k)$ : sans lui, on pourrait retomber sur le même indice à chaque étape.
4) Écrire noir sur blanc : « $\varphi$ est strictement croissante, donc $(u_{\varphi(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de $(u_n)$, et pour tout $k$, $P_k(\varphi(k))$. »
5) Conclure par encadrement : si $P_k$ s'écrit $|u_{\varphi(k)} - a| \leq \frac{1}{k+1}$ ou $a_k \leq u_{\varphi(k)} \leq b_k$ avec $a_k, b_k \to a$, alors $u_{\varphi(k)} \to a$.

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $a \in \mathbb{R}$. Montrer que $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ si et seulement si pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ tel que $|u_n - a| \leq \varepsilon$.
Sens direct. Supposons qu'il existe une extractrice $\varphi$ telle que $u_{\varphi(n)} \to a$. Soient $\varepsilon > 0$ et $N \in \mathbb{N}$.
Par définition de la limite, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $|u_{\varphi(n)} - a| \leq \varepsilon$.
Posons $m = \max(N, n_0)$ et $n = \varphi(m)$. Comme $\varphi$ est strictement croissante, $\varphi(m) \geq m \geq N$, donc $n \geq N$ ; et comme $m \geq n_0$, $|u_n - a| = |u_{\varphi(m)} - a| \leq \varepsilon$.
Sens réciproque. Supposons que pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ tel que $|u_n - a| \leq \varepsilon$.
On construit par récurrence une application $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $|u_{\varphi(k)} - a| \leq \frac{1}{k+1}$.
Initialisation : l'hypothèse appliquée à $\varepsilon = 1$ et $N = 0$ fournit un entier $n \geq 0$ tel que $|u_n - a| \leq 1$ ; on pose $\varphi(0) = n$.
Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $\varphi(0) < \varphi(1) < \dots < \varphi(k)$ soient construits avec la propriété voulue. L'hypothèse appliquée à $\varepsilon = \frac{1}{k+2}$ et $N = \varphi(k) + 1$ fournit un entier $n \geq \varphi(k) + 1$ tel que $|u_n - a| \leq \frac{1}{k+2}$ ; on pose $\varphi(k+1) = n$. Alors $\varphi(k+1) > \varphi(k)$ et $|u_{\varphi(k+1)} - a| \leq \frac{1}{(k+1)+1}$.
L'application $\varphi$ ainsi construite est strictement croissante, donc $(u_{\varphi(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de $(u_n)$.
Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $0 \leq |u_{\varphi(k)} - a| \leq \frac{1}{k+1}$, et $\frac{1}{k+1} \to 0$, donc par le théorème d'encadrement $|u_{\varphi(k)} - a| \to 0$, c'est-à-dire $u_{\varphi(k)} \to a$.
Ainsi $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
À retenir : dans le sens direct, $\varphi(m) \geq m$ permet de dépasser le rang $N$ ; dans le sens réciproque, le choix $N = \varphi(k) + 1$ rend l'extractrice strictement croissante et la marge $\frac{1}{k+1}$ force la convergence.

Ligne fautive : « Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, il existe $n_k \in \mathbb{N}$ tel que $|u_{n_k} - a| \leq \frac{1}{k}$, donc $(u_{n_k})_{k \geq 1}$ est une suite extraite qui converge vers $a$. »
Rien ne dit que $k \mapsto n_k$ est strictement croissante : les $n_k$ peuvent se répéter, ou même être tous égaux. Contre-exemple : $u_0 = 0$ et $u_n = 1$ pour $n \geq 1$ ; avec $a = 0$, l'indice $n_k = 0$ convient pour tout $k$, la « suite extraite » $(u_{n_k})$ est la suite constante $(u_0)$, qui n'est pas extraite de $(u_n)$ au sens de la définition, et $0$ n'est pas une valeur d'adhérence de $(u_n)$ puisque toute suite extraite de $(u_n)$ vaut $1$ à partir du rang $1$.
Version correcte : appliquer la propriété à un rang $N$ qui dépasse l'indice précédent, « il existe $n_{k+1} \geq n_k + 1$ tel que $|u_{n_{k+1}} - a| \leq \frac{1}{k+1}$ », ce qui exige de disposer de la propriété « pour tout $N$, il existe $n \geq N$ » et non seulement « il existe $n$ ». Sur la copie, la phrase « $\varphi$ est strictement croissante, donc $(u_{\varphi(k)})$ est extraite de $(u_n)$ » doit apparaître.

