Grand classique · FonctionsTerminale

Primitives et intégrales

Trouver une primitive, calculer une intégrale, en faire une aire ou une valeur moyenne : la méthode complète, des formes à reconnaître jusqu'à l'intégration par parties.

Au moins une question dans 10 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Primitives et équations différentielles, Calcul intégral

Pourquoi c'est partout

Le calcul intégral arrive souvent en fin d'exercice de fonctions : « calculer l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses ». Il faut alors une primitive, et c'est là que tout se joue.

La clé est de reconnaître une forme dans le tableau des primitives (

u'\,e^{u}

\dfrac{u'}{u}

…). Et quand l'énoncé donne une primitive à vérifier, il n'y a rien à deviner : il suffit de dériver.

Ce qu'il faut savoir

Primitive : la définition qui sert

F

est une primitive de

f

sur

I

F' = f

sur

I

.

Pour vérifier qu'une fonction donnée est une primitive, on la dérive et on retrouve

f

. C'est souvent la première question.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si

F

en est une, toutes les autres s'écrivent

F + C

Les primitives usuelles

Fonctions de référence :

x^n

a pour primitive

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(pour

n \neq -1

) ;

\dfrac{1}{x}

a pour primitive

\ln x

sur

]0\,;+\infty[

;

e^{x}

a pour primitive

e^{x}

;

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

a pour primitive

2\sqrt{x}

sur

]0\,;+\infty[

;

\cos x

a pour primitive

\sin x

, et

\sin x

a pour primitive

-\cos x

.

Formes composées (à reconnaître) :

u'\,e^{u}

a pour primitive

e^{u}

;

\dfrac{u'}{u}

a pour primitive

\ln u

(si

u > 0

) ;

u'\,u^n

a pour primitive

\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

Calculer une intégrale

F

est une primitive de

f

sur

[a\,;b]

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

On écrit l'étape intermédiaire avec des crochets :

\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

.

Linéarité : on peut sortir les constantes et couper une somme en deux intégrales. Chasles :

\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c

Aire et valeur moyenne

Aire sous la courbe : si

f \geq 0

sur

[a\,;b]

, l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites

x = a

x = b

vaut

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

, en unités d'aire.

Aire entre deux courbes : si

f \geq g

sur

[a\,;b]

, l'aire vaut

\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

.

Valeur moyenne de

f

sur

[a\,;b]

m = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Intégration par parties

Quand l'intégrande est un produit dont on ne connaît pas de primitive directe (comme

x\,e^{x}

x \ln x

) :

\int_a^b u\,v' = \big[u\,v\big]_a^b - \int_a^b u'\,v

On choisit pour

u

le facteur qui se simplifie en dérivant (souvent le polynôme), et pour

v'

celui dont on connaît une primitive.

Positivité et croissance de l'intégrale

Pour

a \leq b

: si

f \geq 0

sur

[a\,;b]

, alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0

(positivité) ; si

f \leq g

sur

[a\,;b]

, alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

(croissance).

C'est l'outil des suites d'intégrales

I_n = \int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x

: on compare les fonctions sur l'intervalle, et l'inégalité passe aux intégrales. Exemple : sur

[0\,;1]

x^{n+1} \leq x^n

, donc

\int_0^1 x^{n+1}\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x

: la suite est décroissante.

Les questions types

1
« Montrer que $F$ est une primitive de $f$ »
La primitive est donnée : il n'y a rien à chercher, seulement à dériver.
1. Dériver $F$ (en écrivant la formule utilisée, souvent celle d'un produit).

2. Simplifier jusqu'à retrouver exactement $f(x)$ .

3. Conclure : « $F' = f$ , donc $F$ est une primitive de $f$ ».
2
« Déterminer une primitive de $f$ »
Pas de primitive donnée : il faut reconnaître une forme.
1. Repérer une forme du tableau : $u'\,e^{u}$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'\,u^n$ .

2. Identifier $u$ , calculer $u'$ , et ajuster la constante si besoin (par exemple $e^{2x} = \dfrac{1}{2} \times 2\,e^{2x}$ ).

3. Vérifier en dérivant le résultat.
3
« Calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ »
Une fois la primitive trouvée, c'est un simple calcul.
1. Écrire $\big[F(x)\big]_a^b$ .

2. Calculer $F(b)$ et $F(a)$ séparément, chacun sur sa ligne.

3. Soustraire dans le bon ordre : $F(b) - F(a)$ .
4
« Calculer l'aire du domaine… »
Fin d'exercice de fonctions. Souvent avec une unité graphique (« 1 unité = 2 cm »).
1. Vérifier le signe de $f$ sur l'intervalle (ou la position des deux courbes).

