Grand classique · FonctionsTerminale

Le théorème des valeurs intermédiaires

Prouver qu'une équation a une solution sans savoir la calculer, l'encadrer, puis s'en servir : le trio de questions qui suit presque chaque tableau de variations.

Au moins une question dans 12 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Limites et continuité

Pourquoi c'est partout

Beaucoup d'équations du bac sont impossibles à résoudre à la main :

x\,e^{x} = 1

\ln x + x = 3

… On ne demande donc pas la solution, mais de prouver qu'elle existe (et qu'elle est unique), puis de l'encadrer à la calculatrice.

Le schéma est toujours le même, en trois temps : « montrer que l'équation admet une unique solution

\alpha

», « donner un encadrement de

\alpha

», « en déduire le signe de

f

» (ou utiliser la relation vérifiée par

\alpha

). Les points sont faciles à prendre, à condition de citer tous les arguments.

Ce qu'il faut savoir

La continuité, en pratique

Intuitivement, une fonction continue sur un intervalle se trace « sans lever le crayon ».

Au bac, on la justifie sans calcul : les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, quotients…) sont continues sur leur domaine, et toute fonction dérivable est continue. Donc dès que

f

est dérivable (on vient de calculer

f'

), elle est continue.

Le théorème des valeurs intermédiaires

f

est continue sur

[a\,;b]

, alors pour tout réel

k

compris entre

f(a)

f(b)

, l'équation

f(x) = k

admet au moins une solution dans

[a\,;b]

.

Il ne dit pas combien : la courbe peut passer plusieurs fois à la hauteur

k

Le corollaire : une seule solution

f

est continue et strictement monotone sur

[a\,;b]

, alors pour tout

k

compris entre

f(a)

f(b)

, l'équation

f(x) = k

admet une unique solution dans

[a\,;b]

.

C'est la stricte monotonie qui donne l'unicité : une fonction qui ne fait que monter ne peut pas repasser par la même hauteur.

Le théorème reste vrai sur un intervalle ouvert ou infini, en remplaçant

f(a)

f(b)

par les limites aux bornes.

Encadrer une solution

Balayage (tableau de valeurs de la calculatrice) : on avance au pas de

0{,}1

jusqu'à voir

f(x) - k

changer de signe, puis on recommence au pas de

0{,}01

sur le petit intervalle trouvé.

Dichotomie : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape et on garde la moitié où le signe change. L'amplitude est divisée par

2

à chaque tour.

Les questions types

1
« Montrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ sur $I$ »
La question type, posée juste après le tableau de variations.
1. Vérifier sur le tableau que $f$ est strictement monotone sur $I$ tout entier.

2. Rédiger les trois arguments, chacun dans sa phrase : $f$ est continue sur $I$ ; $f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur $I$ ; $k$ est compris entre les valeurs ou limites aux bornes.

3. Conclure : « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ sur $I$ ».
2
« Montrer que l'équation admet exactement deux solutions » (ou « sur $\mathbb{R}$ »)
La fonction n'est pas monotone sur tout le domaine : il faut découper.
1. Découper le domaine selon les intervalles du tableau de variations.

2. Sur chaque intervalle, appliquer le corollaire ou montrer que $k$ n'est pas atteint (par exemple si $f$ reste toujours au-dessus de $k$ ).

3. Compter les solutions et conclure.
Guide complet :Le tableau de variations
3
« Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ »
Toujours juste après l'existence de $\alpha$ . La calculatrice est attendue.
1. Balayer au pas de $0{,}1$ , puis de $0{,}01$ , jusqu'à trouver deux valeurs qui encadrent $k$ .

2. Écrire les deux valeurs de $f$ trouvées (arrondies), avec leur position par rapport à $k$ .

3. Conclure par un encadrement de $\alpha$ , en rappelant le sens de variation de $f$ .
4
« En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ »
Quand $k = 0$ : $\alpha$ est l'endroit où $f$ change de signe.
1. Utiliser la monotonie : si $f$ est croissante et $f(\alpha) = 0$ , alors $f(x) < 0$ avant $\alpha$ et $f(x) > 0$ après.

2. Résumer dans un tableau de signes.
Fiche détaillée :Fonction auxiliaire pour piloter le signe de $f'$
5
« Montrer que $e^{\alpha} = \dots$ » ou « exprimer $f(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ »
On ne connaît pas $\alpha$ , mais on sait qu'elle vérifie l'équation : c'est cette relation qu'il faut utiliser.
1. Écrire l'égalité vérifiée par $\alpha$ (par exemple $\alpha\,e^{\alpha} - 1 = 0$ ).

2. La transformer pour isoler ce qu'on cherche (ici $e^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}$ ).

3. Remplacer dans l'expression demandée et simplifier.
6
Compléter un algorithme de dichotomie en Python
La fonction, la boucle while et les deux bornes a et b sont données ; il manque une condition ou une affectation.
1. Comprendre l'invariant : la solution est toujours entre a et b.

2. On calcule le milieu m. Si f(a) et f(m) sont de même signe, la solution est à droite de m, donc a = m ; sinon b = m.

3. La boucle s'arrête quand b - a devient plus petit que la précision voulue.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Soit

g

la fonction définie sur

[0\,;+\infty[

par

g(x) = x\,e^{x} - 1

.

1. Montrer que

g'(x) = (x + 1)\,e^{x}

et dresser le tableau de variations de

g

(on admet que

\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

).

2. Montrer que l'équation

g(x) = 0

admet une unique solution

\alpha

sur

[0\,;+\infty[

.

3. Donner un encadrement de

\alpha

d'amplitude

10^{-2}

.

4. En déduire le signe de

g(x)

sur

[0\,;+\infty[

, puis montrer que

e^{-\alpha} = \alpha

Rédaction

g

est dérivable sur

[0\,;+\infty[

. Le terme

x\,e^{x}

est un produit : on utilise

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

.

La constante

-1

a pour dérivée

0

. Donc :

g'(x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x}

On met

e^{x}

en facteur (il est dans les deux termes) :

g'(x) = (1 + x)\,e^{x}

Signe.

e^{x} > 0

pour tout

x

, et

x + 1 \geq 1 > 0

sur

[0\,;+\infty[

. Donc

g'(x) > 0

g

est strictement croissante sur

[0\,;+\infty[

.

Valeur en $0$ .

g(0) = 0 \times e^{0} - 1 = -1

2. On rédige les trois arguments :

g

est continue sur

[0\,;+\infty[

, car dérivable.

g

est strictement croissante sur

[0\,;+\infty[

(question 1).

g(0) = -1

\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

g

prend toutes les valeurs de

[-1\,;+\infty[

, et $0$ en fait partie.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation

g(x) = 0

admet une unique solution

\alpha

sur

[0\,;+\infty[

3. Tableau de valeurs de la calculatrice, d'abord au pas de

0{,}1

g(0{,}5) \approx -0{,}18 < 0

g(0{,}6) \approx 0{,}09 > 0

, donc

0{,}5 < \alpha < 0{,}6

.

Puis au pas de

0{,}01

à partir de

0{,}5

g(0{,}56) \approx -0{,}02 < 0

g(0{,}57) \approx 0{,}008 > 0

g

étant strictement croissante, elle passe par

0

entre ces deux valeurs :

0{,}56 < \alpha < 0{,}57

Avec un programme. La dichotomie ci-dessous, lancée avec dichotomie(0, 1, 0.01), renvoie (0.5625, 0.5703125) : un encadrement d'amplitude inférieure à

0{,}01

, cohérent avec le balayage.

from math import exp

def g(x):
    return x * exp(x) - 1

def dichotomie(a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if g(a) * g(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a, b)

4. Signe.

g

est strictement croissante et

g(\alpha) = 0

. Donc

g(x) < 0

sur

[0\,;\alpha[

g(\alpha) = 0

, et

g(x) > 0

sur

]\alpha\,;+\infty[

.

Relation.

\alpha

est solution de

g(x) = 0

, donc :

\alpha\,e^{\alpha} - 1 = 0

\alpha\,e^{\alpha} = 1

On divise les deux membres par

e^{\alpha}

(qui n'est jamais nul), et on se rappelle que

\dfrac{1}{e^{\alpha}} = e^{-\alpha}

\alpha = \dfrac{1}{e^{\alpha}} = e^{-\alpha}

Pièges classiques

Oublier un des trois arguments (continuité, stricte monotonie, valeur comprise entre les bornes) : chacun vaut une partie des points.
Appliquer le corollaire sur un intervalle où $f$ n'est pas monotone : il faut découper selon le tableau de variations.
Dire seulement « $f$ est croissante » : c'est la stricte monotonie qui donne l'unicité.
Donner un encadrement sans les valeurs de $f$ qui le justifient : « $0{,}56 < \alpha < 0{,}57$ » seul ne rapporte rien.
Confondre amplitude et arrondi : un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ , c'est deux nombres distants de $0{,}01$ , pas une valeur arrondie au centième.
Remplacer $\alpha$ par sa valeur approchée dans une question qui demande une valeur exacte : on utilise la relation vérifiée par $\alpha$ .

Avant de rendre la copie

L'intervalle de travail est précisé, et $f$ y est strictement monotone.
La continuité est justifiée (fonction dérivable, ou fonctions usuelles).
Les valeurs ou limites aux bornes sont écrites, et $k$ est situé entre elles.
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est cité par son nom.
L'encadrement est accompagné des deux valeurs de $f$ qui le justifient.

Chargement…

Pourquoi c'est partout

Beaucoup d'équations du bac sont impossibles à résoudre à la main :

x\,e^{x} = 1

\ln x + x = 3

\alpha

», « donner un encadrement de

\alpha

», « en déduire le signe de

f

» (ou utiliser la relation vérifiée par

\alpha

). Les points sont faciles à prendre, à condition de citer tous les arguments.

Ce qu'il faut savoir

La continuité, en pratique

f

est dérivable (on vient de calculer

f'

), elle est continue.

Le théorème des valeurs intermédiaires

f

est continue sur

[a\,;b]

, alors pour tout réel

k

compris entre

f(a)

f(b)

, l'équation

f(x) = k

admet au moins une solution dans

[a\,;b]

.

Il ne dit pas combien : la courbe peut passer plusieurs fois à la hauteur

k

Le corollaire : une seule solution

f

est continue et strictement monotone sur

[a\,;b]

, alors pour tout

k

compris entre

f(a)

f(b)

, l'équation

f(x) = k

admet une unique solution dans

[a\,;b]

f(a)

f(b)

par les limites aux bornes.

Encadrer une solution

Balayage (tableau de valeurs de la calculatrice) : on avance au pas de

0{,}1

jusqu'à voir

f(x) - k

changer de signe, puis on recommence au pas de

0{,}01

sur le petit intervalle trouvé.

Dichotomie : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape et on garde la moitié où le signe change. L'amplitude est divisée par

2

à chaque tour.

Les questions types

« Montrer que l'équation

f(x) = k

admet une unique solution

\alpha

sur

I

La question type, posée juste après le tableau de variations.

1. Vérifier sur le tableau que

f

est strictement monotone sur

I

tout entier.

2. Rédiger les trois arguments, chacun dans sa phrase :

f

est continue sur

I

;

f

est strictement croissante (ou décroissante) sur

I

;

k

est compris entre les valeurs ou limites aux bornes.

3. Conclure : « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation

f(x) = k

admet une unique solution

\alpha

sur

I

».

« Montrer que l'équation admet exactement deux solutions » (ou « sur

\mathbb{R}

»)

La fonction n'est pas monotone sur tout le domaine : il faut découper.

1. Découper le domaine selon les intervalles du tableau de variations.

2. Sur chaque intervalle, appliquer le corollaire ou montrer que

k

n'est pas atteint (par exemple si

f

reste toujours au-dessus de

k

).

3. Compter les solutions et conclure.

Guide complet :Le tableau de variations

« Donner un encadrement de

\alpha

d'amplitude

10^{-2}

Toujours juste après l'existence de

\alpha

. La calculatrice est attendue.

1. Balayer au pas de

0{,}1

, puis de

0{,}01

, jusqu'à trouver deux valeurs qui encadrent

k

.

2. Écrire les deux valeurs de

f

trouvées (arrondies), avec leur position par rapport à

k

.

3. Conclure par un encadrement de

\alpha

, en rappelant le sens de variation de

f

« En déduire le signe de

f(x)

selon les valeurs de

x

Quand

k = 0

\alpha

est l'endroit où

f

change de signe.

