Grand classique · FonctionsTerminale

Les limites et les formes indéterminées

Reconnaître une forme indéterminée, savoir la lever, interpréter le résultat : la boîte à outils complète pour toutes les limites du bac.

Au moins une question dans 18 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Limites et continuité, Suites numériques, Fonction logarithme

Pourquoi c'est partout

Une limite se cache dans presque chaque exercice d'analyse : aux bornes d'un tableau de variations, dans l'étude d'une suite, dans une asymptote, dans un modèle (« à long terme, la température se stabilise à… »).

La bonne nouvelle : il n'y a que quatre formes indéterminées, et chacune se lève avec un petit nombre de techniques toujours les mêmes. La démarche est donc mécanique : essayer les opérations, repérer l'indétermination si elle apparaît, puis appliquer la bonne technique.

Ce qu'il faut savoir

Les limites de référence

En $+\infty$ :

x

x^2

x^n

\sqrt{x}

e^{x}

\ln x

tendent vers

+\infty

;

\dfrac{1}{x}

\dfrac{1}{x^2}

tendent vers

0

.

En $-\infty$ :

e^{x}

tend vers

0

;

x^2

tend vers

+\infty

;

x^3

tend vers

-\infty

.

En $0$ par valeurs positives :

\dfrac{1}{x}

tend vers

+\infty

\ln x

vers

-\infty

.

Suite géométrique

q^n

: si

q > 1

, elle tend vers

+\infty

; si

-1 < q < 1

, elle tend vers

0

; si

q = 1

, elle est constante ; si

q \leq -1

, elle n'a pas de limite.

Les opérations et les 4 indéterminations

Les opérations « intuitives » marchent :

+\infty + (+\infty) = +\infty

, un nombre divisé par

\pm\infty

donne

0

, un produit de deux infinis est infini (règle des signes).

Un nombre non nul divisé par une quantité qui tend vers

0

donne

\pm\infty

: le signe dépend du côté d'où l'on arrive.

Les quatre formes indéterminées, où l'on ne peut pas conclure directement : «

\infty - \infty

», «

0 \times \infty

», «

\dfrac{\infty}{\infty}

» et «

\dfrac{0}{0}

».

Les croissances comparées

À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$ , qui l'emportent sur le logarithme. À connaître par cœur :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty

\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

\lim_{x \to 0} x \ln x = 0

Elles restent vraies avec

x^n

à la place de

x

Comparaison et gendarmes

Comparaison : si

f(x) \geq g(x)

\lim g = +\infty

, alors

\lim f = +\infty

. Vers

-\infty

, on majore : si

f(x) \leq g(x)

\lim g = -\infty

, alors

\lim f = -\infty

.

Gendarmes : si

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

et si

g

h

ont la même limite

\ell

, alors

f

tend aussi vers

\ell

.

Utile dès qu'apparaît

\sin x

\cos x

(-1)^n

, qui oscillent mais restent entre

-1

1

Limite d'une composée

Pour

g(u(x))

, on procède en deux temps : on cherche d'abord la limite

b

u(x)

, puis la limite de

g(X)

quand

X

tend vers

b

.

Exemple : quand

x \to +\infty

X = \dfrac{1}{x} \to 0

, et

e^{X} \to e^{0} = 1

. Donc

e^{1/x} \to 1

Les questions types

1
Limite d'un polynôme ou d'un quotient de polynômes en $\pm\infty$
Forme « $\infty - \infty$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » dès que des termes de signes contraires ou un quotient apparaissent.
1. Mettre en facteur le terme de plus haut degré, au numérateur et au dénominateur.

2. Simplifier : il reste des termes en $\dfrac{1}{x}$ , $\dfrac{1}{x^2}$ … qui tendent vers $0$ .

3. Conclure. Pour un quotient, la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
2
Forme indéterminée avec une exponentielle ou un logarithme
Le plus fréquent au bac : $x - e^{x}$ , $x\,e^{-x}$ , $\dfrac{\ln x}{x^2}$ …
1. Repérer le terme qui « gagne » (l'exponentielle, devant les puissances, devant le logarithme).

