Pour θ∈R, on pose eiθ=cosθ+isinθ : c'est un complexe de module 1, dont le conjugué est aussi l'inverse. Les formules d'addition du cosinus et du sinus donnent la relation fonctionnelleei(a+b)=eiaeib : l'application θ↦eiθtransforme les sommes en produits, atteint tout complexe de module 1 et vaut 1exactement sur 2πZ (dans le vocabulaire des groupes : un morphisme surjectif de (R,+) sur (U,×), de noyau 2πZ). En particulier, deux exponentielles imaginaires sont égales si et seulement si leurs angles sont congrus modulo2π.
eiθ=cosθ+isinθ
définition, pour un angle réel
ei(a+b)=eiaeib
une somme d'angles devient un produit
eiθ=e−iθ=eiθ1
conjuguer revient à inverser, le module valant un
eia=eib⟺a≡b[2π]
égalité à un nombre entier de tours près
Propriété
Formules d'Euler et formule de Moivre
Pour tout réel θ, les formules d'Euler écrivent le cosinus et le sinus à l'aide des deux exponentielles conjuguées eiθ et e−iθ. La formule de Moivre vaut pour tout réel θ et tout entier relatifn : récurrence sur la relation fonctionnelle pour n≥0, passage à l'inverse pour n<0. Euler sert à linéariser (des puissances vers des angles multiples), Moivre à faire le chemin inverse.
cosθ=2eiθ+e−iθ
cosinus : demi-somme des deux exponentielles
sinθ=2ieiθ−e−iθ
sinus : demi-différence, avec le facteur imaginaire au dénominateur
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
Moivre, pour un exposant entier relatif
einθ+e−inθ=2cos(nθ),einθ−e−inθ=2isin(nθ)
regroupement de deux termes conjugués
Définition
Forme trigonométrique et argument
Tout complexe non nulz s'écrit z=reiθ avec r>0 et θ réel : c'est une forme trigonométrique (ou exponentielle) de z. Nécessairement r=∣z∣, et le réel θ, appelé un argument de z, n'est déterminé qu'à 2π près ; l'unique argument situé dans ]−π,π] est l'argument principal, noté Argz. Le complexe 0 n'a pas d'argument. Pour z=a+ib, un argument est caractérisé par deux conditions, cosθ=a/r et sinθ=b/r : une seule ne suffit pas.
z=reiθ,r=∣z∣>0
forme trigonométrique d'un complexe non nul
reiθ=r′eiθ′⟺(r=r′ et θ≡θ′[2π])
identification, pour des modules strictement positifs
cosθ=ra,sinθ=rb
les deux équations qui fixent l'argument
Propriété
Argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
Pour z et z′non nuls et n∈Z, l'argument d'un produit est la somme des arguments, celui d'un quotient leur différence, celui de zn vaut n fois celui de z, et le conjugué a l'argument opposé. Ces égalités ont lieu modulo2π ; elles découlent de reiθ⋅r′eiθ′=rr′ei(θ+θ′). Réflexe : pour l'argument d'une expression faite de produits et de quotients, on met chaque facteur sous forme trigonométrique au lieu de tout développer.
arg(zz′)≡argz+argz′[2π]
produit : on ajoute les arguments
arg(z′z)≡argz−argz′[2π]
quotient : on les soustrait
arg(zn)≡nargz[2π]
puissance d'exposant entier relatif
arg(z)≡−argz[2π]
le conjugué a l'argument opposé
Piège
Additionner des arguments principaux
Les égalités d'arguments sont des congruences : pour l'argument principal, Arg(zz′)=Argz+Argz′ est faux en général. Contre-exemple : z=z′=e3iπ/4 ont pour argument principal 3π/4, mais zz′=e3iπ/2=−i a pour argument principal −π/2, et non 3π/2. On écrit donc ≡ avec [2π], puis on ramène dans ]−π,π] seulement si l'énoncé le demande.