2. Écrire l'aire sous forme d'intégrale, puis la calculer.

3. Donner le résultat en unités d'aire, puis en cm² si une unité graphique est donnée (1 u.a. = aire d'un rectangle d'une unité sur une unité).
5
« Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ »
Souvent dans un contexte : température moyenne, concentration moyenne sur une durée.
1. Calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

2. Diviser par la longueur de l'intervalle, $b - a$ .

3. Interpréter dans le contexte, avec l'unité.
6
« À l'aide d'une intégration par parties, calculer… »
Intégrale d'un produit polynôme × exponentielle ou polynôme × logarithme, ou suite d'intégrales $I_n$ .
1. Choisir $u$ (qui se simplifie en dérivant) et $v'$ (dont on connaît une primitive) ; écrire $u$ , $u'$ , $v'$ , $v$ .

2. Appliquer la formule.

3. Calculer le crochet, puis l'intégrale restante, qui doit être plus simple.
Fiche détaillée :Intégration par parties et suite d'intégrales $I_n$
7
« Résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$ »
Chapitre des primitives. Modèles de refroidissement, de charge, de médicament.
1. Solutions de $y' = ay$ : $y = C\,e^{ax}$ .

2. Chercher la solution constante de $y' = ay + b$ : $y = -\dfrac{b}{a}$ .

3. Toutes les solutions : $y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ; la condition initiale donne $C$ .
Fiche détaillée :Équation différentielle $y' = ay + b$ : solution générale et condition initiale
8
« Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)$ » ou « montrer que $0 \leq I_n \leq \dots$ »
Une suite d'intégrales $I_n = \int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x$ , souvent en fin d'exercice, quand aucune primitive n'est accessible.
1. Pour le signe : étudier le signe de $f_n$ sur $[a\,;b]$ (avec $a \leq b$ ), puis conclure par positivité de l'intégrale.

2. Pour les variations : étudier le signe de $f_{n+1}(x) - f_n(x)$ sur $[a\,;b]$ , puis conclure par croissance de l'intégrale, ou écrire $I_{n+1} - I_n$ comme une seule intégrale.

3. Pour un encadrement : encadrer $f_n(x)$ , puis intégrer chaque membre ; les gendarmes donnent ensuite la limite.
9
« Résoudre l'équation différentielle $y' = ay + f$ » avec une solution particulière
Le second membre n'est pas constant ( $y' = 2y + e^{x}$ , $y' = -y + x$ ) : l'énoncé donne, ou fait vérifier, une solution particulière $g$ .
1. Vérifier que $g$ est solution : calculer $g'$ et constater que $g' = ag + f$ .

2. Les solutions sont les fonctions $y = C\,e^{ax} + g(x)$ , avec $C$ réel : les solutions de $y' = ay$ , plus la solution particulière.

3. La condition initiale détermine $C$ .

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = x\,e^{x}

, et

F

la fonction définie par

F(x) = (x - 1)\,e^{x}

.

1. Montrer que

F

est une primitive de

f

sur

\mathbb{R}

.

2. Calculer

I = \int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x

.

3. En déduire l'aire du domaine compris entre la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = 0

x = 1

, puis la valeur moyenne de

f

sur

[0\,;1]

Rédaction

1. On dérive

F

, qui est un produit :

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x - 1

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

F'(x) = 1 \times e^{x} + (x - 1) \times e^{x}

On met

e^{x}

en facteur :

F'(x) = e^{x}\,(1 + x - 1) = x\,e^{x}

F'(x) = f(x)

pour tout réel

x

F

est une primitive de

f

sur

\mathbb{R}

2. On utilise la primitive

F

I = \big[(x - 1)\,e^{x}\big]_0^1 = F(1) - F(0)

On calcule chaque valeur séparément :

F(1) = (1 - 1)\,e^{1} = 0

F(0) = (0 - 1)\,e^{0} = -1 \times 1 = -1

I = 0 - (-1) = 1

3. Aire. Sur

[0\,;1]

x \geq 0

e^{x} > 0

, donc

f(x) \geq 0

: la courbe est au-dessus de l'axe. L'aire du domaine est donc égale à l'intégrale :

I = 1

unité d'aire.

Valeur moyenne. La longueur de l'intervalle est

1 - 0 = 1

m = \dfrac{1}{1 - 0} \times I = 1

Exemple Terminale

1. Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de

f(x) = x^2

et de

g(x) = x

, sur l'intervalle

[0\,;1]

.