Théorème (Bolzano-Weierstrass) : toute suite réelle bornée admet au moins une valeur d'adhérence, c'est-à-dire une suite extraite convergente. Autrement dit, si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite réelle et s'il existe $M \geq 0$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n$, alors il existe une extractrice $\varphi$ et un réel $a$ tels que $u_{\varphi(n)} \to a$. L'hypothèse « bornée » est indispensable : la suite $u_n = n$ n'a aucune valeur d'adhérence, car toute suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ vérifie $u_{\varphi(n)} = \varphi(n) \geq n \to +\infty$. Le théorème ne dit rien de la suite entière : $(-1)^n$ est bornée et diverge. La démonstration par dichotomie reprend la méthode « Construire deux suites adjacentes par dichotomie » et le théorème des suites adjacentes (thème Suites monotones, adjacentes et extraites), puis construit une extractrice par récurrence ; elle est exigible en Sup et figure en rédaction modèle ci-dessous.

Théorème : toute suite complexe bornée admet une suite extraite convergente. Précisément, si $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite complexe et s'il existe $M \geq 0$ tel que $|z_n| \leq M$ pour tout $n$, alors il existe une extractrice $\varphi$ et un complexe $c$ tels que $z_{\varphi(n)} \to c$. La preuve se ramène au cas réel par une double extraction : les inégalités $|\mathrm{Re}(z)| \leq |z|$ et $|\mathrm{Im}(z)| \leq |z|$ montrent que les parties réelle et imaginaire sont bornées ; on extrait une première fois pour faire converger la partie réelle, puis une seconde fois, de la suite déjà extraite, pour faire converger la partie imaginaire, et l'on conclut par le théorème « une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent » (thème Suites réelles et complexes : convergence). Le même argument, répété $p$ fois, vaut dans $\mathbb{R}^p$.

Quand l'utiliser : l'énoncé dit ou permet de montrer qu'une suite est bornée, et il faut produire un nombre, une limite ou un point (« montrer qu'il existe $a$ tel que… », « montrer que $f$ atteint sa borne supérieure », « montrer que la suite converge » quand on sait déjà qu'elle a au plus une valeur d'adhérence ou qu'elle est de Cauchy). On ne l'utilise jamais pour conclure directement que la suite converge.
1) Établir la bornitude : exhiber $M \geq 0$ tel que pour tout $n$, $|u_n| \leq M$, ou un encadrement $a \leq u_n \leq b$. Écrire « La suite $(u_n)$ est bornée. »
2) Citer le théorème et nommer ce qu'il donne : « D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extractrice $\varphi$ et un réel $a$ tels que $u_{\varphi(n)} \to a$. »
3) Faire passer les propriétés de la suite à la suite extraite : une inégalité $u_n \in [\alpha, \beta]$ donne $a \in [\alpha, \beta]$ par passage à la limite dans une inégalité large ; une relation $f(u_n) = v_n$ donne $f(u_{\varphi(n)}) = v_{\varphi(n)}$, où $(v_{\varphi(n)})$ converge vers la limite de $(v_n)$ si celle-ci converge.
4) Travailler avec $(u_{\varphi(n)})$ et $a$ : c'est souvent $a$ qui est le nombre cherché.
5) Pour une suite complexe, citer le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{C}$, ou refaire la double extraction si l'énoncé le demande.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle bornée. Montrer qu'elle admet une suite extraite convergente.
Comme $(u_n)$ est bornée, il existe deux réels $a$ et $b$, avec $a \leq b$, tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [a, b]$.
Pour un segment $[c, d]$, disons qu'il est bon s'il contient $u_n$ pour une infinité d'indices, c'est-à-dire si l'ensemble $\{n \in \mathbb{N} : u_n \in [c, d]\}$ est infini.
Remarque préliminaire : si $[c, d]$ est bon et si $m = \frac{c+d}{2}$, alors $[c, m]$ ou $[m, d]$ est bon. En effet, $\{n : u_n \in [c, d]\} = \{n : u_n \in [c, m]\} \cup \{n : u_n \in [m, d]\}$ ; si les deux ensembles de droite étaient finis, leur réunion le serait aussi, ce qui contredit le fait que $[c, d]$ est bon.
On construit par récurrence deux suites $(a_k)$ et $(b_k)$ telles que pour tout $k$ : $[a_k, b_k]$ est bon, $a_k \leq a_{k+1}$, $b_{k+1} \leq b_k$ et $b_k - a_k = \frac{b - a}{2^k}$.
Initialisation : on pose $a_0 = a$ et $b_0 = b$ ; le segment $[a, b]$ contient tous les termes, donc il est bon, et $b_0 - a_0 = b - a$.
Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $[a_k, b_k]$ soit construit, bon, de longueur $\frac{b-a}{2^k}$. Posons $m_k = \frac{a_k + b_k}{2}$. D'après la remarque, $[a_k, m_k]$ ou $[m_k, b_k]$ est bon. Si $[a_k, m_k]$ est bon, on pose $a_{k+1} = a_k$ et $b_{k+1} = m_k$ ; sinon $[m_k, b_k]$ est bon, et l'on pose $a_{k+1} = m_k$ et $b_{k+1} = b_k$. Cette règle désigne un segment et un seul, même lorsque les deux moitiés sont bonnes. Dans les deux cas, $[a_{k+1}, b_{k+1}]$ est bon, $a_k \leq a_{k+1}$, $b_{k+1} \leq b_k$ et $b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{b_k - a_k}{2} = \frac{b-a}{2^{k+1}}$.
La suite $(a_k)$ est croissante, la suite $(b_k)$ est décroissante, et $b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k} \to 0$ puisque $0 \leq \frac{1}{2} < 1$ : les suites $(a_k)$ et $(b_k)$ sont adjacentes. D'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite $L \in \mathbb{R}$.
On construit maintenant par récurrence une extractrice $\varphi$ telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $u_{\varphi(k)} \in [a_k, b_k]$.
Initialisation : on pose $\varphi(0) = 0$ ; en effet $u_0 \in [a, b] = [a_0, b_0]$.
Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $\varphi(0) < \dots < \varphi(k)$ soient construits. L'ensemble $\{n \in \mathbb{N} : u_n \in [a_{k+1}, b_{k+1}]\}$ est infini, et $\{0, 1, \dots, \varphi(k)\}$ est fini, donc l'ensemble $\{n > \varphi(k) : u_n \in [a_{k+1}, b_{k+1}]\}$ est infini, en particulier non vide. On note $\varphi(k+1)$ le plus petit élément de cet ensemble, partie non vide de $\mathbb{N}$ : $\varphi(k+1) > \varphi(k)$ et $u_{\varphi(k+1)} \in [a_{k+1}, b_{k+1}]$.
L'application $\varphi$ est strictement croissante, donc $(u_{\varphi(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de $(u_n)$.
Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $a_k \leq u_{\varphi(k)} \leq b_k$, avec $a_k \to L$ et $b_k \to L$. Par le théorème d'encadrement, $u_{\varphi(k)} \to L$.
Ainsi $(u_n)$ admet une suite extraite convergente, et $L$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
À retenir : la dichotomie garde à chaque étape la moitié qui contient une infinité de termes, les suites adjacentes fournissent la limite, et l'extractrice se construit en imposant $n > \varphi(k)$ grâce au caractère infini de l'ensemble d'indices.