Arg(zz′)≡Argz+Argz′[2π]
la seule relation vraie : une congruence
Arg(e3iπ/4⋅e3iπ/4)=−2π
le contre-exemple : la somme sort de l'intervalle
Méthode
Technique de l'angle moitié
Pour mettre eia+eib ou eia−eib sous forme trigonométrique : 1) on factorise par l'exponentielle de l'angle moyen, ei(a+b)/2 ; 2) il reste ei(a−b)/2±e−i(a−b)/2, que les formules d'Euler changent en 2cos2a−b ou 2isin2a−b ; 3) on étudie le signe du réel obtenu avant de lire module et argument : s'il est nul (pour 1+eiθ, quand θ≡π[2π]), le complexe est nul et n'a pas d'argument ; s'il est négatif, on fait passer le signe dans l'argument (piège suivant). Sur la copie : « 1+eiθ=2cos(θ/2)eiθ/2, et si cos(θ/2)>0, le module est 2cos(θ/2) et θ/2 est un argument ».
eia+eib=2cos(2a−b)ei2a+b
somme : un cosinus devant l'angle moyen
eia−eib=2isin(2a−b)ei2a+b
différence : un sinus et un facteur imaginaire
1+eiθ=2cos(2θ)eiθ/2,1−eiθ=−2isin(2θ)eiθ/2
les deux cas les plus fréquents
Piège
Un facteur négatif n'est pas un module
Dans z=ρeiφ, le réel ρ est le module et φ un argument seulement siρ>0. Contre-exemple : pour θ=4π/3, l'angle moitié donne 1+eiθ=2cos(2π/3)e2iπ/3=−e2iπ/3 ; le module vaut 1 (et non −1) et un argument est 2π/3+π, soit −π/3 ; en effet 1+e4iπ/3=21−23i. Quand ρ<0, on fait passer le signe dans l'argument.
ρ<0⟹ρeiφ=∣ρ∣ei(φ+π)
le signe moins ajoute un demi-tour à l'argument
1+e4iπ/3=−e2iπ/3=e−iπ/3
le contre-exemple, écrit correctement
Méthode
Linéariser une puissance de cosinus ou de sinus
Pour écrire cosnx, sinnx ou cospxsinqx comme combinaison de cos(kx) et sin(kx) : 1) on remplace chaque facteur par sa formule d'Euler ; 2) on développe par le binôme de Newton ; 3) on regroupe chaque terme eikx avec son conjugué e−ikx pour faire apparaître 2cos(kx) ou 2isin(kx). Sur la copie, on écrit l'égalité « pour tout réel x » après l'avoir contrôlée en une valeur simple comme x=π/3 ; sans aucune puissance, c'est la forme qu'on sait primitiver terme à terme.
cosnx=2n1k=0∑n(kn)ei(n−2k)x
Euler puis binôme, avant regroupement
cos3x=4cos(3x)+3cosx
cube du cosinus linéarisé
sin3x=43sinx−sin(3x)
cube du sinus linéarisé
Méthode
Exprimer cos(nx) et sin(nx) avec cos x et sin x
C'est le chemin inverse de la linéarisation : 1) la formule de Moivre donne cos(nx)+isin(nx)=(cosx+isinx)n ; 2) on développe par le binôme de Newton ; 3) comme cosx et sinx sont réels, on identifie la partie réelle (termes d'indice pair) et la partie imaginaire (termes d'indice impair) ; 4) pour cos(nx), on remplace sin2x par 1−cos2x et on obtient un polynôme en cosx ; pour sin(nx), la même substitution donne sinx multiplié par un polynôme en cosx. Sur la copie, on conclut par l'identité obtenue « pour tout réel x ».
