Nombres complexes : forme algébrique

1) On développe le numérateur : $(3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 5 - i$. On multiplie numérateur et dénominateur par $2 - i$, non nul : $z = \frac{(5 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{10 - 5i - 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{9 - 7i}{5}$. Par unicité de la forme algébrique, $\operatorname{Re}(z) = \frac{9}{5}$ et $\operatorname{Im}(z) = -\frac{7}{5}$ (un réel, et non $-\frac{7}{5}i$). Enfin $\overline{z} = \frac{9 + 7i}{5}$.
2) Par la forme algébrique : $|z|^2 = \frac{81 + 49}{25} = \frac{26}{5}$, donc $|z| = \sqrt{\frac{26}{5}} = \frac{\sqrt{130}}{5}$. Par multiplicativité du module (le dénominateur étant non nul) : $|z| = \frac{|3 + 2i|\,|1 - i|}{|2 + i|} = \frac{\sqrt{13}\,\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{26}{5}}$. Les deux calculs concordent.
3) Comme $z \neq 0$, $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{9 + 7i}{5} \times \frac{5}{26} = \frac{9 + 7i}{26}$. Vérification : $z \times \frac{9 + 7i}{26} = \frac{(9 - 7i)(9 + 7i)}{130} = \frac{81 + 49}{130} = 1$.

1) Soit $\delta = x + iy$ avec $x, y$ réels. Comme $\delta^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ avec $x^2 - y^2$ et $2xy$ réels, l'identification donne : $\delta^2 = Z$ si et seulement si $x^2 - y^2 = -21$ et $2xy = -20$. Si ces conditions sont réalisées, $|\delta|^2 = |\delta^2| = |Z|$ fournit en plus $x^2 + y^2 = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$. En additionnant et en soustrayant : $2x^2 = 8$ et $2y^2 = 50$, donc $x = \pm 2$ et $y = \pm 5$. Comme $xy = -10 < 0$, $x$ et $y$ sont de signes contraires : $\delta \in \{2 - 5i, -2 + 5i\}$. Réciproquement, $(2 - 5i)^2 = 4 - 20i - 25 = -21 - 20i$, et $(-2 + 5i)^2 = (2 - 5i)^2$. Comme $Z \neq 0$, il y a exactement deux racines carrées : $2 - 5i$ et $-2 + 5i$.
2) La conjugaison respecte le produit et est involutive, donc $\delta^2 = Z \iff \overline{\delta}^2 = \overline{Z}$. Les racines carrées de $\overline{Z} = -21 + 20i$ sont donc exactement $2 + 5i$ et $-2 - 5i$. Pour $-Z$ : $-Z = i^2 Z$, donc avec $\delta = 2 - 5i$, $(i\delta)^2 = i^2\delta^2 = -Z$, où $i\delta = 2i - 5i^2 = 5 + 2i$. Comme $-Z \neq 0$, ses racines carrées sont exactement $5 + 2i$ et $-5 - 2i$. Vérification : $(5 + 2i)^2 = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i = -Z$.

1) Le coefficient de $z^2$ vaut $1 \neq 0$ : le théorème sur les équations du second degré à coefficients complexes s'applique. $\Delta = (4 + i)^2 - 4(5 + 5i) = 15 + 8i - 20 - 20i = -5 - 12i$. Cherchons $\delta = x + iy$ ($x, y$ réels) avec $\delta^2 = \Delta$ : $x^2 - y^2 = -5$, $2xy = -12$ et, par égalité des modules, $x^2 + y^2 = \sqrt{25 + 144} = 13$. D'où $x^2 = 4$, $y^2 = 9$, et $xy = -6 < 0$ impose des signes contraires : $\delta = 2 - 3i$ convient, car $(2 - 3i)^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i$. Comme $\Delta \neq 0$, il y a deux solutions distinctes : $z_1 = \frac{4 + i + 2 - 3i}{2} = 3 - i$ et $z_2 = \frac{4 + i - 2 + 3i}{2} = 1 + 2i$. Contrôle : $z_1 + z_2 = 4 + i$ et $z_1 z_2 = 3 + 6i - i - 2i^2 = 5 + 5i$. L'ensemble des solutions est $\{3 - i, 1 + 2i\}$.
2) Soit $(u, v)$ un tel couple. Alors $v = 4 + i - u$ et $u^2 - (4 + i)u + 5 + 5i = u^2 - (u + v)u + uv = 0$ : $u$ est solution de $(E)$, donc $u \in \{3 - i, 1 + 2i\}$, et $v = 4 + i - u$ est alors l'autre solution. Réciproquement, les couples $(3 - i, 1 + 2i)$ et $(1 + 2i, 3 - i)$ ont pour somme $4 + i$ et pour produit $5 + 5i$ d'après le contrôle de la question 1. Ce sont donc exactement les deux couples cherchés.
3) On calcule $i \times 4 + (1 - 5i) \times 2 - 2 + 6i = 4i + 2 - 10i - 2 + 6i = 0$ : $2$ est solution. Le coefficient dominant $i$ est non nul, donc le produit des racines comptées avec multiplicité vaut $\frac{c}{a} = \frac{-2 + 6i}{i} = (-2 + 6i)(-i) = 6 + 2i$. La seconde racine est $\frac{6 + 2i}{2} = 3 + i$. Contrôle par la somme : $-\frac{b}{a} = -\frac{1 - 5i}{i} = (1 - 5i)i = 5 + i$, qui vaut bien $2 + (3 + i)$. L'ensemble des solutions est $\{2, 3 + i\}$.

