La démonstration reine des suites : une rédaction codifiée en trois temps, des points sûrs pour qui la maîtrise, et une hérédité qu'on apprend à débloquer.
Au moins une question dans 13 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Suites numériques
Pourquoi c'est partout
Dès qu'un énoncé demande de montrer qu'une propriété est vraie « pour tout entier naturel n » et que la suite est définie par une relation un+1=…un…, la récurrence est presque toujours l'outil attendu.
C'est une question rentable : la rédaction est la même à chaque fois, et le correcteur vérifie la présence de chaque étape. Une récurrence bien posée rapporte des points même quand le calcul de l'hérédité n'aboutit pas complètement.
Ce qu'il faut savoir
Le principe, en image
Imagine une file de dominos. Pour être sûr qu'ils tombent tous :
1. le premier doit tomber (c'est l'initialisation) ;
2. chaque domino qui tombe doit faire tomber le suivant (c'est l'hérédité).
En maths : si P(n0) est vraie, et si pour tout n≥n0, « P(n) vraie » entraîne « P(n+1) vraie », alors P(n) est vraie pour tout n≥n0.
Le squelette de rédaction
Énoncé. « Pour tout entier naturel n, on note P(n) la propriété : … »
Initialisation. On vérifie P(0) par un calcul.
Hérédité. « Soit n un entier naturel tel que P(n) est vraie. Montrons que P(n+1) est vraie. » Puis on démontre.
Conclusion. « P(0) est vraie et P est héréditaire, donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel n. »
Les trois familles de récurrence
Une formule explicite : montrer que un=3−2n. Dans l'hérédité, on part de un+1, on remplace un par la formule, on simplifie.
Une inégalité ou un encadrement : montrer que 0≤un≤2. On part de l'hypothèse et on reconstruit un+1 par opérations successives (ou en appliquant une fonction croissante).
Une monotonie : montrer que un≤un+1. C'est une inégalité entre deux termes consécutifs, traitée de la même façon.
Opérations sur les inégalités
Pour reconstruire un+1 dans l'hérédité :
Ajouter un même nombre aux membres ne change pas le sens.
Multiplier par un nombre positif ne change pas le sens ; par un nombre négatif, le sens s'inverse.
Appliquer une fonction croissante conserve le sens ; une fonction décroissante l'inverse.
Trois récurrences classiques
L'inégalité de Bernoulli (démonstration au programme) : pour a>0 et tout entier naturel n, (1+a)n≥1+na. Dans l'hérédité, on multiplie l'hypothèse par 1+a, positif, puis on développe : (1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na2≥1+(n+1)a, car na2≥0. Avec a=q−1, elle donne la limite de qn pour q>1 : qn≥1+n(q−1), qui tend vers +∞.
Une somme : pour montrer que 1+2+⋯+n=2n(n+1), l'hérédité ajoute le terme suivant, Sn+1=Sn+(n+1), remplace Sn par la formule, puis factorise par n+1.
Un multiple : pour montrer que 7n−1 est un multiple de 6, on écrit l'hypothèse 7n−1=6k avec k entier. Alors 7n+1−1=7×7n−1=7(6k+1)−1=6(7k+1).
Les questions types
1
« Montrer que pour tout entier naturel n, un=… »
Une formule explicite est donnée (souvent conjecturée à la question d'avant).
1. Initialisation : calculer u0 avec la définition, puis avec la formule, et constater l'égalité.
2. Hérédité : écrire un+1 avec la relation de récurrence, y remplacer un par la formule (hypothèse de récurrence), simplifier jusqu'à la formule au rang n+1.
3. Écrire la conclusion.
2
« Montrer que pour tout n, a≤un≤b »
Encadrement d'une suite un+1=f(un), souvent préparatoire à la convergence.
1. Si f est croissante sur [a;b] : appliquer f aux trois membres de l'hypothèse de récurrence, puis calculer f(a) et f(b).
2. Sinon, reconstruire un+1 par opérations successives à partir de a≤un≤b (multiplier, ajouter…).
3. Vérifier que l'encadrement obtenu est contenu dans [a;b].
L'hérédité « coince » : je ne sais pas par où commencer
Le blocage le plus fréquent : on a l'hypothèse, mais on ne voit pas le lien avec le rang suivant.
1. Écrire au brouillon, en toutes lettres, ce qu'on veut obtenir : P(n+1), avec n+1 à la place de n partout.
2. Écrire la relation qui relie un+1 à un : c'est le pont entre l'hypothèse et l'objectif.