cos(nx)=0≤2p≤n∑(2pn)(−1)pcosn−2pxsin2px
les termes d'indice pair
sin(nx)=0≤2p+1≤n∑(2p+1n)(−1)pcosn−2p−1xsin2p+1x
les termes d'indice impair
cos(3x)=4cos3x−3cosx,sin(3x)=3sinx−4sin3x
le cas de l'angle triple
Méthode
Calculer une somme de cos(kx) ou de sin(kx)
Pour Cn=∑k=0ncos(kx) et Sn=∑k=0nsin(kx) : 1) on écrit Cn+iSn=∑k=0neikx, somme géométrique de raison eix ; 2) si x∈2πZ, la raison vaut 1, donc Cn=n+1 et Sn=0 : cas à traiter à part ; 3) sinon, on applique la formule géométrique puis l'angle moitié au numérateur et au dénominateur ; 4) on prend partie réelle et partie imaginaire, le quotient sin(x/2)sin((n+1)x/2) étant réel. Sur la copie : « pour x∈/2πZ, Cn=sin(x/2)cos(nx/2)sin((n+1)x/2) ».
raison différente de un : somme géométrique puis angle moitié
k=0∑ncos(kx)=sin(2x)cos(2nx)sin(2(n+1)x)
partie réelle, si x n'est pas un multiple entier de deux pi
k=0∑nsin(kx)=sin(2x)sin(2nx)sin(2(n+1)x)
partie imaginaire, sous la même condition
Définition
Exponentielle d'un nombre complexe
Pour z=a+ib avec a,b réels, on pose ez=eaeib : c'est directement une forme trigonométrique, de module eRez, dont Imz est un argument. La relation ez+z′=ezez′ reste vraie pour tous complexes z,z′, et ez n'est jamais nul. L'application z↦ez est surjective de C sur C∗ : tout w=0 s'écrit ez avec z=ln∣w∣+iθ, où θ est un argument de w (dans le vocabulaire des groupes : un morphisme surjectif de (C,+) sur (C∗,×)). Elle n'est pas injective : ez=ez′ équivaut à z−z′∈2iπZ, ce qui interdit de parler « du » logarithme d'un complexe.
ea+ib=eaeib(a,b∈R)
définition par parties réelle et imaginaire
∣ez∣=eRez,arg(ez)≡Imz[2π]
module et argument se lisent sans calcul
ez=ez′⟺z−z′∈2iπZ
une période imaginaire pure, donc pas d'injectivité
Définition
Racines n-ièmes de l'unité
Pour n∈N∗, les racinesn-ièmes de l'unité sont les complexes z tels que zn=1 ; leur ensemble est noté Un. Il y en a exactementn, deux à deux distinctes : les e2ikπ/n pour 0≤k≤n−1. L'ensemble Un est inclus dans U, stable par produit et par inverse, et formé des puissances de ω=e2iπ/n (dans le vocabulaire des groupes : un sous-groupe de (U,×)). Pour n≥3, leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, dont le point d'affixe 1 est un sommet.
Un={z∈C∣zn=1}={e2ikπ/n∣0≤k≤n−1}
exactement autant de racines que l'ordre, toutes distinctes
ω=e2iπ/n,Un={1,ω,ω2,…,ωn−1}
toutes sont des puissances de la première racine non triviale
U2={1,−1},U4={1,i,−1,−i}
les deux cas qu'on écrit sans calcul
Propriété
Somme des racines n-ièmes de l'unité
Pour n≥2, la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle : c'est une somme géométrique de raison ω=e2iπ/n, avec ω=1 et ωn=1. Plus généralement, pour p∈Z, la somme des ωkp (0≤k≤n−1) vaut n si ndivisep (tous les termes valent 1) et 0 sinon (raison ωp=1). L'hypothèse n≥2 est indispensable : pour n=1, la somme vaut 1.