Soit $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite complexe bornée. En admettant le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}$, montrer que $(z_n)$ admet une suite extraite convergente.
Soit $M \geq 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|z_n| \leq M$. Posons $x_n = \mathrm{Re}(z_n)$ et $y_n = \mathrm{Im}(z_n)$.
Pour tout $n$, $|x_n| \leq |z_n| \leq M$ : la suite réelle $(x_n)$ est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}$, il existe une extractrice $\varphi$ et un réel $x$ tels que $x_{\varphi(n)} \to x$.
Pour tout $n$, $|y_{\varphi(n)}| \leq |z_{\varphi(n)}| \leq M$ : la suite réelle $(y_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}$, il existe une extractrice $\psi$ et un réel $y$ tels que $y_{\varphi(\psi(n))} \to y$.
La suite $(x_{\varphi(\psi(n))})_{n \in \mathbb{N}}$ est extraite de $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, qui converge vers $x$, donc $x_{\varphi(\psi(n))} \to x$.
L'application $\varphi \circ \psi$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ : c'est une extractrice.
La suite complexe $(z_{\varphi \circ \psi(n)})$ a pour partie réelle $(x_{\varphi(\psi(n))})$, qui converge vers $x$, et pour partie imaginaire $(y_{\varphi(\psi(n))})$, qui converge vers $y$. Une suite complexe dont les parties réelle et imaginaire convergent converge, vers le complexe dont elles sont les parties réelle et imaginaire : $z_{\varphi \circ \psi(n)} \to x + iy$.
Ainsi $(z_n)$ admet une suite extraite convergente.
À retenir : la seconde extraction porte sur la suite déjà extraite, ce qui conserve la convergence de la partie réelle ; l'extractrice finale est la composée $\varphi \circ \psi$, dans cet ordre.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ est bornée, donc d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass elle converge. »
C'est faux : le théorème fournit une suite extraite convergente, et rien sur la suite entière ; c'est le Piège « Confondre bornée et convergente » du thème précédent, aggravé d'une citation qui lui donne l'air d'une preuve. Contre-exemple : $u_n = (-1)^n$ est bornée par $1$, Bolzano-Weierstrass s'applique et fournit par exemple $(u_{2n})$, qui converge vers $1$, mais $(u_{2n+1})$ converge vers $-1$ et la suite diverge. Erreur voisine : après avoir obtenu $u_{\varphi(n)} \to a$, continuer avec « donc $u_n \to a$ » ou utiliser $a$ comme si c'était la limite de $(u_n)$ ; ce que l'on sait de $a$ est seulement qu'il est une valeur d'adhérence.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ est bornée, donc d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe une extractrice $\varphi$ et un réel $a$ tels que $u_{\varphi(n)} \to a$. » Pour obtenir ensuite la convergence de la suite entière, il faut une hypothèse de plus et un argument qui l'exploite : monotonie (théorème de la limite monotone), unicité de la valeur d'adhérence (théorème ci-dessous), ou caractère de Cauchy (complétude de $\mathbb{R}$).

