Anneaux et corps

1) On a $A\subset\mathbb{C}$ et $1=1+i\cdot 0\cdot\sqrt{2}\in A$. Soient $x=a+ib\sqrt{2}$ et $y=c+id\sqrt{2}$ avec $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$. Alors $x-y=(a-c)+i(b-d)\sqrt{2}\in A$ et, comme $i^2=-1$ et $(\sqrt{2})^2=2$, $xy=(ac-2bd)+i(ad+bc)\sqrt{2}$, où $ac-2bd$ et $ad+bc$ sont entiers, donc $xy\in A$. Ainsi $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$, donc un anneau pour les lois induites.
2) $A$ est commutatif (sous-anneau de $\mathbb{C}$) et non nul ($1\neq 0$). Si $x,y\in A$ vérifient $xy=0$, cette égalité a lieu dans le corps $\mathbb{C}$, qui est intègre, donc $x=0$ ou $y=0$. Donc $A$ est intègre.
3) Pour $x=a+ib\sqrt{2}\in A$, on pose $N(x)=|x|^2=a^2+2b^2\in\mathbb{N}$. La multiplicativité du module donne $N(xy)=N(x)N(y)$, et $N(1)=1$. Si $x\in A^\times$, d'inverse $y\in A$, alors $N(x)N(y)=1$ avec $N(x),N(y)\in\mathbb{N}$, donc $N(x)=1$, soit $a^2+2b^2=1$. Si $b\neq 0$, alors $a^2+2b^2\geq 2$ : donc $b=0$ et $a^2=1$, d'où $x\in\{-1,1\}$. Réciproquement, $1\times 1=(-1)\times(-1)=1$, donc $1$ et $-1$ sont inversibles dans $A$. Conclusion : $A^\times=\{-1,1\}$.
4) Non. L'élément $2\in A$ est non nul, mais $2\notin A^\times$ d'après 3). Concrètement, son inverse dans $\mathbb{C}$ est $\frac{1}{2}$ ; or un élément $a+ib\sqrt{2}$ de $A$ de partie imaginaire nulle vérifie $b=0$, donc est un entier, et $\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}$. Un sous-corps devant contenir l'inverse de chacun de ses éléments non nuls, $A$ n'est pas un sous-corps de $\mathbb{C}$.

1) Les éléments $1_A$ et $x$ commutent, donc la factorisation de $a^n-b^n$ s'applique avec $a=1_A$, $b=x$ et $n=3$ : $(1_A-x)(1_A+x+x^2)=1_A-x^3=1_A$. Le produit dans l'autre ordre se développe en $(1_A+x+x^2)(1_A-x)=1_A-x+x-x^2+x^2-x^3=1_A-x^3=1_A$. Donc $1_A-x$ est inversible, d'inverse $1_A+x+x^2$.
2) L'élément $y=-x$ vérifie $y^3=-x^3=0_A$. Le raisonnement de 1) vaut pour tout élément de cube nul : appliqué à $y$, il montre que $1_A-y=1_A+x$ est inversible, d'inverse $1_A+y+y^2=1_A-x+x^2$.
3) Comme $1_A$ commute avec $x$, la formule du binôme de Newton s'applique : $(1_A+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$. Pour $k\geq 3$, $x^k=x^3x^{k-3}=0_A$. Si $n\geq 2$, il reste $1_A+n\,x+\binom{n}{2}x^2$. Si $n=0$ ou $n=1$, on obtient $1_A$ ou $1_A+x$, ce que donne aussi la formule puisque $\binom{n}{2}=0$.
4) On écrit $u+x=u(1_A+u^{-1}x)$. En multipliant l'égalité $ux=xu$ à gauche et à droite par $u^{-1}$, on obtient $xu^{-1}=u^{-1}x$. Les éléments $u^{-1}$ et $x$ commutant, $(u^{-1}x)^3=u^{-3}x^3=0_A$. D'après 2), appliqué à l'élément de cube nul $u^{-1}x$, $1_A+u^{-1}x$ est inversible. Ainsi $u+x$ est le produit de deux inversibles ; $A^\times$ étant un groupe pour la multiplication, $u+x\in A^\times$.