k=0∑n−1ωk=1−ω1−ωn=0(n≥2)
somme géométrique de raison différente de un
n∣p⟹k=0∑n−1ωkp=n
tous les termes valent un
n∤p⟹k=0∑n−1ωkp=0
raison différente de un, somme nulle
Exemple
Le nombre j et les racines cubiques de l'unité
On note j=e2iπ/3=−21+23i, de sorte que U3={1,j,j2}. On retient j3=1, j2=j=1/j et 1+j+j2=0 ; pour simplifier une puissance de j, on réduit l'exposant modulo 3. Les points d'affixes 1, j et j2 forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
j=e2iπ/3=−21+23i
formes exponentielle et algébrique
j3=1,j2=j=j1
les relations qui simplifient les calculs
1+j+j2=0
somme des racines cubiques de l'unité
Propriété
Racines n-ièmes d'un complexe non nul
Soit n∈N∗ et w=ρeiα un complexe non nul (ρ>0). L'équation zn=w admet exactementn solutions distinctes, les zk=ρ1/nei(α+2kπ)/n pour 0≤k≤n−1 ; pour w=0, seul z=0 convient. Méthode de preuve et de calcul : on pose z=reiθ avec r>0, puis on identifie les formes trigonométriques, rn=ρ et nθ≡α[2π]. Les solutions sont les produits d'une solution z0 par les racines n-ièmes de l'unité ; pour n≥3, leurs images sont les sommets d'un polygone régulier centré en 0, de rayon ρ1/n.
zn=ρeiα⟺∃k∈{0,…,n−1},z=ρ1/neinα+2kπ
les solutions, pour un module strictement positif
rn=ρetnθ≡α[2π]
l'identification en module et en argument
z0n=w=0⟹(zn=w⟺z0z∈Un)
une solution particulière donne toutes les autres
Piège
Diviser une congruence sans diviser le modulo
De nθ≡α[2π] on déduit θ≡α/n[2π/n], et non modulo 2π : diviser par n divise aussi le modulo. Garder [2π] fait perdre n−1 solutions ; par exemple, z2=1 ne donnerait que z=1, alors que −1 convient. Pour la même raison, on n'écrit jamais w1/n pour un complexe w : dans la chaîne 1=11/2=(e2iπ)1/2=eiπ=−1, l'égalité fautive est (e2iπ)1/2=eiπ, car aucune définition de w1/2 ne respecte la règle (ez)1/2=ez/2 (avec z=0 puis z=2iπ, elle imposerait 11/2=1 et 11/2=−1). On parle donc d'une racine n-ième de w ; la notation ρ1/n est réservée au réel ρ>0.
nθ≡α[2π]⟺θ≡nα[n2π]
la division porte aussi sur le modulo
z2=1⟺z∈{−1,1}
le contre-exemple le plus simple
Exercices
Exercice 1Application
Un quotient sous deux formes
On pose a=−6+i2 et b=1−i. 1) Donner le module et un argument de a et de b. 2) En déduire une forme trigonométrique de q=b3a4. 3) Calculer a4 et b3 sous forme algébrique, puis la forme algébrique de q. 4) En déduire les valeurs exactes de cos12π et de sin12π.
Voir le corrigé
1) ∣a∣=6+2=22. Un argument θ de a vérifie cosθ=22−6=−23 et sinθ=222=21, donc θ=65π convient : a=22e5iπ/6. De même ∣b∣=2, et un argument θ′ de b vérifie cosθ′=22 et sinθ′=−22, d'où b=2e−iπ/4. 2) Les complexes a et b sont non nuls, donc les règles sur le module et l'argument d'une puissance et d'un quotient s'appliquent : ∣q∣=(2)3(22)4=2264=162 et argq≡4⋅65π−3⋅(−4π)=310π+43π=1249π[2π]. Comme 1249π=4π+12π, on obtient q=162eiπ/12, qui est bien une forme trigonométrique puisque 162>0. 3) a2=6−2−2i12=4−43i, puis a4=(4−43i)2=16−48−323i=−32−323i. Ensuite b2=−2i et b3=−2i(1−i)=−2−2i. Donc q=−2(1+i)−32(1+3i)=216(1+3i)(1−i)=8(1+3)+8(3−1)i. 4) Les deux écritures de q donnent, en identifiant parties réelles et parties imaginaires (le module, le cosinus et le sinus étant réels) : 162cos12π=8(1+3) et 162sin12π=8(3−1). Ainsi cos12π=221+3=46+2 et sin12π=223−1=46−2.
Exercice 2Application
Racines quatrièmes et équation exponentielle
On pose w=−8+83i. 1) Écrire w sous forme trigonométrique. 2) Résoudre dans C l'équation z4=w ; donner les solutions sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique. 3) Résoudre dans C l'équation ez=w.
