Fonctions continues sur un segment et continuité uniforme

Un segment est un intervalle de la forme $[a,b]$ avec $a \leq b$ : il est fermé (il contient ses deux extrémités) et borné. Ni $]0,1]$, ni $[0,+\infty[$, ni $\mathbb{R}$ ne sont des segments, et c'est exactement là que les théorèmes de ce thème tombent en défaut. Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est majorée sur $I$ s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$ (un tel $M$ est un majorant de $f$), minorée de même avec $\geq$, bornée si elle est les deux, ce qui équivaut à : il existe $K \geq 0$ tel que pour tout $x \in I$, $|f(x)| \leq K$. Quand $f$ est majorée, $\sup_I f$ désigne le plus petit majorant de l'ensemble $f(I)$ (thème Nombres réels). On dit que $f$ atteint sa borne supérieure s'il existe $c \in I$ tel que $f(c) = \sup_I f$ : cette borne est alors un maximum, noté $\max_I f$. Même chose pour la borne inférieure et le minimum.

Soient $a \leq b$ deux réels et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Alors $f$ est bornée sur $[a,b]$ et atteint ses bornes : il existe $c \in [a,b]$ et $d \in [a,b]$ tels que pour tout $x \in [a,b]$, $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$. Autrement dit $\min_{[a,b]} f = f(c)$ et $\max_{[a,b]} f = f(d)$ existent. Chaque hypothèse est indispensable : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0,1]$ et non majorée (intervalle non fermé) ; $x \mapsto x$ est continue sur $[0,+\infty[$ et non majorée (intervalle non borné) ; $x \mapsto x$ est continue et bornée sur $]0,1[$ mais n'atteint ni $0$ ni $1$ ; la fonction $g$ définie sur $[0,1]$ par $g(x) = x$ si $x < 1$ et $g(1) = 0$ est bornée, mais sa borne supérieure $1$ n'est pas atteinte (continuité en défaut en $1$). La preuve repose sur le théorème de Bolzano-Weierstrass (thème Bolzano-Weierstrass et suites de Cauchy) : elle fait l'objet de la rédaction modèle suivante.

Soient $a \leq b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que $f$ est majorée et atteint sa borne supérieure. (Le cas de la borne inférieure s'obtient en appliquant le résultat à $-f$.)
Étape 1 : $f$ est majorée. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas majorée sur $[a,b]$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, le réel $n$ n'est pas un majorant de $f$ : il existe $x_n \in [a,b]$ tel que $f(x_n) > n$.
La suite $(x_n)$ est à valeurs dans $[a,b]$, donc bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extraction $\varphi$ telle que $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un réel $\ell$.
Comme $a \leq x_{\varphi(n)} \leq b$ pour tout $n$, le passage à la limite dans les inégalités larges donne $\ell \in [a,b]$.
La fonction $f$ est continue en $\ell$, donc, par la caractérisation séquentielle de la continuité, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(\ell)$ : la suite $(f(x_{\varphi(n)}))$ converge, donc elle est bornée.
Or pour tout $n$, $f(x_{\varphi(n)}) > \varphi(n) \geq n$ (une extraction vérifie $\varphi(n) \geq n$), donc $f(x_{\varphi(n)}) \to +\infty$ par minoration, ce qui contredit le fait que cette suite soit bornée.
L'hypothèse est donc fausse : $f$ est majorée sur $[a,b]$.
Étape 2 : la borne supérieure est atteinte. L'ensemble $f([a,b])$ est une partie de $\mathbb{R}$ non vide (elle contient $f(a)$) et majorée, donc elle admet une borne supérieure $M = \sup_{[a,b]} f$.
Par la caractérisation de la borne supérieure, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, le réel $M - \frac{1}{n}$ n'est pas un majorant de $f([a,b])$ : il existe $y_n \in [a,b]$ tel que $M - \frac{1}{n} < f(y_n) \leq M$.
Par le théorème d'encadrement, $f(y_n) \to M$.
La suite $(y_n)$ est bornée (à valeurs dans $[a,b]$) : par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extraction $\psi$ telle que $(y_{\psi(n)})$ converge vers un réel $d$, et $d \in [a,b]$ par passage à la limite dans $a \leq y_{\psi(n)} \leq b$.
Par continuité de $f$ en $d$, $f(y_{\psi(n)}) \to f(d)$. Or $(f(y_{\psi(n)}))$ est extraite de $(f(y_n))$, qui converge vers $M$, donc $f(y_{\psi(n)}) \to M$.
Par unicité de la limite, $f(d) = M$ : la borne supérieure est atteinte en $d$, c'est un maximum.
À retenir : chaque fois que l'on veut un point du segment, on fabrique une suite (par la négation d'un majorant, ou par la caractérisation de la borne supérieure), Bolzano-Weierstrass en extrait une limite, le segment fermé garde cette limite, et la continuité transporte la convergence sur les images.