1) L'existence est la définition de $K$. Si $a+b\sqrt{3}=a'+b'\sqrt{3}$ avec $a,b,a',b'$ rationnels et $b\neq b'$, alors $\sqrt{3}=\frac{a-a'}{b'-b}\in\mathbb{Q}$, ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{3}$. Donc $b=b'$, puis $a=a'$.
2) Sous-anneau : $K\subset\mathbb{R}$ et $1=1+0\sqrt{3}\in K$. Pour $x=a+b\sqrt{3}$ et $y=c+d\sqrt{3}$ dans $K$, $x-y=(a-c)+(b-d)\sqrt{3}\in K$ et $xy=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}\in K$, les coefficients étant rationnels. Inverses : soit $x=a+b\sqrt{3}\neq 0$. On a $a^2-3b^2\neq 0$ : si $b\neq 0$, l'égalité $a^2=3b^2$ donnerait $\left|\frac{a}{b}\right|=\sqrt{3}$ rationnel ; si $b=0$, elle donnerait $a=0$, donc $x=0$. L'égalité $(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=a^2-3b^2$ montre alors que l'inverse de $x$ dans $\mathbb{R}$ est $\frac{a}{a^2-3b^2}-\frac{b}{a^2-3b^2}\sqrt{3}$, qui appartient à $K$. Donc $K$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$.
3) Par l'unicité établie en 1), $\sigma(x)$ ne dépend que de $x$ : $\sigma$ est bien définie, et $\sigma(x)\in K$. On a $\sigma(1)=1$ et $\sigma(x+y)=(a+c)-(b+d)\sqrt{3}=\sigma(x)+\sigma(y)$. Pour le produit, $\sigma(xy)=(ac+3bd)-(ad+bc)\sqrt{3}$ et $\sigma(x)\sigma(y)=(a-b\sqrt{3})(c-d\sqrt{3})=(ac+3bd)-(ad+bc)\sqrt{3}$ : ces deux quantités sont égales. Enfin $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}_K$, donc $\sigma$ est bijective, de réciproque $\sigma$. C'est un automorphisme de l'anneau $K$.
4) Comme $\sigma$ est multiplicative et $\mathbb{R}$ commutatif, $N(xy)=xy\,\sigma(x)\sigma(y)=x\sigma(x)\,y\sigma(y)=N(x)N(y)$, et $N(a+b\sqrt{3})=a^2-3b^2$. Le calcul de 2), mené avec des coefficients entiers, montre que $B$ contient $1$ et est stable par différence et par produit : $B$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$, commutatif, et $\sigma(B)\subset B$. Si $x\in B$ a un inverse $y\in B$, alors $N(x)N(y)=N(1)=1$ avec $N(x),N(y)\in\mathbb{Z}$, donc $N(x)\in\mathbb{Z}^\times=\{-1,1\}$. Réciproquement, si $N(x)=\varepsilon\in\{-1,1\}$, alors $x\cdot\varepsilon\sigma(x)=\varepsilon N(x)=\varepsilon^2=1$ avec $\varepsilon\sigma(x)\in B$ ; $B$ étant commutatif, $x\in B^\times$.
5) $N(2+\sqrt{3})=4-3=1$, donc $2+\sqrt{3}\in B^\times$ d'après 4), d'inverse $\sigma(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$. Le groupe $B^\times$ contient toutes les puissances $(2+\sqrt{3})^n$, $n\in\mathbb{N}$. Comme $2+\sqrt{3}>1$, la suite $\left((2+\sqrt{3})^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante, donc ses termes sont deux à deux distincts : $B^\times$ est infini.