Voir le corrigé
1) ∣w∣=81+3=16 et w=16(−21+23i). Un argument α vérifie cosα=−21 et sinα=23, donc α=32π convient et w=16e2iπ/3. 2) Comme w=0, une solution est non nulle et s'écrit z=reiθ avec r>0. Deux formes trigonométriques sont égales si et seulement si les modules sont égaux et les arguments congrus modulo 2π, donc z4=w⟺r4=16 et 4θ≡32π[2π]. Comme r est un réel strictement positif, r=2 ; et θ≡6π[2π]. Les solutions sont donc les 2ei(π/6+kπ/2)=2eiπ/6ik avec k∈Z. Comme i4=1, ce complexe ne dépend que du reste de k modulo 4 : il suffit de prendre k∈{0,1,2,3}. Les angles 6π,32π,67π,35π ainsi obtenus sont deux à deux distincts et tous dans [0,2π[, donc deux à deux non congrus modulo 2π ; les complexes correspondants, de même module 2, sont donc deux à deux distincts. On obtient exactement quatre solutions, zk=2ei(π/6+kπ/2) pour k∈{0,1,2,3} : z0=2eiπ/6=3+i, z1=2e2iπ/3=−1+3i, z2=2e7iπ/6=−3−i, z3=2e5iπ/3=1−3i. Vérification : (3+i)2=2+23i et (2+23i)2=4−12+83i=w. On remarque que zk=ikz0 : les solutions sont z0 multiplié par les racines quatrièmes de l'unité. 3) Écrivons z=x+iy avec x,y réels. Alors ez=exeiy avec ex>0 : c'est une forme trigonométrique, et par unicité du module et de l'argument modulo 2π, ez=16e2iπ/3⟺ex=16 et y≡32π[2π]. Les solutions sont les z=ln16+i(32π+2kπ), k∈Z : il y en a une infinité, ce qui illustre la non-injectivité de l'exponentielle complexe.
Exercice 3Classique
Linéarisation et calcul d'intégrale
1) Linéariser f(x)=cos3xsin2x, c'est-à-dire l'écrire comme combinaison linéaire de fonctions x↦cos(kx). 2) En déduire la valeur de I=∫0π/2cos3xsin2xdx. 3) Retrouver ce résultat en écrivant cos3xsin2x=(sin2x−sin4x)cosx.
Voir le corrigé
1) Soit x réel. Les formules d'Euler donnent cosxsinx=4i(eix+e−ix)(eix−e−ix)=4ie2ix−e−2ix, donc f(x)=cosx(cosxsinx)2=2eix+e−ix⋅−16(e2ix−e−2ix)2. Les exponentielles commutant, (e2ix−e−2ix)2=e4ix−2+e−4ix, et en développant : f(x)=−321(e5ix+e3ix−2eix−2e−ix+e−3ix+e−5ix). On regroupe les termes conjugués grâce à eikx+e−ikx=2cos(kx) : f(x)=−321(2cos(5x)+2cos(3x)−4cosx)=162cosx−cos(3x)−cos(5x). Contrôle en x=3π : f(3π)=81⋅43=323 et 161−(−1)−21=323. 2) La fonction f est continue sur [0,2π] et, par linéarité de l'intégrale, I=161[2sinx−3sin(3x)−5sin(5x)]0π/2. Or sin2π=1, sin23π=−1 et sin25π=1, d'où I=161(2+31−51)=161⋅1532=152. 3) Avec u=sinx, on a u′=cosx, et (sin2x−sin4x)cosx=u′u2−u′u4 admet pour primitive 3sin3x−5sin5x. Donc I=31−51=152, ce qui confirme le calcul.
Exercice 4Classique
Cosinus de l'angle quintuple et valeurs exactes
1) À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos(5x) comme un polynôme en cosx, pour tout réel x. 2) Montrer que cos10π et cos103π sont racines du polynôme P(t)=16t4−20t2+5. 3) En déduire les valeurs exactes de cos10π et de cos103π.