Ligne fautive : « $f$ est bornée sur $I$, donc $f$ atteint son maximum $M = \sup_I f$. »
Une borne supérieure existe dès que $f$ est majorée, mais rien ne dit qu'elle est atteinte. Contre-exemple : $f : x \mapsto \frac{x}{1+x}$ sur $[0,+\infty[$ est bornée, $\sup f = 1$ (car $f(x) < 1$ pour tout $x$ et $f(x) \to 1$ en $+\infty$), et aucun $x$ ne vérifie $f(x) = 1$. Même sur un segment, sans continuité, l'atteinte échoue : sur $[0,1]$, la fonction $g$ valant $x$ pour $x < 1$ et $0$ en $1$ a pour borne supérieure $1$, jamais atteinte.
Version correcte : écrire « $f$ est majorée, donc $M = \sup_I f$ existe » ; puis, pour parler de maximum, invoquer un théorème qui garantit l'atteinte ($f$ continue sur un segment : théorème des bornes atteintes) ou exhiber explicitement $c \in I$ tel que $f(c) = M$. Le mot $\max$ ne s'écrit qu'une fois ce point trouvé.

Ligne fautive : « $f$ est continue sur $]0,1]$, donc $f$ est bornée et uniformément continue. »
Le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine exigent un segment : fermé et borné. Sur $]0,1]$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue, non majorée et non uniformément continue ; sur $\mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$ est continue, non bornée et non uniformément continue. Le réflexe : avant d'écrire « donc », vérifier que l'intervalle a deux extrémités finies et les contient, et que la continuité vaut jusqu'aux extrémités incluses (une fonction continue sur $]a,b]$, prolongée en $a$ par une valeur arbitraire, n'est pas nécessairement continue sur $[a,b]$ : il faut que cette valeur soit la limite de $f$ en $a$, quand elle existe).
Version correcte sur un intervalle ouvert ou non borné : se ramener à un segment en contrôlant ce qui se passe aux bords (méthode « Se ramener à un segment pour montrer qu'une fonction est bornée ou atteint ses bornes », méthode de découpage pour la continuité uniforme), ou renoncer au théorème et chercher un contre-exemple.

Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, alors $f([a,b])$ est le segment $[m,M]$ où $m = \min_{[a,b]} f$ et $M = \max_{[a,b]} f$. Preuve en deux lignes : le théorème des bornes atteintes fournit $m$ et $M$, atteints en des points $c$ et $d$, avec $f([a,b]) \subset [m,M]$ ; le théorème des valeurs intermédiaires (thème Continuité et théorème des valeurs intermédiaires), appliqué à $f$ entre $c$ et $d$, donne $[m,M] \subset f([a,b])$. Attention : $[m,M]$ n'est pas $[f(a),f(b)]$ en général (penser à $x \mapsto x^2$ sur $[-1,2]$, d'image $[0,4]$), sauf si $f$ est croissante, auquel cas $[m,M] = [f(a),f(b)]$ ; si $f$ est décroissante, c'est $[f(b),f(a)]$. L'image d'un intervalle quelconque par une fonction continue est un intervalle, mais pas nécessairement de même nature : $x \mapsto x^2$ envoie l'ouvert $]-1,1[$ sur $[0,1[$, et $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ envoie $\mathbb{R}$ sur $]0,1]$. Seul le segment est conservé.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande « $f$ est bornée », « $f$ atteint son minimum », « il existe $m > 0$ tel que $f \geq m$ », et $f$ est continue sur un intervalle qui n'est pas un segment ($\mathbb{R}$, $[0,+\infty[$, $]0,1]$), mais avec un comportement connu aux bords (limites finies ou infinies, prolongement par continuité).
1) Si l'intervalle est déjà un segment et $f$ continue jusqu'aux bornes : citer le théorème des bornes atteintes et écrire sa conclusion avec des objets nommés : « il existe $c \in [a,b]$ tel que pour tout $x \in [a,b]$, $f(x) \geq f(c)$ ».
2) Sinon, traiter les bords avec la définition de la limite et un choix explicite. Une limite finie $\ell$ en $+\infty$ donne, avec $\varepsilon = 1$, un $A$ tel que pour $x \geq A$, $|f(x) - \ell| \leq 1$ : $f$ est bornée au-delà de $A$. Une limite $+\infty$ en $+\infty$ donne, avec le réel $f(0)$, un $A$ tel que pour $x \geq A$, $f(x) \geq f(0)$ : au-delà de $A$, $f$ dépasse une valeur prise dans le segment.
3) Appliquer le théorème des bornes atteintes sur le segment restant, $[-A,A]$ ou $[a,A]$, où $f$ est continue. Agrandir $A$ si besoin ($\max(A,0)$ ou $\max(A,a)$) pour que ce soit bien un segment : la définition de la limite ne dit rien de la position de $A$.
4) Recoller par une disjonction de cas sur la position de $x$ (thème Disjonction de cas) : dans le segment, le minimum du segment sert ; hors du segment, la comparaison de l'étape 2) ramène au-dessus d'une valeur prise dans le segment, donc au-dessus de ce minimum.
5) Pour « $f \geq m > 0$ » avec $f > 0$ sur un segment : le minimum $m = f(c)$ existe par le théorème des bornes atteintes, et $m > 0$ parce que $f(c) > 0$. C'est l'atteinte qui rend la minoration stricte.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue telle que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \geq f(c)$.
Par définition de $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, appliquée avec le réel $f(0)$, il existe $A_1 \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \geq A_1$, $f(x) \geq f(0)$ ; quitte à remplacer $A_1$ par $\max(A_1, 0)$, on suppose $A_1 \geq 0$.
De même, par définition de $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, il existe $A_2 \geq 0$ tel que pour tout $x \leq -A_2$, $f(x) \geq f(0)$.
Posons $A = \max(A_1, A_2) \geq 0$. Alors $0 \in [-A,A]$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$ vérifiant $|x| \geq A$, on a $f(x) \geq f(0)$.
La fonction $f$ est continue sur le segment $[-A,A]$, donc, d'après le théorème des bornes atteintes, il existe $c \in [-A,A]$ tel que pour tout $x \in [-A,A]$, $f(x) \geq f(c)$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $|x| \leq A$, alors $f(x) \geq f(c)$ par choix de $c$. Si $|x| \geq A$, alors $f(x) \geq f(0) \geq f(c)$, la seconde inégalité venant de $0 \in [-A,A]$.
Dans les deux cas, $f(x) \geq f(c)$ : la fonction $f$ atteint son minimum sur $\mathbb{R}$, au point $c$.
À retenir : la valeur $f(0)$, prise dans le futur segment, sert de seuil dans la définition de la limite ; le segment $[-A,A]$ contient $0$, ce qui permet au minimum du segment de battre tout ce qui se passe dehors.

Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue telle que pour tout $x \in [a,b]$, $f(x) > 0$. Montrer qu'il existe $m > 0$ tel que pour tout $x \in [a,b]$, $f(x) \geq m$.
La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc, d'après le théorème des bornes atteintes, il existe $c \in [a,b]$ tel que pour tout $x \in [a,b]$, $f(x) \geq f(c)$.
Posons $m = f(c)$. Comme $c \in [a,b]$, l'hypothèse donne $f(c) > 0$, c'est-à-dire $m > 0$.
Ainsi $m > 0$ et, pour tout $x \in [a,b]$, $f(x) \geq m$ : c'est ce qu'il fallait démontrer.
Remarque : sans l'atteinte, l'argument s'effondre. Sur $]0,1]$, $x \mapsto x$ est continue, strictement positive, et n'est minorée par aucun $m > 0$ : sa borne inférieure $0$ n'est pas prise.
À retenir : « strictement positive en tout point » ne donne « minorée par un $m > 0$ » que grâce à un minimum atteint ; c'est le théorème des bornes atteintes qui transforme le $> 0$ ponctuel en un $\geq m$ uniforme.

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f : I \to \mathbb{R}$ et $k \geq 0$. On dit que $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$ si $\forall (x,y) \in I^2,\ |f(x) - f(y)| \leq k\,|x - y|$. Elle est lipschitzienne sur $I$ s'il existe un tel $k$. En français : l'écart entre deux valeurs de $f$ est contrôlé par l'écart entre les points, avec une constante $k$ indépendante des points. Géométriquement, tous les taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ (pour $x \neq y$) restent dans $[-k,k]$. Exemples : $x \mapsto |x|$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ (seconde inégalité triangulaire $\big||x| - |y|\big| \leq |x-y|$) ; $x \mapsto \sin x$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ ; toute fonction affine $x \mapsto \alpha x + \beta$ est $|\alpha|$-lipschitzienne ; une fonction constante est $0$-lipschitzienne. Une fonction $k$-lipschitzienne l'est aussi pour tout $k' \geq k$ : la constante n'est pas unique.

Une fonction $k$-lipschitzienne sur $I$ est continue sur $I$, et même uniformément continue (propriété plus loin) : en tout $x_0 \in I$, $|f(x) - f(x_0)| \leq k|x - x_0|$, qui tend vers $0$ quand $x \to x_0$. Si $f$ est $k$-lipschitzienne et $g$ est $k'$-lipschitzienne sur $I$, alors $f + g$ est $(k + k')$-lipschitzienne et $\lambda f$ est $|\lambda| k$-lipschitzienne ; si $g$ est $k'$-lipschitzienne sur $I$ à valeurs dans $J$ et $f$ est $k$-lipschitzienne sur $J$, alors $f \circ g$ est $k k'$-lipschitzienne sur $I$. Le produit de deux fonctions lipschitziennes ne l'est pas en général ($x \mapsto x$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$, mais $x \mapsto x^2$ n'est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$) ; il l'est si les deux fonctions sont de plus bornées. La réciproque de « lipschitzienne donc continue » est fausse : $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0,1]$ et n'y est pas lipschitzienne (rédaction modèle plus loin). Lien avec la dérivée, admis ici et démontré au bloc Analyse 2 avec l'inégalité des accroissements finis : une fonction dérivable sur $I$ dont la dérivée est bornée par $k$ est $k$-lipschitzienne sur $I$.

Quand l'utiliser : l'énoncé demande « lipschitzienne », ou un contrôle $|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ ; c'est souvent le préalable à une continuité uniforme, à l'étude d'une suite récurrente contractante ou à une majoration d'erreur.
1) Écrire la cible avec ses quantificateurs : « Soient $x, y \in I$. Montrons que $|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ », avec un $k$ que l'on ne connaît pas encore : on le lit à la fin du calcul et on le reporte en tête.
2) Faire apparaître $x - y$ en facteur dans $f(x) - f(y)$ : identité remarquable ($x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$), mise au même dénominateur ($\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}$), quantité conjuguée ($\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$), formule de trigonométrie ($\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$, puis $|\sin t| \leq |t|$).
3) Majorer le cofacteur indépendamment de $x$ et $y$ grâce à l'intervalle : sur $[0,1]$, $|x + y| \leq 2$ ; sur $[1,+\infty[$, $\frac{1}{xy} \leq 1$ ; partout, $|\cos t| \leq 1$. Si le cofacteur n'est pas majoré sur $I$ (il explose au bord ou à l'infini), la fonction n'est probablement pas lipschitzienne sur $I$ : passer à la méthode suivante.
4) Conclure en citant la définition : « Ainsi, pour tous $x, y \in I$, $|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ : $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$. » Une constante trop grande est acceptable : on ne demande pas la meilleure.
5) Plus tard (bloc Analyse 2) : si $f$ est dérivable sur $I$ avec $|f'| \leq k$, l'inégalité des accroissements finis conclut sans calcul.