2. Calculer

J = \int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x

Rédaction

1. Position des courbes. On étudie le signe de

g(x) - f(x) = x - x^2 = x(1 - x)

. Sur

[0\,;1]

x \geq 0

1 - x \geq 0

, donc

g(x) - f(x) \geq 0

: la droite est au-dessus de la parabole.

Aire. On intègre « celle du dessus moins celle du dessous » :

\mathscr{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x

Une primitive de

x

est

\dfrac{x^2}{2}

, une primitive de

x^2

est

\dfrac{x^3}{3}

(formule

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

) :

\mathscr{A} = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1

1

\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}

. En

0

0

\mathscr{A} = \dfrac{1}{6}

L'aire vaut

\dfrac{1}{6}

unité d'aire.

2. On reconnaît une forme. Avec

u(x) = x^2 + 1

, on a

u'(x) = 2x

: l'intégrande est exactement

\dfrac{u'}{u}

. Et

u(x) > 0

pour tout

x

(somme d'un carré et de

1

).

Une primitive de

\dfrac{u'}{u}

est

\ln u

J = \big[\ln(x^2 + 1)\big]_0^1

J = \ln(1^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln 2 - \ln 1

Comme

\ln 1 = 0

J = \ln 2

Pièges classiques

Chercher une primitive au lieu de dériver quand l'énoncé donne $F$ : vérifier, c'est dériver.
Inverser l'ordre : on calcule $F(b) - F(a)$ , la borne du haut moins la borne du bas.
Oublier les parenthèses autour de $F(a)$ quand il est négatif : $0 - (-1) = 1$ , pas $-1$ .
Confondre intégrale et aire quand $f$ change de signe : l'aire est toujours positive, l'intégrale peut être négative.
Oublier d'ajuster la constante : une primitive de $e^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ , pas $e^{2x}$ .
Rendre une aire sans unité : préciser « unités d'aire », et convertir en cm² si l'unité graphique est donnée.
Comparer deux fonctions sur une partie de l'intervalle seulement : pour comparer $I_{n+1}$ et $I_n$ , l'inégalité doit valoir sur tout $[a\,;b]$ .

Avant de rendre la copie

La primitive utilisée est vérifiée (en la dérivant si besoin).
Les crochets $\big[F(x)\big]_a^b$ sont écrits avant le calcul.
$F(b)$ et $F(a)$ sont calculés séparément.
Pour une aire, le signe de la fonction (ou la position des courbes) est justifié.
Le résultat a son unité (u.a., cm², ou l'unité du contexte).

Chargement…

Primitives et intégrales

Trouver une primitive, calculer une intégrale, en faire une aire ou une valeur moyenne : la méthode complète, des formes à reconnaître jusqu'à l'intégration par parties.

Au moins une question dans 10 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Primitives et équations différentielles, Calcul intégral

Pourquoi c'est partout

u'\,e^{u}

\dfrac{u'}{u}

…). Et quand l'énoncé donne une primitive à vérifier, il n'y a rien à deviner : il suffit de dériver.

Ce qu'il faut savoir

Primitive : la définition qui sert

F

est une primitive de

f

sur

I

F' = f

sur

I

.

Pour vérifier qu'une fonction donnée est une primitive, on la dérive et on retrouve

f

. C'est souvent la première question.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si

F

en est une, toutes les autres s'écrivent

F + C

Les primitives usuelles

Fonctions de référence :

x^n

a pour primitive

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(pour

n \neq -1

) ;

\dfrac{1}{x}

a pour primitive

\ln x

sur

]0\,;+\infty[

;

e^{x}

a pour primitive

e^{x}

;

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

a pour primitive

2\sqrt{x}

sur

]0\,;+\infty[

;

\cos x

a pour primitive

\sin x

, et

\sin x

a pour primitive

-\cos x

.

Formes composées (à reconnaître) :

u'\,e^{u}

a pour primitive

e^{u}

;

\dfrac{u'}{u}

a pour primitive

\ln u

(si

u > 0

) ;

u'\,u^n

a pour primitive

\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

Calculer une intégrale

F

est une primitive de

f

sur

[a\,;b]

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

On écrit l'étape intermédiaire avec des crochets :

\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

.

Linéarité : on peut sortir les constantes et couper une somme en deux intégrales. Chasles :

\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c

Aire et valeur moyenne

Aire sous la courbe : si

f \geq 0

sur

[a\,;b]

, l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites

x = a

x = b

vaut

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

, en unités d'aire.

Aire entre deux courbes : si

f \geq g

sur

[a\,;b]

, l'aire vaut

\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

.