Théorème : soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe bornée qui admet une unique valeur d'adhérence $a$. Alors $(u_n)$ converge vers $a$. Joint à la propriété « Limite et valeurs d'adhérence », il donne la caractérisation : une suite converge si et seulement si elle est bornée et possède exactement une valeur d'adhérence. Les deux hypothèses sont nécessaires : $(-1)^n$ est bornée avec deux valeurs d'adhérence, et la suite qui vaut $n$ pour $n$ pair et $0$ pour $n$ impair a $0$ pour unique valeur d'adhérence sans converger (Piège ci-dessous). La démonstration, par l'absurde et Bolzano-Weierstrass appliqué à une suite extraite dont tous les termes restent loin de $a$, est exigible en Spé et en L1 ; c'est la rédaction modèle qui suit.

Quand l'utiliser : la suite est bornée et l'on veut prouver qu'elle converge sans connaître sa limite à l'avance, ce que la définition en $\varepsilon$ ne permet pas directement. Les deux cas d'école sont « bornée à unique valeur d'adhérence » et « de Cauchy ». Le plan est toujours le même : Bolzano-Weierstrass donne une valeur d'adhérence $a$, qui est la seule limite possible, puis un argument spécifique force toute la suite vers $a$.
1) Établir que $(u_n)$ est bornée, citer Bolzano-Weierstrass : « il existe une extractrice $\varphi$ et un nombre $a$ tels que $u_{\varphi(n)} \to a$. »
2) Annoncer : « Montrons que $u_n \to a$. »
3) Voie par l'absurde (cas « unique valeur d'adhérence ») : « Supposons par l'absurde que $(u_n)$ ne converge pas vers $a$ : il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $N$, il existe $n \geq N$ avec $|u_n - a| > \varepsilon$. » Construire par récurrence une extractrice $\psi$ avec $|u_{\psi(n)} - a| > \varepsilon$ pour tout $n$, appliquer Bolzano-Weierstrass à $(u_{\psi(n)})$, bornée, obtenir une valeur d'adhérence $b$ de $(u_n)$, passer à la limite dans l'inégalité large $|u_{\psi(\chi(n))} - a| \geq \varepsilon$ pour obtenir $|b - a| \geq \varepsilon > 0$, d'où $b \neq a$ : deux valeurs d'adhérence, contradiction.
4) Voie directe (cas « de Cauchy ») : « Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N$ tel que pour tous $p, q \geq N$, $|u_p - u_q| \leq \frac{\varepsilon}{2}$. » Prendre, par la caractérisation par $\varepsilon$, un rang $m \geq N$ avec $|u_m - a| \leq \frac{\varepsilon}{2}$, puis pour $n \geq N$ : $|u_n - a| \leq |u_n - u_m| + |u_m - a| \leq \varepsilon$.
5) Conclure en nommant la limite : « Ainsi $(u_n)$ converge, vers $a$. »