Voir le corrigé
1) Soit x réel ; notons c=cosx et s=sinx. La formule de Moivre (l'exposant 5 est entier) puis le binôme de Newton donnent cos(5x)+isin(5x)=(c+is)5=∑k=05(k5)c5−kiksk. Comme c et s sont réels, la partie réelle est formée des termes d'indice pair (i0=1, i2=−1, i4=1) : cos(5x)=c5−10c3s2+5cs4. On remplace s2 par 1−c2 : cos(5x)=c5−10c3(1−c2)+5c(1−c2)2=16c5−20c3+5c. 2) Pour x=10π, cos(5x)=cos2π=0, donc c=cos10π vérifie c(16c4−20c2+5)=0. Comme 10π∈]0,2π[, on a c>0, d'où P(c)=0. De même, pour x=103π, cos(5x)=cos23π=0 et cos103π>0 car 103π∈]0,2π[, donc P(cos103π)=0. 3) Si P(t)=0, alors u=t2 vérifie 16u2−20u+5=0, équation de discriminant 400−320=80>0 et de racines u±=3220±45=85±5. Les réels cos210π et cos2103π appartiennent donc à {u−,u+}. Le cosinus est strictement décroissant sur [0,2π] et positif, donc cos10π>cos103π>0 : leurs carrés sont distincts, le premier étant le plus grand. Ainsi cos210π=85+5 et cos2103π=85−5, et par positivité : cos10π=85+5=410+25 et cos103π=410−25.
Exercice 5Classique
Sommes de cosinus et de sinus d'angles impairs
Soit n∈N∗ et x∈R. On pose C=∑k=1ncos((2k−1)x) et S=∑k=1nsin((2k−1)x). 1) Calculer C et S lorsque x∈πZ. 2) On suppose x∈/πZ. Calculer C+iS, puis en déduire C et S sous forme factorisée. 3) Application : calculer ∑k=1nsin(2n(2k−1)π).
Voir le corrigé
1) Si x=mπ avec m∈Z, chaque (2k−1)x est un multiple entier de π, donc sin((2k−1)x)=0 et cos((2k−1)x)=(−1)(2k−1)m=(−1)m. Ainsi S=0 et C=(−1)mn. 2) On a C+iS=∑k=1nei(2k−1)x, puis, en posant ℓ=k−1 : C+iS=eix∑ℓ=0n−1(e2ix)ℓ. La raison e2ix est différente de 1 car 2x∈/2πZ, donc la formule de la somme géométrique s'applique : C+iS=eixe2ix−1e2inx−1. Angle moitié : e2inx−1=einx(einx−e−inx)=2isin(nx)einx et e2ix−1=2isin(x)eix, avec sinx=0 puisque x∈/πZ. Donc C+iS=eix⋅2isin(x)eix2isin(nx)einx=sinxsin(nx)einx. Les réels C et S sont la partie réelle et la partie imaginaire de C+iS ; le facteur sinxsin(nx) étant réel, on identifie parties réelles et parties imaginaires : C=sinxsin(nx)cos(nx)=2sinxsin(2nx) et S=sinxsin2(nx). 3) Pour x=2nπ, on a 0<x≤2π, donc x∈/πZ et la question 2 s'applique. Comme sin(nx)=sin2π=1, on obtient ∑k=1nsin(2n(2k−1)π)=sin(2nπ)1. Contrôle pour n=2 : sin4π+sin43π=2=sin(π/4)1.
Exercice 6Approfondissement
Distances entre les sommets d'un polygone régulier
Soit n≥2 et ω=e2iπ/n. Pour 0≤k≤n−1, on note Ak le point d'affixe ωk. 1) Soit p∈Z. Démontrer que ∑k=0n−1ωkp vaut n si n divise p, et 0 sinon. 2) En déduire que ∑k=1n−1A0Ak2=2n. 3) Montrer que pour 0≤k≤n−1, la distance A0Ak vaut 2sinnkπ. 4) En déduire que Ln=∑k=1n−1A0Ak=sin(2nπ)2cos(2nπ). 5) Déterminer la limite de nLn quand n tend vers +∞.
