Grand classique · Suites1reTerminale

Variations et limite d'une suite

Arithmétique ou géométrique, croissante ou pas, convergente vers quoi : tout ce qu'on demande sur une suite, des premières questions de 1re aux limites de Terminale.

Au moins une question dans 21 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Suites : généralités, Suites arithmétiques et géométriques, Suites numériques

Pourquoi c'est partout

Une suite apparaît dans presque tous les sujets : un exercice entier, une partie B après une fonction, ou une modélisation (population, épargne, médicament…).

Les questions arrivent toujours dans le même ordre : calculer des termes, reconnaître la nature de la suite, étudier son sens de variation, montrer qu'elle converge, trouver sa limite, et souvent un algorithme de seuil. En 1re, on s'arrête au sens de variation et aux sommes ; en Terminale, la convergence et la limite deviennent le cœur de l'exercice.

Ce qu'il faut savoir

Suites arithmétiques et géométriques

Arithmétique de raison

r

: on ajoute

r

à chaque étape.

u_{n+1} = u_n + r

u_n = u_0 + nr

Géométrique de raison

q

: on multiplie par

q

à chaque étape.

u_{n+1} = q\,u_n

u_n = u_0 \times q^n

Une hausse de

4\,\%

revient à multiplier par

1{,}04

; une baisse de

15\,\%

, par

0{,}85

Les deux sommes à connaître

Entiers consécutifs :

1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Puissances consécutives (pour

q \neq 1

) :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Pour une suite géométrique, on factorise par le premier terme :

u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

. Le nombre de termes est

n + 1

Étudier le sens de variation

Méthode 1 : étudier le signe de

u_{n+1} - u_n

. Positif pour tout

n

: suite croissante.

Méthode 2 (termes strictement positifs) : comparer

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

1

.

Méthode 3 : si

u_n = f(n)

, les variations de

f

sur

[0\,;+\infty[

donnent celles de la suite.

Méthode 4 (Terminale) : par récurrence, pour une suite

u_{n+1} = f(u_n)

.

Une suite géométrique de premier terme positif est croissante si

q > 1

, décroissante si

0 < q < 1

Convergence (Terminale)

Théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge.

Attention : le majorant n'est pas forcément la limite. Une suite majorée par

10

peut converger vers

2

.

Une suite croissante non majorée tend vers

+\infty

.

Suite géométrique : si

-1 < q < 1

q^n \to 0

; si

q > 1

q^n \to +\infty

Trouver la limite (Terminale)

u_{n+1} = f(u_n)

, que

(u_n)

converge vers

\ell

et que

f

est continue, alors :

f(\ell) = \ell

On résout cette équation, puis on écarte les solutions impossibles (par exemple une solution négative alors que tous les termes sont positifs).

Avec une formule explicite

u_n = \dots

, on calcule directement la limite.

Comparaison et gendarmes (Terminale)

Comparaison (limite infinie) : si

u_n \geq v_n

à partir d'un certain rang et si

v_n \to +\infty

, alors

u_n \to +\infty

. Vers

-\infty

, on majore : si

u_n \leq v_n

v_n \to -\infty

, alors

u_n \to -\infty

.

Gendarmes (limite finie) : si

v_n \leq u_n \leq w_n

à partir d'un certain rang, et si

v_n

w_n

ont la même limite

\ell

, alors

u_n \to \ell

.

Le réflexe : dès qu'un

\sin n

, un

\cos n

ou un

(-1)^n

apparaît, on l'encadre entre

-1

1

, puis on répercute l'encadrement sur toute l'expression.

Les questions types

1
« Montrer que la suite est arithmétique » ou « géométrique »
Souvent sur une suite auxiliaire $v_n$ construite à partir de $u_n$ .
1. Arithmétique : calculer $u_{n+1} - u_n$ et montrer que c'est une constante (qui ne dépend pas de $n$ ).

2. Géométrique : écrire $u_{n+1}$ , et le transformer jusqu'à obtenir $q \times u_n$ , avec $q$ constant.

3. Conclure en donnant la raison et le premier terme.
Fiche détaillée :La suite auxiliaire géométrique ( $v_n = u_n - \ell$ )
2
« Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ » ou « calculer la somme $S_n$ »
Juste après avoir reconnu une suite arithmétique ou géométrique.
1. Appliquer la formule explicite : $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^n$ .