Montrer que $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ est $1$-lipschitzienne sur $[1,+\infty[$.
Soient $x, y \in [1,+\infty[$.
On a $f(x) - f(y) = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}$, donc $|f(x) - f(y)| = \frac{|x - y|}{xy}$.
Comme $x \geq 1$ et $y \geq 1$, on a $xy \geq 1$, donc $\frac{1}{xy} \leq 1$.
Ainsi $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|$.
Ceci vaut pour tous $x, y \in [1,+\infty[$ : $f$ est $1$-lipschitzienne sur $[1,+\infty[$.
Remarque : sur $]0,1]$, le même calcul donne le cofacteur $\frac{1}{xy}$, qui n'est pas majoré, et $f$ n'y est pas lipschitzienne : pour $x = \frac{1}{n}$ et $y = \frac{1}{n+1}$, on a $|f(x) - f(y)| = 1$ alors que $|x - y| = \frac{1}{n(n+1)}$, si bien qu'aucun $k$ fixé ne vérifie $1 \leq \frac{k}{n(n+1)}$ pour tout $n$.
À retenir : mettre au même dénominateur fait sortir $x - y$ ; la constante de Lipschitz est une borne du cofacteur sur l'intervalle, et c'est l'intervalle qui décide.

Ligne fautive : « $|x^2 - y^2| = |x + y|\,|x - y| \leq k|x - y|$ avec $k = |x + y|$, donc $x \mapsto x^2$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. »
La constante $k$ doit être choisie avant $x$ et $y$ et valoir pour tous les couples (le $\exists k$ précède le $\forall (x,y)$) ; ici $k = |x + y|$ change avec les points et n'est pas majoré sur $\mathbb{R}$. Contre-exemple : sur $\mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$ n'est pas lipschitzienne, car avec $x = n$ et $y = n + 1$, $|x^2 - y^2| = 2n + 1$ dépasse tout $k$ fixé à partir d'un certain rang, alors que $|x - y| = 1$.
Version correcte : sur un intervalle borné, majorer le cofacteur par une vraie constante : sur $[-A,A]$, $|x + y| \leq 2A$, donc $x \mapsto x^2$ est $2A$-lipschitzienne sur $[-A,A]$. Sur $\mathbb{R}$, conclure qu'elle ne l'est pas, avec la méthode « Montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne ».

Quand l'utiliser : la fonction a une « pente infinie » quelque part (tangente verticale, comme $\sqrt{x}$ en $0$) ou une pente non bornée à l'infini ($x^2$, $e^x$ sur $\mathbb{R}$) ; ou bien l'étape 3) de la méthode précédente a échoué.
1) Écrire la négation avec ses quantificateurs (thème Nier une proposition) : $\forall k \geq 0,\ \exists (x,y) \in I^2,\ |f(x)-f(y)| > k|x-y|$. Il s'agit d'exhiber des taux d'accroissement aussi grands que l'on veut.
2) Choisir au brouillon deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ de points de $I$ avec $x_n \neq y_n$ et $\frac{|f(x_n) - f(y_n)|}{|x_n - y_n|} \to +\infty$. Le plus simple est souvent $y_n$ fixe ($y_n = 0$ pour $\sqrt{x}$, taux $\frac{1}{\sqrt{x_n}}$) ou $y_n = x_n + 1$ (pour $x^2$, taux $2x_n + 1$).
3) Rédiger : « Soit $k \geq 0$. Comme le taux tend vers $+\infty$, il existe $n$ tel que $\frac{|f(x_n)-f(y_n)|}{|x_n-y_n|} > k$, donc $|f(x_n) - f(y_n)| > k|x_n - y_n|$ : $f$ n'est pas $k$-lipschitzienne. Ceci pour tout $k \geq 0$ : $f$ n'est pas lipschitzienne sur $I$. »
4) Vérifier que les points choisis sont dans $I$ : $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$ mais l'est sur $[1,+\infty[$ (quantité conjuguée, cofacteur $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \frac{1}{2}$). Le défaut est local et l'intervalle fait partie de la conclusion.

Montrer que $f : x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$.
Soit $k \geq 0$. Montrons qu'il existe $x, y \in [0,1]$ tels que $|f(x) - f(y)| > k|x - y|$.
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, posons $x_n = \frac{1}{n^2}$, qui appartient à $[0,1]$, et prenons $y = 0$. Alors $|f(x_n) - f(0)| = \sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n}$ et $|x_n - 0| = \frac{1}{n^2}$.
Par la propriété d'Archimède, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n > k$. Fixons un tel $n$.
Alors $|f(x_n) - f(0)| = \frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n^2} > k \cdot \frac{1}{n^2} = k\,|x_n - 0|$.
Ainsi $f$ n'est pas $k$-lipschitzienne sur $[0,1]$, et ce pour tout $k \geq 0$ : $f$ n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$.
Remarque : $f$ est pourtant continue sur $[0,1]$, et même uniformément continue (théorème de Heine, ou rédaction modèle sur la racine carrée plus loin) : lipschitzienne est strictement plus fort que continue.
À retenir : pour nier « lipschitzienne », on fixe $k$ et l'on trouve un couple qui le bat ; une pente infinie en un point fournit le couple avec ce point fixé et l'autre qui s'en approche.

Soit $f : I \to \mathbb{R}$. On dit que $f$ est uniformément continue sur $I$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall (x,y) \in I^2,\ \big(|x - y| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon\big)$. En français : pour toute précision $\varepsilon$ demandée sur les images, il existe un écart $\delta$ sur les points qui la garantit, le même $\delta$ pour tous les couples de points de $I$. À comparer avec « $f$ est continue sur $I$ », c'est-à-dire continue en chaque point : $\forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall y \in I,\ \big(|x - y| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon\big)$. La seule différence est la place de $\forall x$ : avant $\exists \delta$ dans la continuité (le $\delta$ peut dépendre de $x$), après dans la continuité uniforme (le $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$). Voir le thème Ordre des quantificateurs : intervertir $\forall x$ et $\exists \delta$ change le sens. Remplacer les inégalités larges par des strictes donne une définition équivalente.

La fonction $f$ n'est pas uniformément continue sur $I$ si et seulement si $\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists (x,y) \in I^2,\ |x - y| \leq \delta \ \text{ et }\ |f(x) - f(y)| > \varepsilon$. En français : il existe un écart d'images $\varepsilon$ que l'on retrouve entre des points aussi proches que l'on veut. La négation s'obtient mécaniquement (thème Nier une proposition) : les quantificateurs s'échangent, l'implication « $|x-y| \leq \delta \Rightarrow \ldots$ » devient « $|x - y| \leq \delta$ et non $\ldots$ », l'inégalité large devient stricte. En pratique, on prend $\delta = \frac{1}{n}$ : $f$ n'est pas uniformément continue si et seulement s'il existe $\varepsilon > 0$ et deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ de points de $I$ telles que, pour tout $n \geq 1$, $|x_n - y_n| \leq \frac{1}{n}$ et $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$. C'est cette forme que l'on rédige : deux suites qui se rapprochent, des images qui restent écartées.

Si $f$ est uniformément continue sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$ : le $\delta$ fourni pour $\varepsilon$ convient en particulier en chaque point $x$ (on spécialise la formule en fixant $x$). La réciproque est fausse. Sur $\mathbb{R}$, $f : x \mapsto x^2$ est continue mais pas uniformément continue : pour $x_n = n$ et $y_n = n + \frac{1}{n}$, $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$ tandis que $|f(x_n) - f(y_n)| = 2 + \frac{1}{n^2} > 2$ (rédaction modèle plus loin). Sur $]0,1]$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue et non uniformément continue ($x_n = \frac{1}{n}$, $y_n = \frac{1}{n+1}$, images écartées de $1$), et $x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ est continue, bornée, et non uniformément continue. Ce qui empêche une fonction continue d'être uniformément continue : une pente qui explose à l'infini, des oscillations de plus en plus serrées, ou l'absence de limite finie en une extrémité finie de l'intervalle (propriété de prolongement en fin de thème).

Ligne fautive : « Soit $\varepsilon > 0$. Soit $x \in I$. Comme $f$ est continue en $x$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $y \in I$, $|x - y| \leq \delta$ entraîne $|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$. Donc $f$ est uniformément continue sur $I$. »
Le $\delta$ obtenu dépend de $x$, puisqu'il a été construit après « Soit $x$ » : on a redémontré la continuité en chaque point, pas la continuité uniforme, qui exige un $\delta$ valable avant que $x$ et $y$ soient choisis. Contre-exemple chiffré : pour $f : x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ et $\varepsilon = 1$, au point $x > 0$ le plus grand $\delta$ acceptable vérifie $2x\delta + \delta^2 = 1$ (car $f(x + \delta) - f(x) = 2x\delta + \delta^2$), donc $\delta < \frac{1}{2x}$, qui tend vers $0$ quand $x \to +\infty$ : aucun $\delta > 0$ ne convient pour tous les $x$ à la fois.
Version correcte : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\delta = \ldots$ (une expression de $\varepsilon$ et de constantes seulement). Soient $x, y \in I$ tels que $|x - y| \leq \delta$. Alors $\ldots \leq \varepsilon$. » Le $\delta$ est écrit avant que $x$ et $y$ n'apparaissent, et il ne les mentionne pas.

Ligne fautive : « $f$ est continue et bornée sur $]0,1]$, donc elle est uniformément continue. »
Être bornée ne dit rien sur la vitesse de variation. Contre-exemple : $f : x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ sur $]0,1]$ est continue (composée de fonctions continues), bornée par $1$, et pas uniformément continue : pour $x_n = \frac{1}{2n\pi}$ et $y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$, on a $|x_n - y_n| \to 0$ alors que $f(x_n) = 0$ et $f(y_n) = 1$ (rédaction modèle plus loin). Sur $\mathbb{R}$, $x \mapsto \sin(x^2)$ est du même type : bornée, continue, non uniformément continue.
Ce qui est vrai : sur un segment, continue suffit (théorème de Heine) ; sur $[a,+\infty[$, sur $]-\infty,a]$ ou sur $\mathbb{R}$, continue avec des limites finies aux infinis suffit (l'intervalle doit contenir son extrémité finie : sur $]0,+\infty[$, $x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ a la limite finie $0$ en $+\infty$ et n'est pas uniformément continue) ; sur $\mathbb{R}$, continue et périodique suffit ; lipschitzienne suffit. « Bornée » n'apparaît dans aucun de ces énoncés comme hypothèse.
Version correcte : citer l'un de ces théorèmes avec ses hypothèses exactes, ou démontrer la continuité uniforme avec la définition.

Si $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$, alors $f$ est uniformément continue sur $I$. Preuve, qui tient en trois lignes et vaut d'être sue : soit $\varepsilon > 0$ ; si $k = 0$, $f$ est constante et tout $\delta > 0$ convient ; sinon on pose $\delta = \frac{\varepsilon}{k} > 0$ ; soient $x, y \in I$ avec $|x - y| \leq \delta$ ; alors $|f(x) - f(y)| \leq k|x - y| \leq k\delta = \varepsilon$. Le $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$ et de $k$, pas de $x$. La réciproque est fausse : $x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0,1]$ (théorème de Heine, ou directement par $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x - y|}$) et n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$. On a donc la chaîne lipschitzienne $\Rightarrow$ uniformément continue $\Rightarrow$ continue, dont aucune flèche ne se renverse.