Familles libres, génératrices, bases et dimension

1) Soient $\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{R}$ tels que $\lambda u+\mu v+\nu w_a=0$. En comparant les composantes, on obtient :
$\lambda+2\nu=0$ (première composante) ;
$2\lambda+\mu+3\nu=0$ (deuxième composante) ;
$-\lambda+3\mu+a\nu=0$ (troisième composante).
La première équation donne $\lambda=-2\nu$ ; la deuxième devient $-4\nu+\mu+3\nu=0$, soit $\mu=\nu$ ; la troisième devient $2\nu+3\nu+a\nu=0$, soit $(a+5)\nu=0$.
Si $a\neq -5$, alors $\nu=0$, puis $\lambda=\mu=0$ : la famille $(u,v,w_a)$ est libre. Elle compte $3$ vecteurs et $\mathbb{R}^3$ est de dimension finie $3$ ; une famille libre dont le cardinal est égal à la dimension est une base, donc $(u,v,w_a)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
Si $a=-5$, le choix $\nu=1$, $\mu=1$, $\lambda=-2$ fournit la relation $-2u+v+w_{-5}=0$, à coefficients non tous nuls : la famille est liée, donc ce n'est pas une base.
Conclusion : $(u,v,w_a)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ si et seulement si $a\neq -5$.
2) Pour $a=-5$, la relation précédente donne $w_{-5}=2u-v$. Vérification : $2(1,2,-1)-(0,1,3)=(2,3,-5)$.
Notons $G=\mathrm{Vect}(u,v,w_{-5})$. Théorème de la base extraite : son hypothèse est remplie, puisque $(u,v,w_{-5})$ est, par définition de $G$, une famille génératrice finie de $G$ ; on peut donc extraire de cette famille une base de $G$.
Comme $w_{-5}=2u-v$ appartient à $\mathrm{Vect}(u,v)$, on a $G=\mathrm{Vect}(u,v)$ : la sous-famille $(u,v)$ engendre encore $G$.
Les vecteurs $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires : $v\neq 0$, et l'égalité $u=tv$ imposerait $1=0$ sur la première composante. La famille $(u,v)$ est donc libre.
Ainsi $(u,v)$, extraite de $(u,v,w_{-5})$ en retirant $w_{-5}$, est une base de $G$, et $\dim G=2$.
Le rang de $(u,v,w_{-5})$, qui est la dimension de $G$, vaut donc $2$.

1) Les polynômes $P_0$, $P_1$, $P_2$ appartiennent à $\mathbb{R}_2[X]$ et vérifient $\deg P_0=0$, $\deg P_1=1$ et $\deg P_2=2$. On a donc $\deg P_k=k$ pour $k\in\{0,1,2\}$ : d'après la propriété des familles de polynômes à degrés échelonnés, $\mathcal{B}$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
2) On cherche $(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3$ tel que $Q=\alpha P_0+\beta P_1+\gamma P_2$. Or $\alpha P_0+\beta P_1+\gamma P_2=\gamma X^2+(\beta-\gamma)X+(2\alpha+\beta)$.
La famille $(1,X,X^2)$ étant libre, on identifie les coefficients : $\gamma=3$ ; $\beta-\gamma=1$, donc $\beta=4$ ; $2\alpha+\beta=-4$, donc $\alpha=-4$.
Vérification : $-4\times 2+4(X+1)+3(X^2-X)=3X^2+X-4$.
Les coordonnées de $Q$ dans $\mathcal{B}$ sont $(-4,4,3)$ ; elles sont uniques puisque $\mathcal{B}$ est une base.
3) Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $aP_1+bP_2+cQ=0$. En remplaçant $Q$ par $-4P_0+4P_1+3P_2$, on obtient $-4c\,P_0+(a+4c)P_1+(b+3c)P_2=0$.
La famille $\mathcal{B}$ est libre, donc $-4c=0$, $a+4c=0$ et $b+3c=0$, d'où $c=0$, puis $a=0$ et $b=0$.
La famille $(P_1,P_2,Q)$ est libre et compte $3=\dim\mathbb{R}_2[X]$ vecteurs : c'est une base de $\mathbb{R}_2[X]$, bien que $P_2$ et $Q$ aient le même degré.