2. Le mettre en facteur pour faire apparaître une croissance comparée connue.

3. Conclure avec les opérations sur les limites.
Fiche détaillée :Croissances comparées en $0$ ou en $+\infty$
3
Limite en une valeur interdite
Le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur vers un nombre non nul : la limite est infinie, tout est dans le signe.
1. Calculer la limite du numérateur (un nombre non nul).

2. Étudier le signe du dénominateur de chaque côté de la valeur : on note $0^+$ ou $0^-$ .

3. Appliquer la règle des signes, puis conclure à une asymptote verticale.
4
Limite d'une fonction composée
Une exponentielle, un logarithme ou une racine d'une expression : $e^{-x^2}$ , $\ln(1 + \tfrac{1}{x})$ …
1. Poser $X = u(x)$ (ce qui est « à l'intérieur ») et calculer sa limite $b$ .

2. Chercher la limite de $g(X)$ quand $X$ tend vers $b$ .

3. Rédiger les deux étapes, puis conclure « par composition ».
5
Expression contenant $\sin x$ , $\cos x$ ou $(-1)^n$
Ces termes n'ont pas de limite : on ne peut pas utiliser les opérations, il faut encadrer.
1. Partir de $-1 \leq \sin x \leq 1$ (ou de l'encadrement adapté).

2. Transformer l'encadrement pas à pas jusqu'à obtenir l'expression étudiée au milieu (attention au sens si on multiplie par un négatif).

3. Conclure par le théorème des gendarmes ou de comparaison.
6
Limite d'une suite
Suite donnée par une formule ( $u_n = 3 - 2 \times 0{,}8^n$ ) ou suite convergente dont on cherche la limite.
1. Avec une formule explicite : mêmes techniques que pour les fonctions, avec $q^n$ en plus.

2. Pour une suite géométrique, regarder la raison : $-1 < q < 1$ donne $q^n \to 0$ .

3. Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ convergente : sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ .
Guide complet :Variations et limite d'une suite
7
« Interpréter graphiquement »
Toujours juste après un calcul de limite de fonction.
1. Limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ : asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ .

2. Limite infinie en un réel $a$ : asymptote verticale d'équation $x = a$ .

3. Écrire l'équation de la droite : c'est elle qui rapporte le point.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Déterminer les limites suivantes en

+\infty

:

a.

f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1}

g(x) = x - e^{x}

h(x) = e^{1/x}

Rédaction

a. Le numérateur et le dénominateur tendent vers

+\infty

: forme indéterminée «

\dfrac{\infty}{\infty}

». On met

x^2

, le terme de plus haut degré, en facteur en haut et en bas (pour

x \neq 0

) :

f(x) = \dfrac{x^2\left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)}

On simplifie par

x^2

f(x) = \dfrac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}}

Quand

x \to +\infty

\dfrac{3}{x}

\dfrac{1}{x^2}

tendent vers

0

. Le numérateur tend vers

2

et le dénominateur vers

1

, donc :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2

Interprétation : la droite d'équation

y = 2

est asymptote horizontale à la courbe de

f

+\infty

x \to +\infty

e^{x} \to +\infty

: on a «

+\infty - (+\infty)

», forme indéterminée. L'exponentielle l'emporte : on la met en facteur.

g(x) = e^{x}\left(\dfrac{x}{e^{x}} - 1\right)

(on vérifie en redéveloppant :

e^{x} \times \dfrac{x}{e^{x}} = x

.)

Par croissances comparées,

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty

, donc son inverse

\dfrac{x}{e^{x}}

tend vers

0

. La parenthèse tend vers

0 - 1 = -1

.

On a donc un produit «

+\infty \times (-1)

» :

\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty

c. C'est une composée. Étape 1 :

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0

. Étape 2 : on pose

X = \dfrac{1}{x}

; quand

X \to 0

e^{X} \to e^{0} = 1

.

Par composition :

\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1

Exemple Terminale

1. Soit

k(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}

, définie sur

\mathbb{R} \setminus \{2\}

. Déterminer les limites de

k

2

, à gauche et à droite, et les interpréter.

2. Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x}

Rédaction

1. Numérateur : quand

x \to 2

x + 1 \to 3

, un nombre non nul.