2. Pour une somme, compter les termes puis appliquer la bonne formule.

3. Vérifier sur $n = 0$ ou $n = 1$ que la formule donne le bon terme.
3
« Étudier le sens de variation de $(u_n)$ »
En 1re comme en Terminale. La forme de la suite dicte la méthode.
1. Suite donnée par $u_n = f(n)$ : étudier $u_{n+1} - u_n$ , ou les variations de $f$ .

2. Suite arithmétique ou géométrique : regarder le signe de $r$ , ou la valeur de $q$ .

3. Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ (Terminale) : récurrence.
Guide complet :Le raisonnement par récurrence
4
« Montrer que $(u_n)$ est convergente »
Terminale
Terminale. On ne demande pas encore la limite : c'est le théorème de la limite monotone.
1. Rappeler (ou démontrer) que la suite est monotone et bornée du bon côté.

2. Citer le théorème : « croissante et majorée, donc convergente ».

3. Ne pas affirmer de valeur de limite à ce stade.
5
« Déterminer la limite de $(u_n)$ »
Terminale
Terminale. Juste après la convergence, ou directement si on a une formule explicite.
1. Avec une formule explicite : opérations sur les limites, limite de $q^n$ .

2. Avec $u_{n+1} = f(u_n)$ : résoudre $f(\ell) = \ell$ , puis écarter les solutions impossibles.

3. Avec un terme qui oscille ou une inégalité donnée par l'énoncé : gendarmes pour une limite finie, comparaison pour une limite infinie.

4. Conclure par une phrase qui cite le théorème employé.
Fiche détaillée :Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie et convergence
6
« Déterminer le plus petit $n$ tel que… » ou compléter un algorithme de seuil
Fin d'exercice, souvent avec un programme Python à compléter.
1. Comprendre ce que contient chaque variable (le rang $n$ , le terme $u$ ).

2. La boucle while continue tant que le seuil n'est pas atteint : sa condition est le contraire de ce qu'on cherche.

3. Vérifier en déroulant les premiers tours à la main.
Fiche détaillée :Algorithme Python : trouver un seuil par une boucle « tant que »

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Une plateforme compte

1\,200

abonnés en janvier. Chaque mois, le nombre d'abonnés augmente de

4\,\%

. On note

u_n

le nombre d'abonnés

n

mois après janvier, donc

u_0 = 1\,200

.

1. Montrer que

(u_n)

est géométrique et exprimer

u_n

en fonction de

n

.

2. Étudier le sens de variation de

(u_n)

.

3. Calculer

u_0 + u_1 + \dots + u_{11}

, arrondi à l'unité. Que représente ce nombre ?

Rédaction

1. Augmenter de

4\,\%

, c'est multiplier par

1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04

. Donc, pour tout entier naturel

n

u_{n+1} = 1{,}04 \times u_n

(u_n)

est géométrique de raison

q = 1{,}04

et de premier terme

u_0 = 1\,200

. D'après la formule

u_n = u_0 \times q^n

u_n = 1\,200 \times 1{,}04^n

2. On étudie le signe de

u_{n+1} - u_n

u_{n+1} - u_n = 1{,}04\,u_n - u_n = 0{,}04\,u_n

(on a mis

u_n

en facteur :

1{,}04\,u_n - 1 \times u_n = (1{,}04 - 1)\,u_n

.)

Or

u_n = 1\,200 \times 1{,}04^n > 0

, donc

u_{n+1} - u_n > 0

: la suite

(u_n)

est strictement croissante.

3. On compte les termes : de

u_0

u_{11}

, il y en a

12

(de

0

11

inclus). On factorise par le premier terme :

S = 1\,200 \times (1 + 1{,}04 + \dots + 1{,}04^{11})

On applique la formule des puissances consécutives avec

q = 1{,}04

et le dernier exposant

11

S = 1\,200 \times \dfrac{1 - 1{,}04^{12}}{1 - 1{,}04}

À la calculatrice,

1{,}04^{12} \approx 1{,}601\,03

, donc

S \approx 1\,200 \times \dfrac{-0{,}601\,03}{-0{,}04} \approx 18\,031

.

Interprétation : si chaque abonné paie un mois d'abonnement chaque mois, c'est le nombre total de mensualités encaissées de janvier à décembre, environ

18\,031

Exemple Terminale

Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 1

u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

. On a démontré par récurrence que pour tout entier naturel

n

0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2

1. Montrer que la suite

(u_n)

converge.

2. Déterminer sa limite.

Rédaction

1. D'après l'encadrement,

u_n \leq u_{n+1}

pour tout

n

: la suite est croissante. Et

u_n \leq 2

pour tout

n

: elle est majorée par

2

.

D'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante et majorée converge :

(u_n)

converge vers un réel

\ell

2. On a

u_{n+1} = f(u_n)

avec

f(x) = \sqrt{x + 2}

, fonction continue sur

[-2\,;+\infty[

. La limite

\ell

vérifie donc

f(\ell) = \ell

\sqrt{\ell + 2} = \ell

Signe de $\ell$ . Tous les termes sont dans

[0\,;2]

, donc la limite aussi :

0 \leq \ell \leq 2

. Comme

\ell \geq 0

, on peut élever les deux membres au carré sans perdre d'information :

\ell + 2 = \ell^2

\ell^2 - \ell - 2 = 0

C'est une équation du second degré, avec

a = 1

b = -1

c = -2

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9

\Delta > 0

\sqrt{9} = 3

: deux solutions,

\dfrac{1 - 3}{2} = -1

\dfrac{1 + 3}{2} = 2

.

On écarte

-1

, car

\ell \geq 0

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 2

Pièges classiques

Confondre le majorant et la limite : « majorée par $2$ » ne prouve pas que la limite vaut $2$ ; il faut résoudre $f(\ell) = \ell$ .
Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de $u_0$ à $u_{11}$ , il y a $12$ termes, pas $11$ .
Traduire une hausse de $4\,\%$ par « $+ 0{,}04$ » : c'est une multiplication par $1{,}04$ .
Oublier d'écarter une solution de $f(\ell) = \ell$ : il faut justifier pourquoi on garde l'une et pas l'autre.
Montrer qu'une suite est géométrique avec $u_1$ et $u_2$ seulement : quelques termes ne suffisent pas, il faut un calcul pour tout $n$ .
Conclure « converge » sans citer le théorème de la limite monotone.
Appliquer les gendarmes avec deux bornes de limites différentes : de $-1 \leq u_n \leq 1$ on ne tire rien, il faut deux suites qui tendent vers le même nombre.

Avant de rendre la copie

La nature de la suite est donnée avec sa raison et son premier terme.
La formule de somme est appliquée après avoir compté les termes.
Le sens de variation est justifié par un calcul pour tout $n$ .
La convergence cite le théorème de la limite monotone.
La limite est obtenue par $f(\ell) = \ell$ (ou une formule explicite), et les solutions impossibles sont écartées.
Un encadrement ou une minoration conclut en citant le théorème des gendarmes ou de comparaison.

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Variations et limite d'une suite

Arithmétique ou géométrique, croissante ou pas, convergente vers quoi : tout ce qu'on demande sur une suite, des premières questions de 1re aux limites de Terminale.

Au moins une question dans 21 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Suites : généralités, Suites arithmétiques et géométriques, Suites numériques

Pourquoi c'est partout

Ce qu'il faut savoir

Suites arithmétiques et géométriques

Arithmétique de raison

r

: on ajoute

r

à chaque étape.

u_{n+1} = u_n + r

u_n = u_0 + nr

Géométrique de raison

q

: on multiplie par

q

à chaque étape.

u_{n+1} = q\,u_n

u_n = u_0 \times q^n

Une hausse de

4\,\%

revient à multiplier par

1{,}04

; une baisse de

15\,\%

, par

0{,}85

Les deux sommes à connaître

Entiers consécutifs :

1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Puissances consécutives (pour

q \neq 1

) :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Pour une suite géométrique, on factorise par le premier terme :

u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

. Le nombre de termes est

n + 1

Étudier le sens de variation

Méthode 1 : étudier le signe de

u_{n+1} - u_n

. Positif pour tout

n

: suite croissante.

Méthode 2 (termes strictement positifs) : comparer

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

1

.

Méthode 3 : si

u_n = f(n)

, les variations de

f

sur

[0\,;+\infty[

donnent celles de la suite.

Méthode 4 (Terminale) : par récurrence, pour une suite

u_{n+1} = f(u_n)

.

Une suite géométrique de premier terme positif est croissante si

q > 1

, décroissante si

0 < q < 1

Convergence (Terminale)

10

peut converger vers

2

.

Une suite croissante non majorée tend vers

+\infty

.

Suite géométrique : si

-1 < q < 1

q^n \to 0

; si

q > 1

q^n \to +\infty

Trouver la limite (Terminale)

u_{n+1} = f(u_n)

, que

(u_n)

converge vers

\ell

et que

f

est continue, alors :

f(\ell) = \ell

On résout cette équation, puis on écarte les solutions impossibles (par exemple une solution négative alors que tous les termes sont positifs).

Avec une formule explicite

u_n = \dots

, on calcule directement la limite.

Comparaison et gendarmes (Terminale)

Comparaison (limite infinie) : si

u_n \geq v_n

à partir d'un certain rang et si

v_n \to +\infty

, alors

u_n \to +\infty

. Vers

-\infty

, on majore : si

u_n \leq v_n

v_n \to -\infty

, alors

u_n \to -\infty

.

Gendarmes (limite finie) : si

v_n \leq u_n \leq w_n

à partir d'un certain rang, et si

v_n

w_n

ont la même limite

\ell

, alors

u_n \to \ell

.

Le réflexe : dès qu'un

\sin n

, un

\cos n

ou un

(-1)^n

apparaît, on l'encadre entre

-1

1

, puis on répercute l'encadrement sur toute l'expression.

Les questions types

« Montrer que la suite est arithmétique » ou « géométrique »

Souvent sur une suite auxiliaire

v_n

construite à partir de

u_n

1. Arithmétique : calculer

u_{n+1} - u_n

et montrer que c'est une constante (qui ne dépend pas de

n

).

2. Géométrique : écrire

u_{n+1}

, et le transformer jusqu'à obtenir

q \times u_n

, avec

q

constant.

3. Conclure en donnant la raison et le premier terme.

Fiche détaillée :La suite auxiliaire géométrique (

v_n = u_n - \ell

)

« Exprimer

u_n

en fonction de

n

» ou « calculer la somme

S_n

Juste après avoir reconnu une suite arithmétique ou géométrique.

1. Appliquer la formule explicite :

u_n = u_0 + nr

u_n = u_0 \times q^n

.

2. Pour une somme, compter les termes puis appliquer la bonne formule.

3. Vérifier sur

n = 0

n = 1

que la formule donne le bon terme.

« Étudier le sens de variation de

(u_n)

En 1re comme en Terminale. La forme de la suite dicte la méthode.

1. Suite donnée par

u_n = f(n)

: étudier

u_{n+1} - u_n

, ou les variations de

f

.

2. Suite arithmétique ou géométrique : regarder le signe de

r

, ou la valeur de

q

.

3. Suite

u_{n+1} = f(u_n)

(Terminale) : récurrence.

Guide complet :Le raisonnement par récurrence

« Montrer que

(u_n)

est convergente »

Terminale

Terminale. On ne demande pas encore la limite : c'est le théorème de la limite monotone.

1. Rappeler (ou démontrer) que la suite est monotone et bornée du bon côté.

2. Citer le théorème : « croissante et majorée, donc convergente ».

3. Ne pas affirmer de valeur de limite à ce stade.

« Déterminer la limite de

(u_n)

Terminale

Terminale. Juste après la convergence, ou directement si on a une formule explicite.

1. Avec une formule explicite : opérations sur les limites, limite de

q^n

.

2. Avec

u_{n+1} = f(u_n)

: résoudre

f(\ell) = \ell

, puis écarter les solutions impossibles.

3. Avec un terme qui oscille ou une inégalité donnée par l'énoncé : gendarmes pour une limite finie, comparaison pour une limite infinie.

4. Conclure par une phrase qui cite le théorème employé.

Fiche détaillée :Suite

u_{n+1} = f(u_n)

: monotonie et convergence

« Déterminer le plus petit

n

tel que… » ou compléter un algorithme de seuil

Fin d'exercice, souvent avec un programme Python à compléter.

1. Comprendre ce que contient chaque variable (le rang

n

, le terme

u

).

2. La boucle while continue tant que le seuil n'est pas atteint : sa condition est le contraire de ce qu'on cherche.

3. Vérifier en déroulant les premiers tours à la main.

Fiche détaillée :Algorithme Python : trouver un seuil par une boucle « tant que »

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Une plateforme compte

1\,200

abonnés en janvier. Chaque mois, le nombre d'abonnés augmente de

4\,\%

. On note

u_n

le nombre d'abonnés

n

mois après janvier, donc

u_0 = 1\,200

.

1. Montrer que

(u_n)

est géométrique et exprimer

u_n

en fonction de

n

.

2. Étudier le sens de variation de

(u_n)

.

3. Calculer

u_0 + u_1 + \dots + u_{11}

, arrondi à l'unité. Que représente ce nombre ?