1) Pour $(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4$ : $(x,y,z,t)\in F$ si et seulement si $y=-2t$ et $z=x+y=x-2t$, c'est-à-dire si et seulement si $(x,y,z,t)=(x,-2t,x-2t,t)=xf_1+tf_2$, avec $f_1=(1,0,1,0)$ et $f_2=(0,-2,-2,1)$.
Ainsi $F=\mathrm{Vect}(f_1,f_2)$ : c'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$, et $(f_1,f_2)$ en est une famille génératrice.
Liberté : si $xf_1+tf_2=0$, alors $(x,-2t,x-2t,t)=(0,0,0,0)$ ; la première composante donne $x=0$ et la quatrième $t=0$.
Donc $(f_1,f_2)$ est une base de $F$ et $\dim F=2$.
2) Hypothèses du théorème de la base incomplète : $(f_1,f_2)$ est une famille libre de $\mathbb{R}^4$ et $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est une famille génératrice finie de $\mathbb{R}^4$. On peut donc compléter $(f_1,f_2)$ par deux vecteurs de la base canonique, mais le théorème ne dit pas lesquels.
Le choix $(e_1,e_3)$ échoue, car $f_1=e_1+e_3$. Essayons $(e_1,e_2)$ : si $\alpha f_1+\beta f_2+\gamma e_1+\delta e_2=0$, alors $(\alpha+\gamma,-2\beta+\delta,\alpha-2\beta,\beta)=(0,0,0,0)$.
La quatrième composante donne $\beta=0$, la troisième $\alpha=0$, la première $\gamma=0$ et la deuxième $\delta=0$.
La famille $(f_1,f_2,e_1,e_2)$ est libre et compte $4=\dim\mathbb{R}^4$ vecteurs : c'est une base de $\mathbb{R}^4$.
3) Inclusion : $a$ vérifie $1+(-2)-(-1)=0$ et $-2+2\times 1=0$, donc $a\in F$ ; $b$ vérifie $2+2-4=0$ et $2+2\times(-1)=0$, donc $b\in F$. Comme $F$ est un sous-espace vectoriel contenant $a$ et $b$, il contient $\mathrm{Vect}(a,b)$.
Dimension : $a\neq 0$, et l'égalité $b=ka$ imposerait $k=2$ sur la première composante, puis $2=-4$ sur la deuxième, ce qui est absurde. La famille $(a,b)$ est donc libre ; c'est une base de $\mathrm{Vect}(a,b)$, qui est de dimension $2$.
Conclusion : $\mathrm{Vect}(a,b)\subset F$, $F$ est de dimension finie et $\dim\mathrm{Vect}(a,b)=\dim F=2$ ; par le théorème d'égalité par inclusion et dimension, $\mathrm{Vect}(a,b)=F$.

1) Pour $n\geq 1$, on note $H(n)$ la propriété : « pour tous réels $a_1<\dots<a_n$, la famille $(f_{a_1},\dots,f_{a_n})$ est libre ».
Initialisation : $f_{a_1}(0)=1$, donc $f_{a_1}$ n'est pas la fonction nulle, et une famille formée d'un seul vecteur non nul est libre. $H(1)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\geq 2$ tel que $H(n-1)$ soit vraie. Soient $a_1<\dots<a_n$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ tels que $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k f_{a_k}=0$, c'est-à-dire $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k e^{a_k x}=0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
En multipliant par $e^{-a_n x}$, on obtient pour tout réel $x$ : $\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k e^{(a_k-a_n)x}+\lambda_n=0$.
Pour $k\leq n-1$, on a $a_k-a_n<0$, donc $e^{(a_k-a_n)x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En passant à la limite, $\lambda_n=0$.
Il reste $\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k f_{a_k}=0$ avec $a_1<\dots<a_{n-1}$ ; par $H(n-1)$, $\lambda_1=\dots=\lambda_{n-1}=0$. Donc $H(n)$ est vraie.
Conclusion : $H(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
2) Une famille infinie est libre lorsque toutes ses sous-familles finies le sont. La sous-famille vide est libre. Soit $J$ une partie finie non vide de $\mathbb{R}$ ; on range ses éléments dans l'ordre croissant : $J=\{a_1<\dots<a_n\}$. D'après 1), la sous-famille $(f_a)_{a\in J}$ est libre. Donc $(f_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est libre.
3) Par l'absurde, supposons $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de dimension finie $N$. D'après 1), appliquée à $a_k=k$, la famille $(f_1,f_2,\dots,f_{N+1})$ est libre et compte $N+1$ vecteurs. Or, dans un espace de dimension finie $N$, toute famille libre compte au plus $N$ vecteurs : contradiction. Donc $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ n'est pas de dimension finie.

1) Liberté sur $\mathbb{R}$ : soient des réels $\alpha_1,\beta_1,\dots,\alpha_n,\beta_n$ tels que $\sum_{k=1}^{n}(\alpha_k e_k+\beta_k\,ie_k)=0$. Les règles de calcul du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ donnent $\sum_{k=1}^{n}(\alpha_k+i\beta_k)e_k=0$.
La famille $(e_1,\dots,e_n)$ est libre sur $\mathbb{C}$, donc $\alpha_k+i\beta_k=0$ pour tout $k$ ; comme $\alpha_k$ et $\beta_k$ sont réels, les parties réelle et imaginaire donnent $\alpha_k=\beta_k=0$.
Caractère générateur sur $\mathbb{R}$ : soit $x\in E$. Comme $(e_1,\dots,e_n)$ engendre $E$ sur $\mathbb{C}$, il existe $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ tels que $x=\sum_{k=1}^{n}z_k e_k$. En écrivant $z_k=\alpha_k+i\beta_k$ avec $\alpha_k,\beta_k$ réels, on obtient $x=\sum_{k=1}^{n}(\alpha_k e_k+\beta_k\,ie_k)$, combinaison linéaire à coefficients réels.
La famille est donc une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ ; elle compte $2n$ vecteurs, donc $\dim_{\mathbb{R}}E=2n$.
2) Première façon : $\mathbb{C}^3$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $3$ (base canonique), donc $\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}^3=2\times 3=6$.
Seconde façon : le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^3$ est le produit $\mathbb{C}\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ de trois $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, chacun de dimension finie $2$ (base $(1,i)$). La dimension d'un produit d'espaces de dimension finie est la somme de leurs dimensions, donc $\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}^3=2+2+2=6$.
3) Sur $\mathbb{C}$ : $i\,u=(i,i^2)=(i,-1)=v$, donc $i\,u-v=0$ avec des coefficients $(i,-1)\neq(0,0)$ : la famille $(u,v)$ est liée.
Sur $\mathbb{R}$ : soient $a,b$ réels tels que $au+bv=0$. La première composante donne $a+ib=0$, et comme $a$ et $b$ sont réels, $a=b=0$ : la famille $(u,v)$ est libre.
La liberté dépend donc du corps de base : sur $\mathbb{R}$, seuls les multiples réels comptent, et $v$ n'est pas un multiple réel de $u$.

