Formules de trigonométrie

1) On a $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}$. Les formules d'addition, valables pour tous réels, donnent :
$\cos\dfrac{7\pi}{12} = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} - \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt 2}{2} - \dfrac{\sqrt 3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt 2}{2} = \dfrac{\sqrt 2 - \sqrt 6}{4}$ ;
$\sin\dfrac{7\pi}{12} = \sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}$.
Contrôle : $\dfrac{7\pi}{12} \in \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[$, donc le cosinus doit être négatif et le sinus positif ; c'est le cas puisque $\sqrt 2 < \sqrt 6$.
2) Avec $a = \dfrac{\pi}{8}$, donc $2a = \dfrac{\pi}{4}$ :
$\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos(\pi/4)}{2} = \dfrac{2 + \sqrt 2}{4}$ et $\sin^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 - \cos(\pi/4)}{2} = \dfrac{2 - \sqrt 2}{4}$.
Comme $\dfrac{\pi}{8} \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{8}$ sont strictement positifs, ce qui autorise à prendre les racines positives : $\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt 2}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt 2}}{2}$.
3) On a $\dfrac{5\pi}{8} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{8}$. Les angles associés $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right) = \cos t$ donnent $\cos\dfrac{5\pi}{8} = -\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt 2}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt 2}}{2}$.

1) Par duplication, $\sin x\cos x = \dfrac{\sin 2x}{2}$, donc $\sin^2 x\cos^2 x = \dfrac{\sin^2 2x}{4}$. La linéarisation de $\sin^2$ appliquée à l'angle $2x$ donne $\sin^2 2x = \dfrac{1 - \cos 4x}{2}$. Ainsi $\sin^2 x\cos^2 x = \dfrac{1 - \cos 4x}{8}$.
2) La formule $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a + b) + \sin(a - b)\right]$ avec $a = 3x$ et $b = x$ donne $\sin 3x\cos x = \dfrac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$.
3) La formule $\cos p - \cos q = -2\sin\dfrac{p + q}{2}\sin\dfrac{p - q}{2}$ avec $p = 4x$ et $q = 2x$ donne $\cos 4x - \cos 2x = -2\sin 3x\sin x$.
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est, et $\sin X = 0 \iff X \in \pi\mathbb{Z}$.
· $\sin x = 0$ avec $x \in [0, \pi]$ : $x \in \{0, \pi\}$.
· $\sin 3x = 0 \iff x \in \dfrac{\pi}{3}\mathbb{Z}$ ; dans $[0, \pi]$ : $x \in \left\{0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi\right\}$.
L'ensemble cherché est $\left\{0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi\right\}$. Contrôle en $\dfrac{\pi}{3}$ : $\cos\dfrac{4\pi}{3} - \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$.