1) Comme $|u| = |v| = 1$ et que seul le complexe nul a un module nul, $u$ et $v$ sont non nuls : $uv \neq 0$ et le quotient est défini. Par caractérisation de $\mathbb{U}$, $\frac{1}{u} = \overline{u}$ et $\frac{1}{v} = \overline{v}$. On écrit $\frac{(u + v)^2}{uv} = (u + v) \times \frac{u + v}{uv} = (u + v)\left(\frac{1}{v} + \frac{1}{u}\right) = (u + v)(\overline{u} + \overline{v})$. La conjugaison respectant la somme, $\overline{u} + \overline{v} = \overline{u + v}$, d'où $\frac{(u + v)^2}{uv} = (u + v)\,\overline{(u + v)} = |u + v|^2$ : c'est un réel positif ou nul. Il est nul si et seulement si $u + v = 0$, c'est-à-dire $v = -u$.
2) La partie réelle de $1 - it$ vaut $1$, donc $1 - it \neq 0$ et $\varphi(t)$ est défini. Comme $t$ est réel, $1 - it = \overline{1 + it}$ ; par module d'un quotient et invariance du module par conjugaison, $|\varphi(t)| = \frac{|1 + it|}{|\overline{1 + it}|} = 1$. Enfin, $\varphi(t) = -1$ équivaudrait à $1 + it = -1 + it$, soit $2 = 0$ : c'est impossible.
3) D'après 2), $\varphi$ va de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U} \setminus \{-1\}$. Soit $u \in \mathbb{U} \setminus \{-1\}$. Pour $t \in \mathbb{R}$ : $\varphi(t) = u \iff 1 + it = u - iut \iff it(1 + u) = u - 1 \iff t = \frac{i(1 - u)}{1 + u}$, la dernière équivalence utilisant $1 + u \neq 0$. Il reste à voir que ce complexe est réel : avec $\overline{u} = \frac{1}{u}$, $\overline{t} = \frac{-i\left(1 - \frac{1}{u}\right)}{1 + \frac{1}{u}} = \frac{-i(u - 1)}{u + 1} = \frac{i(1 - u)}{1 + u} = t$. Tout élément de $\mathbb{U} \setminus \{-1\}$ a donc un unique antécédent réel : $\varphi$ est bijective, de réciproque $u \mapsto \frac{i(1 - u)}{1 + u}$. Contrôle : $u = i$ donne $t = \frac{i(1 - i)}{1 + i} = 1$, et $\varphi(1) = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{2} = i$.

1) Comme $|q|^2 = q\overline{q}$ pour tout complexe $q$ et que la conjugaison respecte la somme : $|z + w|^2 = (z + w)(\overline{z} + \overline{w}) = |z|^2 + z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} + |w|^2 = |z|^2 + 2\operatorname{Re}(z\overline{w}) + |w|^2$. En remplaçant $w$ par $-w$ : $|z - w|^2 = |z|^2 - 2\operatorname{Re}(z\overline{w}) + |w|^2$. On additionne les deux égalités. Géométriquement, si $\vec{p}$ et $\vec{q}$ ont pour affixes $z$ et $w$, les diagonales du parallélogramme construit sur ces vecteurs ont pour affixes $z + w$ et $z - w$ : la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.
2) Soient $z, w \in \mathbb{C}$. L'inégalité triangulaire, valable pour tous complexes, donne $2|z| = |(z + w) + (z - w)| \leq |z + w| + |z - w|$ et, comme $|-(z - w)| = |z - w|$, $2|w| = |(z + w) - (z - w)| \leq |z + w| + |z - w|$. Le réel $2\max(|z|, |w|)$, égal à $2|z|$ ou à $2|w|$, est donc majoré par $|z + w| + |z - w|$. Pour $z = 3$ et $w = 1$, non nuls : $2\max(3, 1) = 6$ et $|4| + |2| = 6$, il y a égalité.
3) Pour tout $z$, l'inégalité triangulaire donne $2 = |(1 - z) + (1 + z)| \leq |1 - z| + |1 + z| = |z - 1| + |z + 1|$. L'équation équivaut donc à l'égalité dans l'inégalité triangulaire pour les complexes $1 - z$ et $1 + z$, c'est-à-dire, d'après le cas d'égalité : $1 + z = 0$, ou il existe $\lambda \in \mathbb{R}_+$ tel que $1 - z = \lambda(1 + z)$. Le premier cas donne $z = -1$. Dans le second, $(1 + \lambda)z = 1 - \lambda$ avec $1 + \lambda > 0$, donc $z = \frac{1 - \lambda}{1 + \lambda} = -1 + \frac{2}{1 + \lambda}$, réel de $]-1, 1]$ ; réciproquement, tout $x \in ]-1, 1]$ s'obtient avec $\lambda = \frac{1 - x}{1 + x} \geq 0$. L'ensemble des solutions est le segment réel $[-1, 1]$. Vérification directe : pour $x \in [-1, 1]$, $|x - 1| + |x + 1| = (1 - x) + (x + 1) = 2$. Les images forment le segment $[AB]$ avec $A(-1, 0)$ et $B(1, 0)$, ce qui traduit $MA + MB = AB$.