Voir le corrigé
1) Si n∣p, écrivons p=nq avec q∈Z : ωp=e2iqπ=1, donc chacun des n termes vaut 1 et la somme vaut n. Si n∤p, alors np∈/Z, donc n2pπ∈/2πZ et ωp=e2ipπ/n=1. La somme est géométrique de raison ωp=1 : elle vaut 1−ωp1−(ωp)n=1−ωp1−(ωn)p=0, puisque ωn=1. 2) Pour 0≤k≤n−1, on a A0Ak=∣ωk−1∣. Comme ∣ω∣=1, le conjugué de ωk est son inverse ω−k, donc A0Ak2=(ωk−1)(ωk−1)=(ωk−1)(ω−k−1)=2−ωk−ω−k. Le terme d'indice 0 étant nul, on peut sommer de k=0 à n−1 : ∑k=1n−1A0Ak2=2n−∑k=0n−1ωk−∑k=0n−1ω−k. On applique 1) avec p=1 puis avec p=−1 : comme n≥2, l'entier n ne divise ni 1 ni −1, donc ces deux sommes sont nulles et ∑k=1n−1A0Ak2=2n. 3) La distance A0Ak vaut ∣ωk−1∣=∣1−e2ikπ/n∣. Par la technique de l'angle moitié, 1−e2ikπ/n=−2isin(nkπ)eikπ/n, et comme ∣−2i∣=2 et ∣eikπ/n∣=1, on obtient A0Ak=2sinnkπ. Or 0≤nkπ<π, donc ce sinus est positif ou nul et A0Ak=2sinnkπ. 4) Le terme d'indice 0 étant nul, Ln=2∑k=0n−1sinnkπ=2Im(∑k=0n−1eikπ/n). La raison eiπ/n est différente de 1 car 0<nπ<2π, et (eiπ/n)n=eiπ=−1. La formule géométrique puis l'angle moitié au dénominateur, eiπ/n−1=2isin(2nπ)eiπ/(2n) avec sin2nπ>0, donnent ∑k=0n−1eikπ/n=eiπ/n−1−1−1=2isin(2nπ)eiπ/(2n)−2=sin(2nπ)ie−iπ/(2n), car −i1=i. Or ie−iπ/(2n)=sin2nπ+icos2nπ, donc la somme vaut 1+isin(2nπ)cos(2nπ), et Ln=sin(2nπ)2cos(2nπ). Contrôle : pour n=3, L3=1/22⋅3/2=23, soit deux côtés du triangle équilatéral inscrit. 5) Posons un=2nπ, de sorte que n=2unπ et un→0 avec un>0. Alors nLn=nsinun2cosun=π4⋅cosun⋅sinunun. Par continuité du cosinus en 0 et par la limite usuelle usinu→1 quand u→0, on conclut que nLn→π4. Comme n−1n→1, la distance moyenne n−1Ln d'un sommet aux autres tend aussi vers π4.
QCM
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Question 1
Quel énoncé de la formule de Moivre, (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ), est exact ?
Question 2
Que vaut (1+i3)6 ?
Question 3
Soient z et z′ deux complexes. Quel énoncé est exact ?
Question 4
Vrai ou faux : pour tout réel θ, le module de 1+eiθ est 2cos(θ/2).
Question 5
Pour tout réel x, sin3x est égal à :
Question 6
Vrai ou faux : pour tout réel x, cos(3x)=3cosx−4cos3x.
Question 7
Soit n∈N et x∈R∖2πZ. Que vaut ∑k=0neikx ?
Question 8
Vrai ou faux : l'application z↦ez est injective sur C.
Question 9
Soit n∈N∗ et w∈C. Quel énoncé est exact ?
Question 10
Quelles sont les solutions dans C de l'équation z3=−8i ?
Question 11
Soit n≥2, ω=e2iπ/n et p∈Z. Que vaut ∑k=0n−1ωkp ?
Question 12
Vrai ou faux : pour tout n∈N∗, la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle.