Nombres complexes et géométrie plane

1) $b - a = 3 + i$, donc $AB = |3 + i| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$c - a = -1 + 3i$, donc $AC = |-1 + 3i| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
2) $B \neq A$, donc le quotient est défini :
$\frac{c-a}{b-a} = \frac{-1 + 3i}{3 + i} = \frac{(-1 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{-3 + i + 9i - 3i^2}{10} = \frac{10i}{10} = i$.
Comme $B \neq A$ et $C \neq A$, le module du quotient vaut $\frac{AC}{AB}$ et son argument mesure l'angle cherché.
$|i| = 1$ donne $AC = AB$, et $\arg i = \frac{\pi}{2}$ donne $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle isocèle en $A$, de sens direct.
3) $e - a = 6 + 2i = 2(3 + i) = 2(b - a)$, donc $\frac{e-a}{b-a} = 2 \in \mathbb{R}$ avec $B \neq A$ : les points $A$, $B$, $E$ sont alignés.
De plus $b - a = \frac{1}{2}(e - a)$, soit $b = \frac{a + e}{2}$ : $B$ est le milieu de $[AE]$.
Contrôle : $\frac{a + e}{2} = \frac{8 + 4i}{2} = 4 + 2i = b$.

1) On cherche $f$ sous la forme $z \mapsto az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$. Les deux conditions s'écrivent $-a + b = 1 - 2i$ et $2ia + b = i$.
En soustrayant la première de la seconde : $a(1 + 2i) = i - (1 - 2i) = -1 + 3i$.
Comme $z_B - z_A = 1 + 2i \neq 0$ ($A \neq B$), $a$ est déterminé de façon unique : $a = \frac{-1 + 3i}{1 + 2i} = \frac{(-1 + 3i)(1 - 2i)}{5} = \frac{-1 + 2i + 3i + 6}{5} = 1 + i$.
Puis la première équation donne $b = 1 - 2i + a = 2 - i$, de façon unique.
Enfin $a = 1 + i \neq 0$ (ce qui traduit $A' \neq B'$) : $f(z) = (1 + i)z + 2 - i$ est bien une similitude directe, et c'est la seule qui convient.
Contrôle : $f(-1) = -1 - i + 2 - i = 1 - 2i$ et $f(2i) = 2i - 2 + 2 - i = i$.
2) $a = 1 + i \neq 1$, donc $f$ a un unique point fixe, d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a} = \frac{2 - i}{-i} = \frac{(2 - i)\,i}{(-i)\,i} = \frac{2i + 1}{1} = 1 + 2i$.
Contrôle : $f(1 + 2i) = (1 + i)(1 + 2i) + 2 - i = (-1 + 3i) + 2 - i = 1 + 2i$.
On écrit $a = 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, d'où $f(z) - \omega = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}(z - \omega)$.
$f$ est la similitude directe de centre $\Omega(1 + 2i)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$.
3) L'application $h$ s'écrit $z \mapsto -2z + 3$, avec un coefficient $-2$ non nul : c'est une similitude directe.
Ce coefficient est différent de $1$, donc $h$ a un unique point fixe ; son affixe $\omega'$ vérifie $\omega' = -2\omega' + 3$, soit $3\omega' = 3$, donc $\omega' = 1$.
Contrôle : $h(1) = -2 + 3 = 1$.
On en déduit $h(z) - 1 = -2z + 2 = -2(z - 1)$. Comme $-2$ est un réel non nul, $h$ est l'homothétie de centre le point d'affixe $1$, et non $3$, et de rapport $-2$.
Vue comme similitude directe, $h$ a pour rapport $|-2| = 2$ et pour angle $\arg(-2) = \pi$, puisque $-2 = 2e^{i\pi}$.

1) Les affixes $3$, $2 + 3i$, $-1$ et $-i$ sont deux à deux distinctes : le critère de cocyclicité s'applique.
$c - b = -3 - 3i$, $d - a = -3 - i$, $c - a = -4$, $d - b = -2 - 4i$.
$(c - b)(d - a) = (-3 - 3i)(-3 - i) = 9 + 3i + 9i - 3 = 6 + 12i = 6(1 + 2i)$.
$(c - a)(d - b) = -4(-2 - 4i) = 8 + 16i = 8(1 + 2i)$.
Donc $\frac{(c-b)(d-a)}{(c-a)(d-b)} = \frac{3}{4} \in \mathbb{R}$ : les quatre points sont cocycliques ou alignés.
Pour écarter l'alignement : $\frac{c-a}{b-a} = \frac{-4}{-1 + 3i} = \frac{-4(-1 - 3i)}{10} = \frac{2 + 6i}{5} \notin \mathbb{R}$, donc $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
Conclusion : $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques.
2) Les points $A$, $C$, $D$ sont trois points distincts de $\Gamma$. Une droite coupe un cercle en au plus deux points, donc ils ne sont pas alignés ; le calcul le confirme : $\frac{d-a}{c-a} = \frac{-3 - i}{-4} = \frac{3 + i}{4} \notin \mathbb{R}$.
Les médiatrices de $[AC]$ et de $[AD]$ se coupent donc en un seul point, qui est le centre $\omega = x + iy$ de $\Gamma$ : c'est l'unique point équidistant de $A$, $C$ et $D$.
$|\omega - 3| = |\omega + 1|$ donne $(x - 3)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$, soit $-6x + 9 = 2x + 1$, donc $x = 1$.
$|\omega - 3| = |\omega + i|$ donne, avec $x = 1$ : $4 + y^2 = 1 + (y + 1)^2$, soit $4 = 2 + 2y$, donc $y = 1$.
Donc $\omega = 1 + i$, et le rayon vaut $|3 - (1 + i)| = |2 - i| = \sqrt{5}$.
Contrôle avec $B$ : $|2 + 3i - (1 + i)| = |1 + 2i| = \sqrt{5}$.
3) $e = 4 + i$ est distinct de $a$, $b$ et $c$.
$(c - b)(e - a) = (-3 - 3i)(1 + i) = -3(1 + i)^2 = -6i$ et $(c - a)(e - b) = -4(2 - 2i) = -8 + 8i$.
$\frac{-6i}{-8 + 8i} = \frac{-6i(-8 - 8i)}{128} = \frac{-48 + 48i}{128} = \frac{-3 + 3i}{8} \notin \mathbb{R}$.
Les points $A$, $B$, $C$, $E$ ne sont donc ni cocycliques ni alignés.
Or $\Gamma$ est l'unique cercle passant par les trois points non alignés $A$, $B$, $C$ : si $E$ était sur $\Gamma$, les quatre points seraient cocycliques. Donc $E \notin \Gamma$.
Contrôle : $|e - \omega| = |3| = 3 \neq \sqrt{5}$.

1) $D_1$ passe par le point d'affixe $i$ et est dirigée par $e^{i \cdot 0} = 1$. L'écriture d'une réflexion donne $s_1(z) = i + \overline{(z - i)} = i + \overline{z} + i = \overline{z} + 2i$.
Contrôle : pour $z = x + iy$, $s_1(z) = x + i(2 - y)$ ; les points d'ordonnée $1$ sont fixes et les ordonnées $y$ et $2 - y$ sont symétriques par rapport à $1$.
$D_2$ passe par $O$ et est dirigée par $e^{i\pi/4}$, donc $s_2(z) = e^{2i\pi/4}\,\overline{z} = i\,\overline{z}$.
Contrôle : $s_2(x + iy) = i(x - iy) = y + ix$, l'abscisse et l'ordonnée sont échangées.
2) $s_2 \circ s_1(z) = i\,\overline{(\overline{z} + 2i)} = i(z - 2i) = iz + 2$.
C'est une similitude directe de coefficient $a = i$, avec $|a| = 1$ et $a \neq 1$ : c'est une rotation.
Centre : $\omega = \frac{2}{1 - i} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$ ; contrôle : $i(1 + i) + 2 = 1 + i$.
Angle : $\arg i = \frac{\pi}{2}$. Donc $s_2 \circ s_1$ est la rotation de centre $\Omega(1 + i)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
3) $s_1 \circ s_2(z) = \overline{i\,\overline{z}} + 2i = -iz + 2i$.
Le coefficient $-i$ est de module $1$ et différent de $1$ : rotation de centre $\frac{2i}{1 + i} = \frac{2i(1 - i)}{2} = 1 + i$ et d'angle $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$.
Les deux composées ont le même centre mais des angles opposés, donc $s_2 \circ s_1 \neq s_1 \circ s_2$ : par exemple, l'image de $0$ est $2$ pour la première et $2i$ pour la seconde.
Interprétation : $\Omega(1 + i)$ est le point d'intersection de $D_1$ et $D_2$. L'angle $\frac{\pi}{2}$ de $s_2 \circ s_1$ est le double de l'angle $\frac{\pi}{4}$ qui fait passer de la direction de $D_1$ à celle de $D_2$ ; de même, l'angle $-\frac{\pi}{2}$ de $s_1 \circ s_2$ est le double de l'angle $-\frac{\pi}{4}$ qui fait passer de la direction de $D_2$ à celle de $D_1$.
On retrouve la règle générale : si deux droites distinctes $D_1$ et $D_2$ se coupent en $\Omega$, alors $s_2 \circ s_1$ est la rotation de centre $\Omega$ dont l'angle est le double de l'angle de $D_1$ vers $D_2$, et échanger l'ordre change cet angle en son opposé.
Les deux composées coïncident donc si et seulement si ce double vaut $\pi$ modulo $2\pi$, c'est-à-dire si $D_1 \perp D_2$ ; ici les droites font un angle de $\frac{\pi}{4}$, d'où $s_2 \circ s_1 \neq s_1 \circ s_2$.

1) $A = M$ équivaut à $z = 1$ ; $A = N$ équivaut à $z^2 = 1$, soit $z = \pm 1$ ; $M = N$ équivaut à $z^2 = z$, soit $z \in \{0, 1\}$.
Les trois points sont deux à deux distincts si et seulement si $z \notin \{-1, 0, 1\}$.
2) Un triangle a des sommets distincts : on suppose $z \notin \{-1, 0, 1\}$. Comme $M \neq A$ et $N \neq A$, le critère d'orthogonalité s'applique au quotient
$\frac{z^2 - 1}{z - 1} = z + 1$.
$(AM) \perp (AN)$ si et seulement si $z + 1 \in i\mathbb{R}$, c'est-à-dire $\mathrm{Re}(z) = -1$.
Parmi ces nombres, seul $-1$ est à exclure. Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $z = -1 + iy$ avec $y \in \mathbb{R}^*$.
Contrôle avec $z = -1 + i$ : $z^2 = -2i$, $z - 1 = -2 + i$, $z^2 - 1 = -1 - 2i$ et $\frac{-1 - 2i}{-2 + i} = i$.
3) On suppose toujours $z \notin \{-1, 0, 1\}$, donc $A \neq M$, ce qui permet d'utiliser la caractérisation par $j$.
$AMN$ est équilatéral direct si et seulement si $1 + zj + z^2j^2 = 0$. En posant $w = zj$, cela s'écrit $1 + w + w^2 = 0$, dont les racines sont $j$ et $j^2$.
$w = j$ donne $z = 1$, exclu ; $w = j^2$ donne $z = j$, qui n'est pas exclu. Le triangle est équilatéral direct si et seulement si $z = j$.
$AMN$ est équilatéral indirect si et seulement si $1 + z^2j + zj^2 = 0$. En posant $w = zj^2$, on a $w^2 = z^2j^4 = z^2j$, et la relation devient $1 + w + w^2 = 0$, donc $w \in \{j, j^2\}$.
$w = j$ donne $z = j \cdot j^{-2} = j^{-1} = j^2$ ; $w = j^2$ donne $z = 1$, exclu. Le triangle est équilatéral indirect si et seulement si $z = j^2$.
Remarque : $z = 1$ annule les deux expressions alors que les trois points sont confondus ; c'est pourquoi la caractérisation exige deux sommets distincts.