Valeur moyenne de

f

sur

[a\,;b]

m = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Intégration par parties

Quand l'intégrande est un produit dont on ne connaît pas de primitive directe (comme

x\,e^{x}

x \ln x

) :

\int_a^b u\,v' = \big[u\,v\big]_a^b - \int_a^b u'\,v

On choisit pour

u

le facteur qui se simplifie en dérivant (souvent le polynôme), et pour

v'

celui dont on connaît une primitive.

Positivité et croissance de l'intégrale

Pour

a \leq b

: si

f \geq 0

sur

[a\,;b]

, alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0

(positivité) ; si

f \leq g

sur

[a\,;b]

, alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

(croissance).

C'est l'outil des suites d'intégrales

I_n = \int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x

: on compare les fonctions sur l'intervalle, et l'inégalité passe aux intégrales. Exemple : sur

[0\,;1]

x^{n+1} \leq x^n

, donc

\int_0^1 x^{n+1}\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x

: la suite est décroissante.

Les questions types

« Montrer que

F

est une primitive de

f

La primitive est donnée : il n'y a rien à chercher, seulement à dériver.

1. Dériver

F

(en écrivant la formule utilisée, souvent celle d'un produit).

2. Simplifier jusqu'à retrouver exactement

f(x)

.

3. Conclure : «

F' = f

, donc

F

est une primitive de

f

».

« Déterminer une primitive de

f

Pas de primitive donnée : il faut reconnaître une forme.

1. Repérer une forme du tableau :

u'\,e^{u}

\dfrac{u'}{u}

u'\,u^n

.

2. Identifier

u

, calculer

u'

, et ajuster la constante si besoin (par exemple

e^{2x} = \dfrac{1}{2} \times 2\,e^{2x}

).

3. Vérifier en dérivant le résultat.

« Calculer

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Une fois la primitive trouvée, c'est un simple calcul.

1. Écrire

\big[F(x)\big]_a^b

.

2. Calculer

F(b)

F(a)

séparément, chacun sur sa ligne.

3. Soustraire dans le bon ordre :

F(b) - F(a)

« Calculer l'aire du domaine… »

Fin d'exercice de fonctions. Souvent avec une unité graphique (« 1 unité = 2 cm »).

1. Vérifier le signe de

f

sur l'intervalle (ou la position des deux courbes).

2. Écrire l'aire sous forme d'intégrale, puis la calculer.

3. Donner le résultat en unités d'aire, puis en cm² si une unité graphique est donnée (1 u.a. = aire d'un rectangle d'une unité sur une unité).

« Calculer la valeur moyenne de

f

sur

[a\,;b]

Souvent dans un contexte : température moyenne, concentration moyenne sur une durée.

1. Calculer

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

.

2. Diviser par la longueur de l'intervalle,

b - a

.

3. Interpréter dans le contexte, avec l'unité.

« À l'aide d'une intégration par parties, calculer… »

Intégrale d'un produit polynôme × exponentielle ou polynôme × logarithme, ou suite d'intégrales

I_n

1. Choisir

u

(qui se simplifie en dérivant) et

v'

(dont on connaît une primitive) ; écrire

u

u'

v'

v

.

2. Appliquer la formule.

3. Calculer le crochet, puis l'intégrale restante, qui doit être plus simple.

Fiche détaillée :Intégration par parties et suite d'intégrales

I_n

« Résoudre l'équation différentielle

y' = ay + b

Chapitre des primitives. Modèles de refroidissement, de charge, de médicament.

1. Solutions de

y' = ay

y = C\,e^{ax}

.

2. Chercher la solution constante de

y' = ay + b

y = -\dfrac{b}{a}

.

3. Toutes les solutions :

y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}

; la condition initiale donne

C

Fiche détaillée :Équation différentielle

y' = ay + b

: solution générale et condition initiale

« Étudier le sens de variation de la suite

(I_n)

» ou « montrer que

0 \leq I_n \leq \dots

Une suite d'intégrales

I_n = \int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x

, souvent en fin d'exercice, quand aucune primitive n'est accessible.

1. Pour le signe : étudier le signe de

f_n

sur

[a\,;b]

(avec

a \leq b

), puis conclure par positivité de l'intégrale.

2. Pour les variations : étudier le signe de

f_{n+1}(x) - f_n(x)

sur

[a\,;b]

, puis conclure par croissance de l'intégrale, ou écrire

I_{n+1} - I_n

comme une seule intégrale.

3. Pour un encadrement : encadrer

f_n(x)

, puis intégrer chaque membre ; les gendarmes donnent ensuite la limite.