Dénominateur :

x - 2 \to 0

. Il faut son signe :

si

x > 2

, alors

x - 2 > 0

: il tend vers

0^+

;

si

x < 2

, alors

x - 2 < 0

: il tend vers

0^-

.

On divise

3

par un nombre très petit : le résultat est infini, avec le signe donné par la règle des signes.

\lim_{x \to 2^+} k(x) = +\infty

\lim_{x \to 2^-} k(x) = -\infty

Interprétation : la droite d'équation

x = 2

est asymptote verticale à la courbe de

k

\sin x

n'a pas de limite en

+\infty

(il oscille) : on encadre. Pour tout réel

x

-1 \leq \sin x \leq 1

On ajoute

2

aux trois membres :

1 \leq 2 + \sin x \leq 3

Pour

x > 0

, on divise par

x

, qui est positif, donc le sens des inégalités ne change pas :

\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{2 + \sin x}{x} \leq \dfrac{3}{x}

\dfrac{1}{x}

\dfrac{3}{x}

tendent tous les deux vers

0

+\infty

. D'après le théorème des gendarmes :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x} = 0

Pièges classiques

Écrire « $\infty - \infty = 0$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ » : ce sont des formes indéterminées, le résultat peut être n'importe quoi. Il faut transformer l'expression.
Oublier le signe du dénominateur en une valeur interdite : « $\dfrac{3}{0}$ » ne veut rien dire ; il faut préciser $0^+$ ou $0^-$ , de chaque côté.
Factoriser par le mauvais terme : on met en facteur le terme dominant ( $e^{x}$ devant $x$ , $x^2$ devant $x$ ), sinon l'indétermination reste.
Multiplier un encadrement par un nombre négatif sans changer le sens des inégalités.
Utiliser les gendarmes avec deux limites différentes : les deux fonctions qui encadrent doivent avoir la même limite.
Citer une croissance comparée sans la nommer : écrire « par croissances comparées » avant le résultat.

Avant de rendre la copie

J'ai d'abord essayé les opérations, et j'ai nommé la forme indéterminée si elle apparaît.
Chaque transformation (factorisation, simplification) est écrite sur sa propre ligne.
Les croissances comparées et le théorème des gendarmes sont cités par leur nom.
En une valeur interdite, j'ai traité la gauche et la droite séparément.
Chaque limite de fonction est interprétée (asymptote et son équation) quand c'est demandé.

Chargement…

Pourquoi c'est partout

Ce qu'il faut savoir

Les limites de référence

En $+\infty$ :

x

x^2

x^n

\sqrt{x}

e^{x}

\ln x

tendent vers

+\infty

;

\dfrac{1}{x}

\dfrac{1}{x^2}

tendent vers

0

.

En $-\infty$ :

e^{x}

tend vers

0

;

x^2

tend vers

+\infty

;

x^3

tend vers

-\infty

.

En $0$ par valeurs positives :

\dfrac{1}{x}

tend vers

+\infty

\ln x

vers

-\infty

.

Suite géométrique

q^n

: si

q > 1

, elle tend vers

+\infty

; si

-1 < q < 1

, elle tend vers

0

; si

q = 1

, elle est constante ; si

q \leq -1

, elle n'a pas de limite.

Les opérations et les 4 indéterminations

Les opérations « intuitives » marchent :

+\infty + (+\infty) = +\infty

, un nombre divisé par

\pm\infty

donne

0

, un produit de deux infinis est infini (règle des signes).

Un nombre non nul divisé par une quantité qui tend vers

0

donne

\pm\infty

: le signe dépend du côté d'où l'on arrive.

Les quatre formes indéterminées, où l'on ne peut pas conclure directement : «

\infty - \infty

», «

0 \times \infty

», «

\dfrac{\infty}{\infty}

» et «

\dfrac{0}{0}

».

Les croissances comparées

À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$ , qui l'emportent sur le logarithme. À connaître par cœur :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty

\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

\lim_{x \to 0} x \ln x = 0

Elles restent vraies avec

x^n

à la place de

x

Comparaison et gendarmes

Comparaison : si

f(x) \geq g(x)

\lim g = +\infty

, alors

\lim f = +\infty

. Vers

-\infty

, on majore : si

f(x) \leq g(x)

\lim g = -\infty

, alors

\lim f = -\infty

.

Gendarmes : si

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

et si

g

h

ont la même limite

\ell

, alors

f

tend aussi vers

\ell

.

Utile dès qu'apparaît

\sin x

\cos x

(-1)^n

, qui oscillent mais restent entre

-1

1

Limite d'une composée

Pour

g(u(x))

, on procède en deux temps : on cherche d'abord la limite

b

u(x)

, puis la limite de

g(X)

quand

X

tend vers

b

.

Exemple : quand

x \to +\infty

X = \dfrac{1}{x} \to 0

, et

e^{X} \to e^{0} = 1

. Donc

e^{1/x} \to 1

Les questions types

Limite d'un polynôme ou d'un quotient de polynômes en

\pm\infty

Forme «

\infty - \infty

» ou «

\dfrac{\infty}{\infty}

» dès que des termes de signes contraires ou un quotient apparaissent.

1. Mettre en facteur le terme de plus haut degré, au numérateur et au dénominateur.

2. Simplifier : il reste des termes en

\dfrac{1}{x}

\dfrac{1}{x^2}

… qui tendent vers

0

.

3. Conclure. Pour un quotient, la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Forme indéterminée avec une exponentielle ou un logarithme

Le plus fréquent au bac :

x - e^{x}

x\,e^{-x}

\dfrac{\ln x}{x^2}

…

1. Repérer le terme qui « gagne » (l'exponentielle, devant les puissances, devant le logarithme).

2. Le mettre en facteur pour faire apparaître une croissance comparée connue.

3. Conclure avec les opérations sur les limites.

Fiche détaillée :Croissances comparées en

0

ou en

+\infty

Limite en une valeur interdite

Le dénominateur tend vers

0

et le numérateur vers un nombre non nul : la limite est infinie, tout est dans le signe.

1. Calculer la limite du numérateur (un nombre non nul).

2. Étudier le signe du dénominateur de chaque côté de la valeur : on note

0^+

0^-

.

3. Appliquer la règle des signes, puis conclure à une asymptote verticale.

Limite d'une fonction composée

Une exponentielle, un logarithme ou une racine d'une expression :

e^{-x^2}

\ln(1 + \tfrac{1}{x})

…

1. Poser

X = u(x)

(ce qui est « à l'intérieur ») et calculer sa limite

b

.

2. Chercher la limite de

g(X)

quand

X

tend vers

b

.

3. Rédiger les deux étapes, puis conclure « par composition ».

Expression contenant

\sin x

\cos x

(-1)^n

Ces termes n'ont pas de limite : on ne peut pas utiliser les opérations, il faut encadrer.

1. Partir de

-1 \leq \sin x \leq 1

(ou de l'encadrement adapté).

2. Transformer l'encadrement pas à pas jusqu'à obtenir l'expression étudiée au milieu (attention au sens si on multiplie par un négatif).

3. Conclure par le théorème des gendarmes ou de comparaison.

Limite d'une suite

Suite donnée par une formule (

u_n = 3 - 2 \times 0{,}8^n

) ou suite convergente dont on cherche la limite.

1. Avec une formule explicite : mêmes techniques que pour les fonctions, avec

q^n

en plus.

2. Pour une suite géométrique, regarder la raison :

-1 < q < 1

donne

q^n \to 0

.

3. Pour une suite

u_{n+1} = f(u_n)

convergente : sa limite

\ell

vérifie

f(\ell) = \ell

Guide complet :Variations et limite d'une suite

« Interpréter graphiquement »

Toujours juste après un calcul de limite de fonction.

1. Limite finie

\ell

\pm\infty

: asymptote horizontale d'équation

y = \ell

.

2. Limite infinie en un réel

a

: asymptote verticale d'équation

x = a

.

