Suites récurrentes linéaires

Soient $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$. Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants (pour le couple $(a, b)$) si $\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$. La relation est linéaire (aucun produit, aucun carré, aucune fonction des termes), homogène (aucun terme ajouté qui ne dépende pas de la suite), d'ordre 2 (chaque terme dépend des deux précédents) et à coefficients constants ($a$ et $b$ ne dépendent pas de $n$). On note $\mathcal{S}$ l'ensemble de ces suites. L'hypothèse $b \neq 0$ écarte le cas dégénéré $u_{n+2} = a u_{n+1}$, où la suite est géométrique à partir du rang $1$. Une relation écrite $u_{n+2} + \alpha u_{n+1} + \beta u_n = 0$ est de ce type, avec $a = -\alpha$ et $b = -\beta$.

Relation de récurrence : l'égalité $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ ; elle ne définit pas une suite, mais une famille de suites. Conditions initiales : les valeurs $u_0$ et $u_1$ ; la relation et les deux conditions initiales déterminent une suite et une seule. Solution de la relation : une suite qui la vérifie pour tout $n$ ; solution générale : l'expression, comme $\lambda r_1^n + \mu r_2^n$, qui décrit toutes les solutions quand $\lambda$ et $\mu$ parcourent $\mathbb{K}$. Équation caractéristique : l'équation $r^2 = a r + b$ d'inconnue $r \in \mathbb{K}$ ; ses solutions sont les racines caractéristiques, simples ou double. Second membre : un terme $c$ ajouté à droite de la relation ; celle-ci n'est plus homogène et ses solutions ne forment plus un espace vectoriel. Ordre $p$ : chaque terme dépend des $p$ précédents ; il faut alors $p$ conditions initiales.

Propriété : soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$ et $(\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2$. Il existe une unique suite $u \in \mathcal{S}$ telle que $u_0 = \alpha$ et $u_1 = \beta$. L'existence est la définition par récurrence : on pose $u_0 = \alpha$, $u_1 = \beta$, puis chaque $u_{n+2}$ est calculé à partir de $u_{n+1}$ et $u_n$ (thème Définir un objet par récurrence du bloc Fondamental). L'unicité se démontre par récurrence double : si $u$ et $v$ sont dans $\mathcal{S}$ et coïncident aux rangs $0$ et $1$, la propriété « $u_n = v_n$ et $u_{n+1} = v_{n+1}$ » est vraie au rang $0$ et héréditaire, puisque $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n = a v_{n+1} + b v_n = v_{n+2}$. Conséquence utilisée sans cesse dans ce thème : deux solutions qui ont les mêmes deux premiers termes sont égales.

Propriété : $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ : la suite nulle est dans $\mathcal{S}$ et, si $u, v \in \mathcal{S}$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $\lambda u + v \in \mathcal{S}$, car $\lambda u_{n+2} + v_{n+2} = a(\lambda u_{n+1} + v_{n+1}) + b(\lambda u_n + v_n)$ pour tout $n$. Lemme de transfert : pour $v, w \in \mathcal{S}$, la famille $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$ si et seulement si $v_0 w_1 - v_1 w_0 \neq 0$, c'est-à-dire si et seulement si les couples $(v_0, v_1)$ et $(w_0, w_1)$ ne sont pas colinéaires dans $\mathbb{K}^2$. En particulier $\dim \mathcal{S} = 2$. Ce lemme ramène chacun des trois théorèmes qui suivent à deux vérifications : les deux suites candidates sont dans $\mathcal{S}$, et leurs deux premiers termes ne sont pas proportionnels.

Soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$, $\mathcal{S}$ l'ensemble des suites $u \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ telles que $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $v, w \in \mathcal{S}$. Montrer que $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$ si et seulement si $v_0 w_1 - v_1 w_0 \neq 0$. En déduire $\dim \mathcal{S} = 2$.
Posons $D = v_0 w_1 - v_1 w_0$.
Étape 1 : pour $u \in \mathcal{S}$ et $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, on a $u = \lambda v + \mu w$ si et seulement si $u_0 = \lambda v_0 + \mu w_0$ et $u_1 = \lambda v_1 + \mu w_1$.
Le sens direct s'obtient en lisant l'égalité de suites aux rangs $0$ et $1$.
Réciproquement, supposons les deux égalités. La suite $\lambda v + \mu w$ appartient à $\mathcal{S}$, qui est un sous-espace vectoriel, et elle a les mêmes termes de rangs $0$ et $1$ que $u$ ; d'après l'unicité de la solution à conditions initiales données, $\lambda v + \mu w = u$.
Étape 2 : supposons $D \neq 0$ et montrons que $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$.
Soit $u \in \mathcal{S}$. D'après l'étape 1, l'égalité $u = \lambda v + \mu w$ équivaut au système $\lambda v_0 + \mu w_0 = u_0$ et $\lambda v_1 + \mu w_1 = u_1$.
Si $(\lambda, \mu)$ est solution, en multipliant la première équation par $w_1$, la seconde par $w_0$ et en soustrayant, on obtient $\lambda D = u_0 w_1 - u_1 w_0$ ; de même, en multipliant la première par $v_1$, la seconde par $v_0$ et en soustrayant, $\mu D = v_0 u_1 - v_1 u_0$.
Comme $D \neq 0$, le système a au plus une solution, $\lambda = \frac{u_0 w_1 - u_1 w_0}{D}$ et $\mu = \frac{v_0 u_1 - v_1 u_0}{D}$.
Ce couple convient : $\lambda v_0 + \mu w_0 = \frac{u_0 w_1 v_0 - u_1 w_0 v_0 + v_0 u_1 w_0 - v_1 u_0 w_0}{D} = \frac{u_0 (v_0 w_1 - v_1 w_0)}{D} = u_0$, et le même calcul donne $\lambda v_1 + \mu w_1 = u_1$.
Tout $u \in \mathcal{S}$ s'écrit donc de façon unique $\lambda v + \mu w$ : la famille $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$.
Étape 3 : supposons $D = 0$ et montrons que $(v, w)$ n'est pas une base.
Si $(v_0, v_1) = (0, 0)$, alors $v$ a les mêmes deux premiers termes que la suite nulle, qui est dans $\mathcal{S}$ ; par unicité, $v$ est la suite nulle, et une famille qui contient le vecteur nul est liée.
Sinon, l'un des deux termes $v_0$, $v_1$ est non nul ; supposons $v_0 \neq 0$, le cas $v_1 \neq 0$ se traitant de la même façon. Posons $t = \frac{w_0}{v_0}$. Alors $t v_0 = w_0$ et, comme $v_0 w_1 = v_1 w_0$, on a $t v_1 = \frac{w_0 v_1}{v_0} = \frac{v_0 w_1}{v_0} = w_1$.
La suite $t v$ est dans $\mathcal{S}$ et a les mêmes deux premiers termes que $w$, donc $w = t v$ par unicité : la famille $(v, w)$ est liée et n'est pas une base.
Conclusion : $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$ si et seulement si $v_0 w_1 - v_1 w_0 \neq 0$.
Enfin, soient $e$ la suite de $\mathcal{S}$ de conditions initiales $(1, 0)$ et $f$ celle de conditions initiales $(0, 1)$ ; elles existent d'après la propriété d'existence. On a $e_0 f_1 - e_1 f_0 = 1 \neq 0$, donc $(e, f)$ est une base de $\mathcal{S}$ et $\dim \mathcal{S} = 2$.
À retenir : dans $\mathcal{S}$, toute question de base se transporte sur les couples de conditions initiales, grâce à l'unicité de la solution à conditions initiales données.

L'équation caractéristique de la relation $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ est l'équation $r^2 = a r + b$ d'inconnue $r \in \mathbb{K}$, c'est-à-dire $r^2 - a r - b = 0$ ; le polynôme $X^2 - aX - b$ est le polynôme caractéristique, et $\Delta = a^2 + 4b$ son discriminant. Sur $\mathbb{C}$, l'équation a deux racines distinctes si $\Delta \neq 0$ et une racine double $r_0 = \frac{a}{2}$ si $\Delta = 0$ (thème Nombres complexes : forme algébrique). Sur $\mathbb{R}$, avec $a$ et $b$ réels, elle a deux racines réelles distinctes si $\Delta > 0$, une racine double réelle si $\Delta = 0$, et deux racines complexes conjuguées non réelles si $\Delta < 0$. Aucune racine n'est nulle, car $r = 0$ donnerait $b = 0$. La somme des racines vaut $a$ et leur produit vaut $-b$.