« Résoudre l'équation différentielle

y' = ay + f

» avec une solution particulière

Le second membre n'est pas constant (

y' = 2y + e^{x}

y' = -y + x

) : l'énoncé donne, ou fait vérifier, une solution particulière

g

1. Vérifier que

g

est solution : calculer

g'

et constater que

g' = ag + f

.

2. Les solutions sont les fonctions

y = C\,e^{ax} + g(x)

, avec

C

réel : les solutions de

y' = ay

, plus la solution particulière.

3. La condition initiale détermine

C

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = x\,e^{x}

, et

F

la fonction définie par

F(x) = (x - 1)\,e^{x}

.

1. Montrer que

F

est une primitive de

f

sur

\mathbb{R}

.

2. Calculer

I = \int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x

.

3. En déduire l'aire du domaine compris entre la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = 0

x = 1

, puis la valeur moyenne de

f

sur

[0\,;1]

Rédaction

1. On dérive

F

, qui est un produit :

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x - 1

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

F'(x) = 1 \times e^{x} + (x - 1) \times e^{x}

On met

e^{x}

en facteur :

F'(x) = e^{x}\,(1 + x - 1) = x\,e^{x}

F'(x) = f(x)

pour tout réel

x

F

est une primitive de

f

sur

\mathbb{R}

2. On utilise la primitive

F

I = \big[(x - 1)\,e^{x}\big]_0^1 = F(1) - F(0)

On calcule chaque valeur séparément :

F(1) = (1 - 1)\,e^{1} = 0

F(0) = (0 - 1)\,e^{0} = -1 \times 1 = -1

I = 0 - (-1) = 1

3. Aire. Sur

[0\,;1]

x \geq 0

e^{x} > 0

, donc

f(x) \geq 0

: la courbe est au-dessus de l'axe. L'aire du domaine est donc égale à l'intégrale :

I = 1

unité d'aire.

Valeur moyenne. La longueur de l'intervalle est

1 - 0 = 1

m = \dfrac{1}{1 - 0} \times I = 1

Exemple Terminale

1. Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de

f(x) = x^2

et de

g(x) = x

, sur l'intervalle

[0\,;1]

.

2. Calculer

J = \int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x

Rédaction

1. Position des courbes. On étudie le signe de

g(x) - f(x) = x - x^2 = x(1 - x)

. Sur

[0\,;1]

x \geq 0

1 - x \geq 0

, donc

g(x) - f(x) \geq 0

: la droite est au-dessus de la parabole.

Aire. On intègre « celle du dessus moins celle du dessous » :

\mathscr{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x

Une primitive de

x

est

\dfrac{x^2}{2}

, une primitive de

x^2

est

\dfrac{x^3}{3}

(formule

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

) :

\mathscr{A} = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1

1

\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}

. En

0

0

\mathscr{A} = \dfrac{1}{6}

L'aire vaut

\dfrac{1}{6}

unité d'aire.

2. On reconnaît une forme. Avec

u(x) = x^2 + 1

, on a

u'(x) = 2x

: l'intégrande est exactement

\dfrac{u'}{u}

. Et

u(x) > 0

pour tout

x

(somme d'un carré et de

1

).

Une primitive de

\dfrac{u'}{u}

est

\ln u

J = \big[\ln(x^2 + 1)\big]_0^1

J = \ln(1^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln 2 - \ln 1

Comme

\ln 1 = 0

J = \ln 2

Pièges classiques

Chercher une primitive au lieu de dériver quand l'énoncé donne

F

: vérifier, c'est dériver.

Inverser l'ordre : on calcule

F(b) - F(a)

, la borne du haut moins la borne du bas.

Oublier les parenthèses autour de $F(a)$ quand il est négatif :

0 - (-1) = 1

, pas

-1

Confondre intégrale et aire quand

f

change de signe : l'aire est toujours positive, l'intégrale peut être négative.

Oublier d'ajuster la constante : une primitive de

e^{2x}

est

\dfrac{1}{2}e^{2x}

, pas

e^{2x}

Rendre une aire sans unité : préciser « unités d'aire », et convertir en cm² si l'unité graphique est donnée.

Comparer deux fonctions sur une partie de l'intervalle seulement : pour comparer

I_{n+1}

I_n

, l'inégalité doit valoir sur tout

[a\,;b]

Avant de rendre la copie

La primitive utilisée est vérifiée (en la dérivant si besoin).

Les crochets

\big[F(x)\big]_a^b

sont écrits avant le calcul.

F(b)

F(a)

sont calculés séparément.

Pour une aire, le signe de la fonction (ou la position des courbes) est justifié.

Le résultat a son unité (u.a., cm², ou l'unité du contexte).