1) Avec $|q|^2 = q\overline{q}$ et les règles de conjugaison : $|1 - \overline{a}z|^2 = (1 - \overline{a}z)(1 - a\overline{z}) = 1 - a\overline{z} - \overline{a}z + |a|^2|z|^2$ et $|z - a|^2 = (z - a)(\overline{z} - \overline{a}) = |z|^2 - \overline{a}z - a\overline{z} + |a|^2$. La différence vaut $1 - |a|^2 - |z|^2 + |a|^2|z|^2 = (1 - |a|^2)(1 - |z|^2)$.
2) Soient $a, z \in \mathbb{D}$. Par multiplicativité du module, $|\overline{a}z| = |a|\,|z| < 1$, donc $\overline{a}z \neq 1$ et $\varphi_a(z)$ est défini. D'après 1), $|1 - \overline{a}z|^2 - |z - a|^2 = (1 - |a|^2)(1 - |z|^2) > 0$, produit de deux réels strictement positifs. En divisant par $|1 - \overline{a}z|^2 > 0$, on obtient $|\varphi_a(z)|^2 < 1$, donc $|\varphi_a(z)| < 1$ puisqu'un module est positif. Si $|z| = 1$, on a encore $|\overline{a}z| = |a| < 1$, donc le dénominateur est non nul, et le second membre de 1) est nul : $|z - a| = |1 - \overline{a}z|$, soit $|\varphi_a(z)| = 1$.
3) D'après 2), $\varphi_a$ envoie $\mathbb{D}$ dans $\mathbb{D}$ ; comme $|-a| = |a| < 1$, il en va de même de $\varphi_{-a} : w \mapsto \frac{w + a}{1 + \overline{a}w}$. Soient $z \in \mathbb{D}$ et $w = \varphi_a(z)$. En multipliant par $1 - \overline{a}z \neq 0$ : $(w + a)(1 - \overline{a}z) = z - a + a - |a|^2 z = (1 - |a|^2)z$ et $(1 + \overline{a}w)(1 - \overline{a}z) = 1 - \overline{a}z + \overline{a}z - |a|^2 = 1 - |a|^2$. Comme $1 - |a|^2 \neq 0$, on obtient $\varphi_{-a}(\varphi_a(z)) = z$. Le même calcul, mené avec $-a \in \mathbb{D}$ à la place de $a$, donne $\varphi_a \circ \varphi_{-a} = \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$. Une application qui admet un inverse à gauche et un inverse à droite est bijective : $\varphi_a$ est une bijection de $\mathbb{D}$ sur $\mathbb{D}$, de réciproque $\varphi_{-a}$.
4) Posons $\rho = \left|\frac{a - b}{1 - \overline{a}b}\right| = |\varphi_a(b)|$, défini d'après 2), et $R = \frac{|a| + |b|}{1 + |a|\,|b|}$. L'égalité 1) avec $z = b$, divisée par $|1 - \overline{a}b|^2$, donne $1 - \rho^2 = \frac{(1 - |a|^2)(1 - |b|^2)}{|1 - \overline{a}b|^2}$. L'inégalité triangulaire donne $|1 - \overline{a}b| \leq 1 + |\overline{a}b| = 1 + |a|\,|b|$ ; le numérateur étant strictement positif, $1 - \rho^2 \geq \frac{(1 - |a|^2)(1 - |b|^2)}{(1 + |a|\,|b|)^2}$. Or, pour des réels $x, y$, $(1 + xy)^2 - (x + y)^2 = (1 - x^2)(1 - y^2)$, donc ce dernier quotient vaut $1 - R^2$. Ainsi $\rho^2 \leq R^2$ et, $\rho$ et $R$ étant positifs, $\rho \leq R$. Il y a égalité si et seulement si $|1 - \overline{a}b| = 1 + |a|\,|b|$, c'est-à-dire égalité dans l'inégalité triangulaire pour $1$ et $-\overline{a}b$ : $-\overline{a}b = 0$, ou $1 = \lambda(-\overline{a}b)$ avec $\lambda \geq 0$, ce qui force $\lambda > 0$ et $\overline{a}b = -\frac{1}{\lambda}$. L'égalité a donc lieu si et seulement si $\overline{a}b$ est un réel négatif ou nul, par exemple pour $b = -a$.