Propriété : soit $r \in \mathbb{K}$. La suite géométrique $(r^n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si $r$ est racine de l'équation caractéristique. Démonstration : $(r^n)$ est dans $\mathcal{S}$ si et seulement si, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $r^{n+2} = a r^{n+1} + b r^n$, soit $r^n (r^2 - a r - b) = 0$. Si $r^2 - a r - b = 0$, c'est vrai pour tout $n$. Sinon, l'égalité au rang $n = 0$ s'écrit $r^2 - a r - b = 0$, puisque $r^0 = 1$ : elle est fausse. C'est ce calcul qui explique l'équation caractéristique : on cherche les solutions géométriques, et l'on en trouve deux (ou une seule, double) dès que l'équation a ses racines dans $\mathbb{K}$ ; le lemme de transfert les complète alors en une base. Quand $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et $\Delta < 0$, aucune suite géométrique réelle n'est solution : c'est le passage par $\mathbb{C}$, puis les parties réelle et imaginaire, qui fournissent la base.

Ligne fautive : pour la relation $u_{n+2} + 3u_{n+1} - 4u_n = 0$, « l'équation caractéristique est $r^2 - 3r + 4 = 0$, de discriminant $-7 < 0$ ».
Les signes ont été changés comme si l'on passait les termes de l'autre côté, sans le faire vraiment. La relation s'écrit $u_{n+2} = -3u_{n+1} + 4u_n$, donc $a = -3$ et $b = 4$, et l'équation caractéristique est $r^2 = -3r + 4$, soit $r^2 + 3r - 4 = 0$, de racines $1$ et $-4$. Avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$, la suite commence par $0, 1, -3, 13$ et son terme général est $u_n = \frac{1 - (-4)^n}{5}$ ; la forme fautive, à racines complexes de module $2$, ne peut pas produire ces valeurs.
Version correcte, et le réflexe qui évite l'erreur : on remplace $u_{n+k}$ par $r^k$ dans la relation telle qu'elle est écrite. Ici, $r^2 + 3r - 4 = 0$ directement, sans rien déplacer. Contrôle : le produit des racines vaut $-b$, l'opposé du coefficient de $u_n$ quand la relation est écrite $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ ; ici $1 \times (-4) = -4 = -b$.

Théorème : soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$. Si l'équation caractéristique $r^2 = a r + b$ admet deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ dans $\mathbb{K}$, alors $\mathcal{S}$ est l'ensemble des suites $(\lambda r_1^n + \mu r_2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, et pour chaque $u \in \mathcal{S}$ le couple $(\lambda, \mu)$ est unique, déterminé par $u_0 = \lambda + \mu$ et $u_1 = \lambda r_1 + \mu r_2$. Autrement dit, $\big((r_1^n), (r_2^n)\big)$ est une base de $\mathcal{S}$. Ce cas couvre $\Delta > 0$ sur $\mathbb{R}$ et tout $\Delta \neq 0$ sur $\mathbb{C}$. C'est l'hypothèse $r_1 \neq r_2$ qui porte la conclusion : elle garantit que les couples $(1, r_1)$ et $(1, r_2)$ ne sont pas proportionnels. L'hypothèse $b \neq 0$ est, elle, la convention du thème : elle assure seulement qu'aucune racine n'est nulle.

Soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$, et $r_1 \neq r_2$ les deux racines dans $\mathbb{K}$ de l'équation $r^2 = a r + b$. Montrer que les suites de $\mathcal{S}$ sont exactement les suites $(\lambda r_1^n + \mu r_2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, le couple étant unique.
Notons $v = (r_1^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $w = (r_2^n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Comme $r_1$ et $r_2$ sont racines de l'équation caractéristique, les suites $v$ et $w$ appartiennent à $\mathcal{S}$, d'après la propriété sur les suites géométriques solutions.
Leurs deux premiers termes sont $(v_0, v_1) = (1, r_1)$ et $(w_0, w_1) = (1, r_2)$, donc $v_0 w_1 - v_1 w_0 = r_2 - r_1$.
Par hypothèse $r_1 \neq r_2$, donc $r_2 - r_1 \neq 0$.
D'après le lemme de transfert, $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$.
Ainsi toute suite $u \in \mathcal{S}$ s'écrit de façon unique $u = \lambda v + \mu w$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, c'est-à-dire $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Réciproquement, toute suite de cette forme est dans $\mathcal{S}$, sous-espace vectoriel qui contient $v$ et $w$.
En lisant l'égalité aux rangs $0$ et $1$, on obtient $\lambda + \mu = u_0$ et $\lambda r_1 + \mu r_2 = u_1$.
À retenir : une fois le lemme de transfert acquis, le théorème tient en deux vérifications, l'appartenance à $\mathcal{S}$ et la non-proportionnalité des couples $(1, r_1)$ et $(1, r_2)$.