1) Soit $u\in A^\times$ et $b\in A$ tel que $ub=0_A$. En multipliant par $u^{-1}$ : $b=u^{-1}(ub)=u^{-1}0_A=0_A$. Aucun $b$ non nul ne vérifie donc $ub=0_A$ (ni $bu=0_A$, par commutativité) : $u$ n'est pas un diviseur de zéro.
2) Soit $\varphi:A\to A$, $x\mapsto ax$. Si $ax=ay$, alors $a(x-y)=0_A$ ; comme $a\neq 0_A$ n'est pas un diviseur de zéro, $x-y=0_A$. Donc $\varphi$ est injective. C'est une injection de l'ensemble fini $A$ dans lui-même, donc une bijection. Il existe ainsi $b\in A$ tel que $ab=1_A$, et $ba=1_A$ par commutativité : $a\in A^\times$.
3) Si $A$ est intègre et fini, il est commutatif, non nul et sans diviseur de zéro. Par 2), tout élément non nul de $A$ est inversible : $A$ est un corps.
4) Dans $\mathbb{Z}$, commutatif et infini, l'élément $2$ est non nul. Il n'est pas diviseur de zéro, car $\mathbb{Z}$ est intègre, et il n'est pas inversible, car $2c=1$ n'a pas de solution entière (le membre de gauche est pair). La finitude est donc indispensable dans 2).
5) Comme $E\neq\emptyset$, le zéro et l'unité sont distincts : l'anneau est non nul, et son produit est l'intersection. Inversibles : $X\cap Y=E$ impose $X=Y=E$, et $E\cap E=E$ ; le seul inversible est $E$. Nilpotents : $X^n=X\cap\cdots\cap X=X$ pour tout $n\geq 1$, donc $X^n=\emptyset$ équivaut à $X=\emptyset$ ; seul $\emptyset$ est nilpotent. Diviseurs de zéro : si $\emptyset\neq X\neq E$, la partie $Y=E\setminus X$ est non vide et $X\cap Y=\emptyset$, donc $X$ est un diviseur de zéro ; $E$ n'en est pas un d'après 1). Les diviseurs de zéro sont donc les parties non vides distinctes de $E$, et l'on retrouve la dichotomie de 1) et 2). Enfin, l'anneau est un corps si et seulement si toute partie non vide est égale à $E$, c'est-à-dire si et seulement si $E$ est un singleton ; dans ce cas, $\mathcal{P}(E)=\{\emptyset,E\}$ est un corps à deux éléments.

1) Comme $1_A$ commute avec $e$ : $f^2=1_A-2e+e^2=1_A-2e+e=1_A-e=f$, et $ef=e-e^2=0_A$. Si $A$ est intègre, l'égalité $e(1_A-e)=0_A$ impose $e=0_A$ ou $1_A-e=0_A$, soit $e\in\{0_A,1_A\}$.
2) $eA$ est une partie de $A$ contenant $0_A=e\,0_A$. Pour $ea,eb\in eA$ : $ea-eb=e(a-b)\in eA$ et $(ea)(eb)=e^2ab=e(ab)\in eA$. Donc $(eA,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$, et le produit induit est une loi interne de $eA$, associative, commutative et distributive sur $+$, propriétés héritées de $A$. De plus $e=e1_A\in eA$ et, pour $x=ea\in eA$, $ex=e^2a=ea=x$ : $e$ est neutre pour le produit dans $eA$. Ainsi $eA$ est un anneau commutatif de neutre $e$. C'est un sous-anneau de $A$ si et seulement si $1_A\in eA$. Si $1_A=ea$, alors $e=e1_A=e^2a=ea=1_A$ ; réciproquement, si $e=1_A$, $eA=A$. Donc $eA$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si $e=1_A$.
3) D'après 1), $f$ est idempotent, donc $fA$ est un anneau de neutre $f$ par 2), et $eA\times fA$ est un anneau produit de neutre $(e,f)$. Morphisme : $\varphi(a+b)=(ea+eb,fa+fb)=\varphi(a)+\varphi(b)$ ; $\varphi(a)\varphi(b)=(e^2ab,f^2ab)=(eab,fab)=\varphi(ab)$ ; $\varphi(1_A)=(e,f)$, qui est le neutre de l'anneau d'arrivée. Injectivité : si $\varphi(a)=(0_A,0_A)$, alors $a=(e+f)a=ea+fa=0_A$, donc $\ker\varphi=\{0_A\}$ et $\varphi$ est injectif. Surjectivité : pour $(eb,fc)\in eA\times fA$, on pose $a=eb+fc$ ; avec $e^2=e$, $f^2=f$ et $ef=fe=0_A$, on obtient $ea=eb$ et $fa=fc$. Donc $\varphi$ est un morphisme bijectif, c'est-à-dire un isomorphisme d'anneaux.
4) Dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, $(x,y)^2=(x,y)$ équivaut à $x^2=x$ et $y^2=y$. Comme $\mathbb{Z}$ est intègre, 1) donne $x,y\in\{0,1\}$. Les idempotents sont donc $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ et $(1,1)$. Pour $e=(1,0)$, on trouve $eA=\mathbb{Z}\times\{0\}$ : conformément à 2), c'est un anneau de neutre $(1,0)$, mais pas un sous-anneau de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.