1) Pour tout réel $x$, l'angle associé donne $\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$. L'équation équivaut donc à $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$, et la propriété $\cos X = \cos A \iff X \equiv A \ [2\pi]$ ou $X \equiv -A \ [2\pi]$, valable pour tous réels $X$ et $A$, donne deux cas.
· Premier cas : $2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, soit $3x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{5\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3}$.
· Second cas : $2x - \dfrac{\pi}{3} = x - \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, soit $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$.
Ainsi $S = \left\{\dfrac{5\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Dans $[0, 2\pi[$ : la première famille donne $\dfrac{5\pi}{18}$, $\dfrac{17\pi}{18}$ et $\dfrac{29\pi}{18}$ pour $k = 0, 1, 2$ (pour $k = 3$ on obtient $\dfrac{41\pi}{18} \geq 2\pi$, pour $k = -1$ un nombre négatif) ; la seconde donne $\dfrac{11\pi}{6}$ pour $k = 1$. Il y a quatre solutions.
2) $\tan x$ existe si et seulement si $x \notin \dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$, et $\tan 3x$ si et seulement si $3x \notin \dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $x \notin \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\mathbb{Z}$. Comme $\dfrac{\pi}{2} + k\pi = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{(3k + 1)\pi}{3}$, la première condition découle de la seconde : l'équation a un sens sur $D = \mathbb{R} \setminus \left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\mathbb{Z}\right)$.
Pour $x \in D$, les réels $3x$ et $x$ sont hors de $\dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$, donc la propriété de la tangente s'applique : $\tan 3x = \tan x \iff 3x \equiv x \ [\pi] \iff 2x \in \pi\mathbb{Z} \iff x \in \dfrac{\pi}{2}\mathbb{Z}$.
Il reste à intersecter avec $D$. Si $x = \dfrac{k\pi}{2}$ avec $k$ impair, alors $x \in \dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ : ce réel est exclu. Si $k = 2m$, alors $x = m\pi$ et $3x = 3m\pi$ sont des multiples entiers de $\pi$, donc hors de $\dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ : $x \in D$. Ainsi $S = \pi\mathbb{Z}$.
3) Pour tous réels $p$ et $q$, $\sin p + \sin q = 2\sin\dfrac{p + q}{2}\cos\dfrac{p - q}{2}$ ; avec $p = 3x$ et $q = x$, on obtient $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x\cos x$. L'équation équivaut à $\sin 2x\,(2\cos x - 1) = 0$, donc à $\sin 2x = 0$ ou $\cos x = \dfrac{1}{2}$.
· $\sin 2x = 0 \iff 2x \in \pi\mathbb{Z} \iff x \in \dfrac{\pi}{2}\mathbb{Z}$.
· $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3} \iff x \equiv \dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]$ ou $x \equiv -\dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]$.
Ainsi $S = \dfrac{\pi}{2}\mathbb{Z} \cup \left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\mathbb{Z}\right) \cup \left(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\mathbb{Z}\right)$. Contrôle en $x = \dfrac{\pi}{3}$ : $\sin\dfrac{\pi}{3} + \sin\pi = \dfrac{\sqrt 3}{2} = \sin\dfrac{2\pi}{3}$.

1) Ici $a = \sqrt 3$ et $b = -1$, avec $(a, b) \neq (0, 0)$, donc $r = \sqrt{3 + 1} = 2$. On cherche $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ et $\sin\varphi = -\dfrac{1}{2}$ : dans $\left]-\pi, \pi\right]$, seul $\varphi = -\dfrac{\pi}{6}$ convient (le sinus négatif impose $\varphi \in \left]-\pi, 0\right[$, et le cosinus fixe alors la valeur). Vérification par la formule d'addition : $2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos x\cos\dfrac{\pi}{6} - 2\sin x\sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt 3\cos x - \sin x$. Donc $f(x) = 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
2) Comme $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) \in [-1, 1]$, on a $-2 \leq f(x) \leq 2$. Le maximum $2$ est atteint si et seulement si $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$, soit $x \equiv -\dfrac{\pi}{6} \ [2\pi]$ ; le minimum $-2$ si et seulement si $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = -1$, soit $x \equiv \dfrac{5\pi}{6} \ [2\pi]$.
3) $f(x) = \sqrt 2 \iff \cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \iff x + \dfrac{\pi}{6} \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]$ ou $x + \dfrac{\pi}{6} \equiv -\dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]$. Donc $S = \left(\dfrac{\pi}{12} + 2\pi\mathbb{Z}\right) \cup \left(-\dfrac{5\pi}{12} + 2\pi\mathbb{Z}\right)$.
4) Posons $u = x + \dfrac{\pi}{6}$ ; quand $x$ décrit $[0, 2\pi[$, $u$ décrit $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}\right[$. Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $[0, \pi]$, avec $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ ; donc, pour $u \in [-\pi, \pi]$, $\cos u \geq \dfrac{1}{2} \iff |u| \leq \dfrac{\pi}{3}$. Par $2\pi$-périodicité, $\cos u \geq \dfrac{1}{2}$ si et seulement si $u \in \left[-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right]$ pour un $k \in \mathbb{Z}$.
Ces intervalles rencontrent $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}\right[$ pour $k = 0$, selon $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]$, et pour $k = 1$, selon $\left[\dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{6}\right[$ (car $\dfrac{7\pi}{3} > \dfrac{13\pi}{6}$). Aucun autre $k$ ne convient : pour $k \leq -1$, la borne supérieure $\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ est au plus $-\dfrac{5\pi}{3} < \dfrac{\pi}{6}$ ; pour $k \geq 2$, la borne inférieure $-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ est au moins $\dfrac{11\pi}{3} > \dfrac{13\pi}{6}$. En revenant à $x = u - \dfrac{\pi}{6}$ : $S = \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$. Contrôle : $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1$.