Théorème : soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$. Si l'équation caractéristique admet une racine double $r_0$, c'est-à-dire si $\Delta = a^2 + 4b = 0$, alors $r_0 = \frac{a}{2}$, $b = -r_0^2$, et $\mathcal{S}$ est l'ensemble des suites $\big((\lambda + \mu n) r_0^n\big)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, le couple étant unique et donné par $u_0 = \lambda$ et $u_1 = (\lambda + \mu) r_0$. Autrement dit, $\big((r_0^n), (n r_0^n)\big)$ est une base de $\mathcal{S}$. La seconde suite remplace la racine manquante : c'est le facteur $n$, et non une seconde constante devant $r_0^n$, qui fournit la deuxième dimension.

Soient $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ avec $b \neq 0$ et $a^2 + 4b = 0$, et $r_0 = \frac{a}{2}$. Montrer que les suites de $\mathcal{S}$ sont exactement les suites $\big((\lambda + \mu n) r_0^n\big)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, le couple étant unique.
Le discriminant de $r^2 - a r - b$ est nul, donc $r_0 = \frac{a}{2}$ en est la racine double : $r_0^2 - a r_0 - b = 0$, et $a = 2 r_0$.
Comme $b = r_0^2 - a r_0 = r_0^2 - 2 r_0^2 = -r_0^2$ et $b \neq 0$, on a $r_0 \neq 0$.
Notons $v = (r_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $w = (n r_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$.
La suite $v$ est dans $\mathcal{S}$, car $r_0$ est racine de l'équation caractéristique.
Montrons que $w \in \mathcal{S}$. Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $a w_{n+1} + b w_n = a (n+1) r_0^{n+1} + b n r_0^n = r_0^n \big( a (n+1) r_0 + b n \big)$.
Or $a (n+1) r_0 + b n = n (a r_0 + b) + a r_0 = n r_0^2 + 2 r_0^2 = (n + 2) r_0^2$, en utilisant $a r_0 + b = r_0^2$ puis $a = 2 r_0$.
Donc $a w_{n+1} + b w_n = (n + 2) r_0^{n+2} = w_{n+2}$. Ceci valant pour tout $n$, la suite $w$ est dans $\mathcal{S}$.
Les deux premiers termes sont $(v_0, v_1) = (1, r_0)$ et $(w_0, w_1) = (0, r_0)$, donc $v_0 w_1 - v_1 w_0 = r_0 \neq 0$.
D'après le lemme de transfert, $(v, w)$ est une base de $\mathcal{S}$ : toute suite $u \in \mathcal{S}$ s'écrit de façon unique $u_n = \lambda r_0^n + \mu n r_0^n = (\lambda + \mu n) r_0^n$, et réciproquement toute suite de cette forme est dans $\mathcal{S}$.
Aux rangs $0$ et $1$ : $u_0 = \lambda$ et $u_1 = (\lambda + \mu) r_0$.
À retenir : dans le cas double, on vérifie à la main que $(n r_0^n)$ est solution, en factorisant par $r_0^n$ et en utilisant les deux relations $r_0^2 = a r_0 + b$ et $a = 2 r_0$.

Ligne fautive : pour $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$, « $\Delta = 0$, $r_0 = 2$, donc $u_n = \lambda 2^n + \mu 2^n$ ».
Cette expression vaut $(\lambda + \mu) 2^n$ : une seule constante en réalité, une seule suite géométrique, alors que $\mathcal{S}$ est de dimension $2$. Elle ne peut pas satisfaire des conditions initiales quelconques : avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 6$, il faudrait $\lambda + \mu = 1$ et $2(\lambda + \mu) = 6$, ce qui est contradictoire. Pourtant la suite existe et commence par $1, 6, 20, 56$.
Version correcte : « $\Delta = 0$, racine double $r_0 = 2$, donc il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = (\lambda + \mu n) 2^n$. » Avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 6$ : $\lambda = 1$ et $2(1 + \mu) = 6$, d'où $\mu = 2$ et $u_n = (1 + 2n) 2^n$ ; on vérifie $u_2 = 5 \times 4 = 20$.