Rédaction

1. Augmenter de

4\,\%

, c'est multiplier par

1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04

. Donc, pour tout entier naturel

n

u_{n+1} = 1{,}04 \times u_n

(u_n)

est géométrique de raison

q = 1{,}04

et de premier terme

u_0 = 1\,200

. D'après la formule

u_n = u_0 \times q^n

u_n = 1\,200 \times 1{,}04^n

2. On étudie le signe de

u_{n+1} - u_n

u_{n+1} - u_n = 1{,}04\,u_n - u_n = 0{,}04\,u_n

(on a mis

u_n

en facteur :

1{,}04\,u_n - 1 \times u_n = (1{,}04 - 1)\,u_n

.)

Or

u_n = 1\,200 \times 1{,}04^n > 0

, donc

u_{n+1} - u_n > 0

: la suite

(u_n)

est strictement croissante.

3. On compte les termes : de

u_0

u_{11}

, il y en a

12

(de

0

11

inclus). On factorise par le premier terme :

S = 1\,200 \times (1 + 1{,}04 + \dots + 1{,}04^{11})

On applique la formule des puissances consécutives avec

q = 1{,}04

et le dernier exposant

11

S = 1\,200 \times \dfrac{1 - 1{,}04^{12}}{1 - 1{,}04}

À la calculatrice,

1{,}04^{12} \approx 1{,}601\,03

, donc

S \approx 1\,200 \times \dfrac{-0{,}601\,03}{-0{,}04} \approx 18\,031

.

Interprétation : si chaque abonné paie un mois d'abonnement chaque mois, c'est le nombre total de mensualités encaissées de janvier à décembre, environ

18\,031

Exemple Terminale

Soit

(u_n)

définie par

u_0 = 1

u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

. On a démontré par récurrence que pour tout entier naturel

n

0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2

1. Montrer que la suite

(u_n)

converge.

2. Déterminer sa limite.

Rédaction

1. D'après l'encadrement,

u_n \leq u_{n+1}

pour tout

n

: la suite est croissante. Et

u_n \leq 2

pour tout

n

: elle est majorée par

2

.

D'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante et majorée converge :

(u_n)

converge vers un réel

\ell

2. On a

u_{n+1} = f(u_n)

avec

f(x) = \sqrt{x + 2}

, fonction continue sur

[-2\,;+\infty[

. La limite

\ell

vérifie donc

f(\ell) = \ell

\sqrt{\ell + 2} = \ell

Signe de $\ell$ . Tous les termes sont dans

[0\,;2]

, donc la limite aussi :

0 \leq \ell \leq 2

. Comme

\ell \geq 0

, on peut élever les deux membres au carré sans perdre d'information :

\ell + 2 = \ell^2

\ell^2 - \ell - 2 = 0

C'est une équation du second degré, avec

a = 1

b = -1

c = -2

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9

\Delta > 0

\sqrt{9} = 3

: deux solutions,

\dfrac{1 - 3}{2} = -1

\dfrac{1 + 3}{2} = 2

.

On écarte

-1

, car

\ell \geq 0

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 2

Pièges classiques

Confondre le majorant et la limite : « majorée par

2

» ne prouve pas que la limite vaut

2

; il faut résoudre

f(\ell) = \ell

Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de

u_0

u_{11}

, il y a

12

termes, pas

11

Traduire une hausse de $4\,\%$ par « $+ 0{,}04$ » : c'est une multiplication par

1{,}04

Oublier d'écarter une solution de

f(\ell) = \ell

: il faut justifier pourquoi on garde l'une et pas l'autre.

Montrer qu'une suite est géométrique avec $u_1$ et $u_2$ seulement : quelques termes ne suffisent pas, il faut un calcul pour tout

n

Conclure « converge » sans citer le théorème de la limite monotone.

Appliquer les gendarmes avec deux bornes de limites différentes : de

-1 \leq u_n \leq 1

on ne tire rien, il faut deux suites qui tendent vers le même nombre.

Avant de rendre la copie

La nature de la suite est donnée avec sa raison et son premier terme.

La formule de somme est appliquée après avoir compté les termes.

Le sens de variation est justifié par un calcul pour tout

n

La convergence cite le théorème de la limite monotone.

La limite est obtenue par

f(\ell) = \ell

(ou une formule explicite), et les solutions impossibles sont écartées.

Un encadrement ou une minoration conclut en citant le théorème des gendarmes ou de comparaison.