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence $a$. Montrer que $(u_n)$ converge vers $a$.
Supposons par l'absurde que $(u_n)$ ne converge pas vers $a$. En niant la définition de la limite, il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ vérifiant $|u_n - a| > \varepsilon$. Fixons un tel $\varepsilon$.
On construit par récurrence une application $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $|u_{\psi(k)} - a| > \varepsilon$.
Initialisation : la propriété appliquée à $N = 0$ fournit $n \geq 0$ tel que $|u_n - a| > \varepsilon$ ; on pose $\psi(0) = n$.
Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $\psi(0) < \dots < \psi(k)$ soient construits. La propriété appliquée à $N = \psi(k) + 1$ fournit $n \geq \psi(k) + 1$ tel que $|u_n - a| > \varepsilon$ ; on pose $\psi(k+1) = n$, de sorte que $\psi(k+1) > \psi(k)$.
L'application $\psi$ est strictement croissante, donc $(u_{\psi(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de $(u_n)$ ; comme $(u_n)$ est bornée, $(u_{\psi(k)})$ l'est aussi.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extractrice $\chi$ et un réel $b$ tels que $u_{\psi(\chi(k))} \to b$.
L'application $\psi \circ \chi$ est strictement croissante, donc $(u_{\psi(\chi(k))})$ est une suite extraite de $(u_n)$ : le réel $b$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$.
Par unicité de la valeur d'adhérence, $b = a$.
Or pour tout $k \in \mathbb{N}$, $|u_{\psi(\chi(k))} - a| > \varepsilon$, donc $|u_{\psi(\chi(k))} - a| \geq \varepsilon$. La suite $(u_{\psi(\chi(k))} - a)$ converge vers $b - a$, donc $(|u_{\psi(\chi(k))} - a|)$ converge vers $|b - a|$, et le passage à la limite dans une inégalité large donne $|b - a| \geq \varepsilon$.
Comme $\varepsilon > 0$, on obtient $b \neq a$, ce qui contredit $b = a$.
L'hypothèse est donc fausse : $(u_n)$ converge vers $a$.
À retenir : nier la convergence donne une marge $\varepsilon$ franchie pour une infinité d'indices ; on extrait ces indices, Bolzano-Weierstrass fabrique une seconde valeur d'adhérence, et l'inégalité stricte, devenue large à la limite, la sépare de la première.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ admet $0$ pour unique valeur d'adhérence, donc $u_n \to 0$. »
C'est faux sans l'hypothèse bornée. Contre-exemple : $u_n = n$ si $n$ est pair et $u_n = 0$ si $n$ est impair. La suite extraite $(u_{2n+1})$ est nulle, donc $0$ est valeur d'adhérence. Si $b$ est une valeur d'adhérence, avec $u_{\varphi(n)} \to b$, la suite $(u_{\varphi(n)})$ est bornée, disons par $M$ ; pour $n > M$, l'indice $\varphi(n)$ ne peut pas être pair, sinon $u_{\varphi(n)} = \varphi(n) \geq n > M$ ; donc $u_{\varphi(n)} = 0$ à partir du rang $\lfloor M \rfloor + 1$ et $b = 0$. Ainsi $\mathrm{Adh}(u) = \{0\}$, et pourtant $(u_n)$ n'est pas bornée, donc ne converge pas.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ est bornée (justification) et admet $0$ pour unique valeur d'adhérence, donc $u_n \to 0$. » Sans bornitude, une suite à unique valeur d'adhérence peut diverger, et une suite peut n'avoir aucune valeur d'adhérence, comme $u_n = n$.

L'ensemble $\mathrm{Adh}(u)$ des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ peut être vide ($u_n = n$), fini ($u_n = (-1)^n$ donne $\{-1, 1\}$) ou infini : on peut montrer que $u_n = \cos n$ a pour valeurs d'adhérence tout $[-1, 1]$. Propriétés : si $(u_n)$ est bornée par $M$, alors $\mathrm{Adh}(u)$ est non vide (Bolzano-Weierstrass) et toute valeur d'adhérence $a$ vérifie $|a| \leq M$ (passage à la limite dans $|u_{\varphi(n)}| \leq M$), c'est-à-dire $\mathrm{Adh}(u) \subset [-M, M]$ si la suite est réelle, et $\mathrm{Adh}(u)$ dans le disque fermé de rayon $M$ si elle est complexe ; $\mathrm{Adh}(u)$ est stable par passage à la limite : si $(a_k)$ est une suite de valeurs d'adhérence qui converge vers $a$, alors $a \in \mathrm{Adh}(u)$. Idée : deux marges $\frac{\varepsilon}{2}$ et l'inégalité triangulaire ; la rédaction complète est l'exercice de rédaction de cette fiche. Enfin, résultat classique d'exercice : si $(u_n)$ est réelle, bornée, et si $u_{n+1} - u_n \to 0$, alors $\mathrm{Adh}(u)$ est un segment, à savoir $[\liminf u_n, \limsup u_n]$ avec les notations de la carte suivante ; $\liminf$ et $\limsup$ n'ayant pas de sens dans $\mathbb{C}$, cet énoncé est propre aux suites réelles.