1) Notons $p=\dim F$ et $q=\dim G$. Comme sous-espaces d'un espace de dimension finie, $F$ et $G$ sont de dimension finie ; ils admettent des bases $(f_1,\dots,f_p)$ et $(g_1,\dots,g_q)$, éventuellement vides.
La famille $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ compte $p+q>n$ vecteurs de $E$. Dans un espace de dimension finie $n$, une famille libre compte au plus $n$ vecteurs : cette famille est donc liée.
Il existe ainsi des scalaires $\alpha_1,\dots,\alpha_p,\beta_1,\dots,\beta_q$ non tous nuls tels que $\sum_{i=1}^{p}\alpha_i f_i+\sum_{j=1}^{q}\beta_j g_j=0$. Posons $x=\sum_{i=1}^{p}\alpha_i f_i=-\sum_{j=1}^{q}\beta_j g_j$.
La première écriture montre que $x\in F$ et la seconde que $x\in G$, car un sous-espace est stable par combinaison linéaire. Donc $x\in F\cap G$.
Si l'on avait $x=0$, la liberté de $(f_1,\dots,f_p)$ donnerait tous les $\alpha_i$ nuls, et celle de $(g_1,\dots,g_q)$ tous les $\beta_j$ nuls, ce qui contredit le choix des scalaires. Donc $x\neq 0$ et $F\cap G\neq\{0\}$.
2) Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des polynômes pairs de $\mathbb{R}_4[X]$. Un polynôme $\sum_{k=0}^{4}a_k X^k$ est pair si et seulement si $a_1=a_3=0$, donc $\mathcal{P}=\mathrm{Vect}(1,X^2,X^4)$, qui est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_4[X]$.
La famille $(1,X^2,X^4)$ est une sous-famille de la base canonique, donc elle est libre : c'est une base de $\mathcal{P}$, et $\dim\mathcal{P}=3$.
Soit $F$ un sous-espace de dimension $3$ de $\mathbb{R}_4[X]$. L'espace $\mathbb{R}_4[X]$ est de dimension finie $5$, et $\dim F+\dim\mathcal{P}=6>5$ : les hypothèses de 1) sont réunies, donc $F\cap\mathcal{P}$ contient un polynôme non nul, qui est pair.
3) Comme $F$ est un sous-espace de $E$, qui est de dimension finie, $F$ est de dimension finie et $\dim F\leq\dim E$ ; notons $p=\dim F$, de sorte que $p\leq n$. De plus $F\subset E$ et $F\neq E$ : si l'on avait $\dim F=\dim E$, l'égalité par inclusion et dimension donnerait $F=E$. Donc $p<n$, et on pose $m=n-p\geq 1$.
Soit $(f_1,\dots,f_p)$ une base de $F$, vide si $p=0$. Hypothèses du théorème de la base incomplète : cette famille est libre dans $E$, et une base quelconque de $E$ fournit une famille génératrice finie. On la complète en une base $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_m)$ de $E$, qui compte bien $n$ vecteurs puisque toutes les bases de $E$ ont $n$ vecteurs.
Posons $\mathcal{B}'=(f_1+g_1,\dots,f_p+g_1,g_1,\dots,g_m)$, famille de $n$ vecteurs.
Aucun $g_j$ n'appartient à $F$ : sinon $g_j$ serait combinaison linéaire de $f_1,\dots,f_p$, et la base $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_m)$ serait liée.
Aucun $f_i+g_1$ n'appartient à $F$ : sinon $g_1=(f_i+g_1)-f_i$ serait dans $F$, ce qui vient d'être exclu.
Enfin $\mathrm{Vect}(\mathcal{B}')$ contient les $g_j$ et les $f_i=(f_i+g_1)-g_1$ ; il contient donc une base de $E$, et il est égal à $E$. La famille $\mathcal{B}'$ est génératrice de $E$ et compte $n=\dim E$ vecteurs : c'est une base de $E$, et aucun de ses vecteurs n'appartient à $F$.