1) Soit $x \notin \pi\mathbb{Z}$, de sorte que $\sin x \neq 0$. Par duplication, $\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$, donc $\sin\dfrac{x}{2} \neq 0$ et $\cos\dfrac{x}{2} \neq 0$ : en particulier $\tan\dfrac{x}{2}$ existe. La formule $\cos x = 1 - 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ donne $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$. D'où $\dfrac{1 - \cos x}{\sin x} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \tan\dfrac{x}{2}$, la simplification par $\sin\dfrac{x}{2}$ étant licite puisqu'il est non nul.
2) Avec $x = \dfrac{\pi}{4} \notin \pi\mathbb{Z}$ : $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$, donc $\tan\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 - \sqrt 2/2}{\sqrt 2/2} = \dfrac{2 - \sqrt 2}{\sqrt 2} = \sqrt 2 - 1$.
Avec $x = \dfrac{3\pi}{4} \notin \pi\mathbb{Z}$ : $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}$ et $\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$, donc $\tan\dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{1 + \sqrt 2/2}{\sqrt 2/2} = \dfrac{2 + \sqrt 2}{\sqrt 2} = \sqrt 2 + 1$.
Contrôle : $\dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{8}$, et l'angle associé $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \dfrac{1}{\tan t}$ impose un produit égal à $1$ ; en effet $(\sqrt 2 - 1)(\sqrt 2 + 1) = 2 - 1 = 1$.
3) Premier cas : $x \notin \pi + 2\pi\mathbb{Z}$. Alors $t = \tan\dfrac{x}{2}$ existe et les formules de l'angle moitié transforment l'équation en $\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} - \dfrac{2\sqrt 3\,t}{1 + t^2} = -1$. En multipliant par $1 + t^2 > 0$ (ce qui conserve l'équivalence) : $1 - t^2 - 2\sqrt 3\,t = -1 - t^2$, soit $t = \dfrac{1}{\sqrt 3} = \tan\dfrac{\pi}{6}$. Comme $\dfrac{x}{2}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ sont hors de $\dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$, la propriété de la tangente donne $\dfrac{x}{2} \equiv \dfrac{\pi}{6} \ [\pi]$, soit $x \equiv \dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]$ ; ces réels sont bien hors de $\pi + 2\pi\mathbb{Z}$.
Second cas : $x \in \pi + 2\pi\mathbb{Z}$. Alors $\cos x = -1$ et $\sin x = 0$, donc le premier membre vaut $-1$ : ces réels sont solutions.
Ainsi $S = \left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\mathbb{Z}\right) \cup (\pi + 2\pi\mathbb{Z})$.
Contrôle : $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\varphi = -\dfrac{\sqrt 3}{2}$ donnent $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$, et l'équation s'écrit $2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = -1$, soit $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{2\pi}{3}$. D'où $x + \dfrac{\pi}{3} \equiv \dfrac{2\pi}{3} \ [2\pi]$ ou $x + \dfrac{\pi}{3} \equiv -\dfrac{2\pi}{3} \ [2\pi]$, soit $x \equiv \dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]$ ou $x \equiv -\pi \equiv \pi \ [2\pi]$. Les deux méthodes concordent, et la seconde famille est exactement celle que la substitution ne pouvait pas atteindre.