Théorème : soient $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ avec $\Delta = a^2 + 4b < 0$ (ce qui impose $b < 0$, donc $b \neq 0$). Les racines de $r^2 = a r + b$ sont deux complexes conjugués non réels ; on note $\omega = \rho e^{i\theta}$ celle de partie imaginaire strictement positive, de module $\rho > 0$ et d'argument $\theta \in \, ]0, \pi[$, l'autre étant $\bar{\omega} = \rho e^{-i\theta}$. Alors l'ensemble $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ des suites réelles solutions est l'ensemble des suites $\big( \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)) \big)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, le couple étant unique et donné par $u_0 = \lambda$ et $u_1 = \rho (\lambda \cos\theta + \mu \sin\theta)$. En pratique, $\rho = \sqrt{-b}$ (le produit $\omega \bar{\omega} = \rho^2$ vaut $-b$) et $\cos\theta = \frac{a}{2\rho}$ (la somme $\omega + \bar{\omega} = 2 \rho \cos\theta$ vaut $a$). La lettre $r$ reste réservée à l'inconnue de l'équation caractéristique et à ses racines ; le module se note $\rho$. Les suites complexes solutions relèvent, elles, du cas des racines distinctes : $\alpha \omega^n + \beta \bar{\omega}^n$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2$.

Soient $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a^2 + 4b < 0$, et $\omega = \rho e^{i\theta}$, de module $\rho > 0$ et d'argument $\theta \in \, ]0, \pi[$, la racine de partie imaginaire strictement positive de $r^2 = a r + b$. Montrer que les suites réelles solutions sont exactement les suites $\big( \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)) \big)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, le couple étant unique.
Comme $\Delta < 0$, on a $4b < -a^2 \leq 0$, donc $b < 0$ et en particulier $b \neq 0$ : on est dans le cadre du thème, avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, et l'ensemble $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ des suites réelles solutions est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ auquel le lemme de transfert s'applique.
Le trinôme $r^2 - a r - b$ est à coefficients réels et de discriminant strictement négatif : ses racines sont $\omega$ et $\bar{\omega}$, non réelles (thème Nombres complexes : forme algébrique). Comme $\omega$ n'est pas réel, $\sin\theta \neq 0$.
Posons, pour $n \in \mathbb{N}$, $c_n = \rho^n \cos(n\theta)$ et $s_n = \rho^n \sin(n\theta)$. D'après la formule de Moivre (thème Exponentielle complexe et racines n-ièmes), $\omega^n = \rho^n e^{i n \theta} = c_n + i s_n$, donc $c_n = \operatorname{Re}(\omega^n)$ et $s_n = \operatorname{Im}(\omega^n)$.
La suite complexe $(\omega^n)$ est solution, car $\omega$ est racine de l'équation caractéristique : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\omega^{n+2} = a \omega^{n+1} + b \omega^n$.
Comme $a$ et $b$ sont réels, la partie réelle d'une combinaison à coefficients réels est la combinaison des parties réelles : $c_{n+2} = \operatorname{Re}(\omega^{n+2}) = a \operatorname{Re}(\omega^{n+1}) + b \operatorname{Re}(\omega^n) = a c_{n+1} + b c_n$. Donc $c \in \mathcal{S}_{\mathbb{R}}$, et de même $s \in \mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ en prenant les parties imaginaires.
Leurs deux premiers termes sont $(c_0, c_1) = (1, \rho \cos\theta)$ et $(s_0, s_1) = (0, \rho \sin\theta)$, donc $c_0 s_1 - c_1 s_0 = \rho \sin\theta$.
Or $\rho > 0$ et $\sin\theta \neq 0$, donc $\rho \sin\theta \neq 0$.
D'après le lemme de transfert, $(c, s)$ est une base de $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ : toute suite réelle solution s'écrit de façon unique $u_n = \lambda c_n + \mu s_n = \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, et réciproquement toute suite de cette forme est solution.
Aux rangs $0$ et $1$ : $u_0 = \lambda$ et $u_1 = \rho (\lambda \cos\theta + \mu \sin\theta)$.
À retenir : les solutions réelles sont les parties réelle et imaginaire de la solution complexe $(\omega^n)$, et c'est $\sin\theta \neq 0$, c'est-à-dire « $\omega$ n'est pas réel », qui en fait une base.

Ligne fautive : pour $u_{n+2} = 2u_{n+1} - 2u_n$, « les racines sont $1 \pm i$, d'arguments $\pm \frac{\pi}{4}$, donc $u_n = \lambda \cos\frac{n\pi}{4} + \mu \sin\frac{n\pi}{4}$ ».
Cette forme est bornée par $|\lambda| + |\mu|$, alors que la suite ne l'est pas : avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$, la relation donne $u_2 = 2$, $u_3 = 2$, $u_4 = 0$, $u_5 = -4$, $u_6 = -8$, $u_7 = -8$, $u_8 = 0$, $u_9 = 16$. Le module des racines, $|1 + i| = \sqrt{2} \neq 1$, a été perdu : la forme $\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)$ n'est correcte que lorsque les racines sont de module $1$, c'est-à-dire lorsque $b = -1$.
Version correcte : « $1 + i = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$, donc il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = (\sqrt{2})^n \big( \lambda \cos\frac{n\pi}{4} + \mu \sin\frac{n\pi}{4} \big)$. » Avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ : $\lambda = 0$ et $\sqrt{2} \times \mu \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$, d'où $\mu = 1$ et $u_n = (\sqrt{2})^n \sin\frac{n\pi}{4}$ ; on vérifie $u_5 = 4\sqrt{2} \times \big(-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) = -4$. Réflexe : le module se lit directement sur les coefficients, $\rho = \sqrt{-b}$, ici $\sqrt{2}$.

Pour $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ avec $b \neq 0$ : équation caractéristique $r^2 - a r - b = 0$, discriminant $\Delta = a^2 + 4b$. Sur $\mathbb{C}$ il n'y a que deux cas, $\Delta \neq 0$ et $\Delta = 0$ ; sur $\mathbb{R}$ le cas $\Delta < 0$ se traite par les parties réelle et imaginaire de $\omega^n$, où $\omega = \rho e^{i\theta}$ est la racine de partie imaginaire strictement positive et $\rho = |\omega|$ son module. Les constantes $\lambda$ et $\mu$ se déterminent toujours par le système formé aux rangs $0$ et $1$, ou sur deux rangs consécutifs quelconques. Dans le cas complexe, $\rho = \sqrt{-b}$ et $\cos\theta = \frac{a}{2\rho}$.

Quand l'utiliser : l'énoncé donne une relation $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$, ou une forme équivalente comme $u_{n+1} = 3u_n - 2u_{n-1}$ pour $n \geq 1$ ou $2u_{n+2} - 3u_{n+1} + u_n = 0$, avec deux termes consécutifs, et demande $u_n$ « en fonction de $n$ », une limite, un signe ou une périodicité.
1) Mettre la relation sous la forme $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$, valable pour tout $n \in \mathbb{N}$ : diviser par le coefficient de $u_{n+2}$, décaler l'indice si besoin, et vérifier qu'il n'y a pas de second membre (sinon, méthode suivante). Écrire : « La suite $(u_n)$ est récurrente linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, d'équation caractéristique $r^2 = a r + b$. »
2) Résoudre l'équation caractéristique : calculer $\Delta = a^2 + 4b$ et les racines, en cherchant d'abord une racine évidente ($1$ si $1 = a + b$, $-1$ si $1 = -a + b$), l'autre s'obtenant par le produit $-b$.
3) Citer le théorème du cas rencontré et écrire la forme du terme général : « D'après le cours, il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ », ou $(\lambda + \mu n) r_0^n$, ou $\rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))$.
4) Écrire le système aux rangs $0$ et $1$ (ou aux deux rangs consécutifs connus : ils déterminent aussi $\lambda$ et $\mu$) et le résoudre.
5) Conclure « Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \ldots$ », puis vérifier la formule sur $u_2$, calculé par la relation d'une part, par la formule d'autre part.

Soit $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$.
La suite $(F_n)$ est récurrente linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, avec $a = 1$ et $b = 1 \neq 0$ ; son équation caractéristique est $r^2 = r + 1$, soit $r^2 - r - 1 = 0$.
Son discriminant est $\Delta = 1 + 4 = 5 > 0$ : elle admet deux racines réelles distinctes, $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
D'après le théorème du cas des racines distinctes, il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $F_n = \lambda \varphi^n + \mu \psi^n$.
Aux rangs $0$ et $1$ : $\lambda + \mu = F_0 = 0$ et $\lambda \varphi + \mu \psi = F_1 = 1$.
La première équation donne $\mu = -\lambda$ ; la seconde devient $\lambda (\varphi - \psi) = 1$, et $\varphi - \psi = \sqrt{5}$, donc $\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\mu = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \Big( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Big)^n - \Big( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Big)^n \right)$.
Vérification : $F_2 = F_1 + F_0 = 1$, et la formule donne $\frac{1}{\sqrt{5}} (\varphi^2 - \psi^2) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\varphi - \psi)(\varphi + \psi) = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5} \times 1 = 1$.
À retenir : on cite le théorème avant d'écrire la forme du terme général, on résout le système aux rangs $0$ et $1$, et l'on vérifie sur $F_2$.