3. Partir de l'hypothèse P(n) et appliquer, étape par étape, les opérations qui transforment un en un+1.
5
« Montrer que pour tout entier naturel n, (1+a)n≥1+na » ou « que 7n−1 est un multiple de 6 »
La propriété ne porte que sur n, sans suite définie par récurrence : c'est encore une récurrence, et l'hérédité passe du rang n au rang n+1.
1. Écrire l'hypothèse de récurrence sous une forme utilisable : l'inégalité au rang n, ou 7n−1=6k avec k entier.
2. Exprimer le rang n+1 à partir du rang n : (1+a)n+1=(1+a)n(1+a), ou 7n+1=7×7n.
3. Utiliser l'hypothèse, puis arranger le résultat pour lire P(n+1) : retirer un terme positif pour minorer, ou factoriser par 6.
Exemples rédigés comme au bac
Exemple Terminale
Soit (un) la suite définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n, un+1=2un−3.
Montrer que pour tout entier naturel n, un=3−2n.
Rédaction
Pour tout entier naturel n, on note P(n) la propriété : « un=3−2n ».
Initialisation. D'une part u0=2 (énoncé). D'autre part 3−20=3−1=2 (rappel : 20=1). Les deux sont égaux : P(0) est vraie.
Hérédité. Soit n un entier naturel tel que P(n) est vraie, c'est-à-dire un=3−2n. Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que un+1=3−2n+1.
On part de la relation de récurrence, puis on remplace un grâce à l'hypothèse :
un+1=2un−3
un+1=2(3−2n)−3
On développe. Attention : 2×2n=2n+1 (on ajoute 1 à l'exposant).
un+1=6−2n+1−3
un+1=3−2n+1
P(n+1) est donc vraie.
Conclusion.P(0) est vraie et P est héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel n, un=3−2n.
Exemple Terminale
Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n :
un+1=un+2
On note f la fonction définie sur [−2;+∞[ par f(x)=x+2, de sorte que un+1=f(un).
Montrer que pour tout entier naturel n : 0≤un≤un+1≤2.
Rédaction
Préliminaire : f est croissante.x↦x+2 est croissante, et la racine carrée est croissante sur [0;+∞[. Une composée de deux fonctions croissantes est croissante : f est croissante sur [−2;+∞[.
Pour tout entier naturel n, on note P(n) la propriété : « 0≤un≤un+1≤2 ».
Initialisation.u0=1 et u1=1+2=3≈1,73. On a bien 0≤1≤3≤2 (car 3≤4=2). P(0) est vraie.
Hérédité. Soit n un entier naturel tel que P(n) est vraie :
0≤un≤un+1≤2
f est croissante sur [−2;+∞[, qui contient tous ces nombres : on peut l'appliquer aux quatre membres sans changer le sens des inégalités.
f(0)≤f(un)≤f(un+1)≤f(2)
On calcule les deux bornes : f(0)=2 et f(2)=4=2. Et par définition de la suite, f(un)=un+1 et f(un+1)=un+2 :
2≤un+1≤un+2≤2
Comme 2≥0, on a bien 0≤un+1≤un+2≤2 : P(n+1) est vraie.
Conclusion.P(0) est vraie et P est héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel n, 0≤un≤un+1≤2.
Ce qu'on en tire : la suite est croissante (un≤un+1) et majorée par 2. La suite de l'exercice est traitée dans le guide sur la convergence des suites.
Pièges classiques
Écrire « supposons P(n) vraie pour tout n » : c'est supposer ce qu'on veut démontrer. On écrit « soit nun entier tel que P(n) est vraie ».
Bâcler l'initialisation (« évident ») : elle se vérifie par un calcul, écrit.
Oublier la conclusion : la phrase finale fait partie de la démonstration et rapporte des points.
Appliquer une fonction sans vérifier qu'elle est croissante sur l'intervalle concerné : c'est ce qui autorise à garder le sens des inégalités.
Se tromper sur les puissances : 2×2n=2n+1, et non 4n.
Utiliser la récurrence quand elle est inutile : pour une suite donnée par un=f(n), une étude directe suffit souvent.
Multiplier une inégalité par 1+a sans dire qu'il est positif : c'est ce qui autorise à garder le sens.
Avant de rendre la copie
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La propriété P(n) est écrite en toutes lettres.
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L'initialisation est vérifiée par un calcul.
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L'hérédité commence par « soit n un entier tel que P(n) est vraie ».
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L'endroit où l'hypothèse de récurrence est utilisée est visible.
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Si j'applique une fonction, j'ai justifié qu'elle est croissante.