3. Écrire l'équation de la droite : c'est elle qui rapporte le point.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Déterminer les limites suivantes en

+\infty

:

a.

f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1}

g(x) = x - e^{x}

h(x) = e^{1/x}

Rédaction

a. Le numérateur et le dénominateur tendent vers

+\infty

: forme indéterminée «

\dfrac{\infty}{\infty}

». On met

x^2

, le terme de plus haut degré, en facteur en haut et en bas (pour

x \neq 0

) :

f(x) = \dfrac{x^2\left(2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)}

On simplifie par

x^2

f(x) = \dfrac{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}}

Quand

x \to +\infty

\dfrac{3}{x}

\dfrac{1}{x^2}

tendent vers

0

. Le numérateur tend vers

2

et le dénominateur vers

1

, donc :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2

Interprétation : la droite d'équation

y = 2

est asymptote horizontale à la courbe de

f

+\infty

x \to +\infty

e^{x} \to +\infty

: on a «

+\infty - (+\infty)

», forme indéterminée. L'exponentielle l'emporte : on la met en facteur.

g(x) = e^{x}\left(\dfrac{x}{e^{x}} - 1\right)

(on vérifie en redéveloppant :

e^{x} \times \dfrac{x}{e^{x}} = x

.)

Par croissances comparées,

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty

, donc son inverse

\dfrac{x}{e^{x}}

tend vers

0

. La parenthèse tend vers

0 - 1 = -1

.

On a donc un produit «

+\infty \times (-1)

» :

\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty

c. C'est une composée. Étape 1 :

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0

. Étape 2 : on pose

X = \dfrac{1}{x}

; quand

X \to 0

e^{X} \to e^{0} = 1

.

Par composition :

\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1

Exemple Terminale

1. Soit

k(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}

, définie sur

\mathbb{R} \setminus \{2\}

. Déterminer les limites de

k

2

, à gauche et à droite, et les interpréter.

2. Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x}

Rédaction

1. Numérateur : quand

x \to 2

x + 1 \to 3

, un nombre non nul.

Dénominateur :

x - 2 \to 0

. Il faut son signe :

si

x > 2

, alors

x - 2 > 0

: il tend vers

0^+

;

si

x < 2

, alors

x - 2 < 0

: il tend vers

0^-

.

On divise

3

par un nombre très petit : le résultat est infini, avec le signe donné par la règle des signes.

\lim_{x \to 2^+} k(x) = +\infty

\lim_{x \to 2^-} k(x) = -\infty

Interprétation : la droite d'équation

x = 2

est asymptote verticale à la courbe de

k

\sin x

n'a pas de limite en

+\infty

(il oscille) : on encadre. Pour tout réel

x

-1 \leq \sin x \leq 1

On ajoute

2

aux trois membres :

1 \leq 2 + \sin x \leq 3

Pour

x > 0

, on divise par

x

, qui est positif, donc le sens des inégalités ne change pas :

\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{2 + \sin x}{x} \leq \dfrac{3}{x}

\dfrac{1}{x}

\dfrac{3}{x}

tendent tous les deux vers

0

+\infty

. D'après le théorème des gendarmes :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x} = 0

Pièges classiques

Écrire « $\infty - \infty = 0$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ » : ce sont des formes indéterminées, le résultat peut être n'importe quoi. Il faut transformer l'expression.

Oublier le signe du dénominateur en une valeur interdite : «

\dfrac{3}{0}

» ne veut rien dire ; il faut préciser

0^+

0^-

, de chaque côté.

Factoriser par le mauvais terme : on met en facteur le terme dominant (

e^{x}

devant

x

x^2

devant

x

), sinon l'indétermination reste.

Multiplier un encadrement par un nombre négatif sans changer le sens des inégalités.

Utiliser les gendarmes avec deux limites différentes : les deux fonctions qui encadrent doivent avoir la même limite.

Citer une croissance comparée sans la nommer : écrire « par croissances comparées » avant le résultat.

Avant de rendre la copie

J'ai d'abord essayé les opérations, et j'ai nommé la forme indéterminée si elle apparaît.

Chaque transformation (factorisation, simplification) est écrite sur sa propre ligne.

Les croissances comparées et le théorème des gendarmes sont cités par leur nom.

En une valeur interdite, j'ai traité la gauche et la droite séparément.

Chaque limite de fonction est interprétée (asymptote et son équation) quand c'est demandé.