1. Utiliser la monotonie : si

f

est croissante et

f(\alpha) = 0

, alors

f(x) < 0

avant

\alpha

f(x) > 0

après.

2. Résumer dans un tableau de signes.

Fiche détaillée :Fonction auxiliaire pour piloter le signe de

f'

« Montrer que

e^{\alpha} = \dots

» ou « exprimer

f(\alpha)

en fonction de

\alpha

On ne connaît pas

\alpha

, mais on sait qu'elle vérifie l'équation : c'est cette relation qu'il faut utiliser.

1. Écrire l'égalité vérifiée par

\alpha

(par exemple

\alpha\,e^{\alpha} - 1 = 0

).

2. La transformer pour isoler ce qu'on cherche (ici

e^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}

).

3. Remplacer dans l'expression demandée et simplifier.

Compléter un algorithme de dichotomie en Python

La fonction, la boucle while et les deux bornes a et b sont données ; il manque une condition ou une affectation.

1. Comprendre l'invariant : la solution est toujours entre a et b.

2. On calcule le milieu m. Si f(a) et f(m) sont de même signe, la solution est à droite de m, donc a = m ; sinon b = m.

3. La boucle s'arrête quand b - a devient plus petit que la précision voulue.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Soit

g

la fonction définie sur

[0\,;+\infty[

par

g(x) = x\,e^{x} - 1

.

1. Montrer que

g'(x) = (x + 1)\,e^{x}

et dresser le tableau de variations de

g

(on admet que

\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

).

2. Montrer que l'équation

g(x) = 0

admet une unique solution

\alpha

sur

[0\,;+\infty[

.

3. Donner un encadrement de

\alpha

d'amplitude

10^{-2}

.

4. En déduire le signe de

g(x)

sur

[0\,;+\infty[

, puis montrer que

e^{-\alpha} = \alpha

Rédaction

g

est dérivable sur

[0\,;+\infty[

. Le terme

x\,e^{x}

est un produit : on utilise

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

.

La constante

-1

a pour dérivée

0

. Donc :

g'(x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x}

On met

e^{x}

en facteur (il est dans les deux termes) :

g'(x) = (1 + x)\,e^{x}

Signe.

e^{x} > 0

pour tout

x

, et

x + 1 \geq 1 > 0

sur

[0\,;+\infty[

. Donc

g'(x) > 0

g

est strictement croissante sur

[0\,;+\infty[

.

Valeur en $0$ .

g(0) = 0 \times e^{0} - 1 = -1

2. On rédige les trois arguments :

g

est continue sur

[0\,;+\infty[

, car dérivable.

g

est strictement croissante sur

[0\,;+\infty[

(question 1).

g(0) = -1

\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

g

prend toutes les valeurs de

[-1\,;+\infty[

, et $0$ en fait partie.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation

g(x) = 0

admet une unique solution

\alpha

sur

[0\,;+\infty[

3. Tableau de valeurs de la calculatrice, d'abord au pas de

0{,}1

g(0{,}5) \approx -0{,}18 < 0

g(0{,}6) \approx 0{,}09 > 0

, donc

0{,}5 < \alpha < 0{,}6

.

Puis au pas de

0{,}01

à partir de

0{,}5

g(0{,}56) \approx -0{,}02 < 0

g(0{,}57) \approx 0{,}008 > 0

g

étant strictement croissante, elle passe par

0

entre ces deux valeurs :

0{,}56 < \alpha < 0{,}57

Avec un programme. La dichotomie ci-dessous, lancée avec dichotomie(0, 1, 0.01), renvoie (0.5625, 0.5703125) : un encadrement d'amplitude inférieure à

0{,}01

, cohérent avec le balayage.

from math import exp

def g(x):
    return x * exp(x) - 1

def dichotomie(a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if g(a) * g(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a, b)

4. Signe.

g

est strictement croissante et

g(\alpha) = 0

. Donc

g(x) < 0

sur

[0\,;\alpha[

g(\alpha) = 0

, et

g(x) > 0

sur

]\alpha\,;+\infty[

.

Relation.

\alpha

est solution de

g(x) = 0

, donc :

\alpha\,e^{\alpha} - 1 = 0

\alpha\,e^{\alpha} = 1

On divise les deux membres par

e^{\alpha}

(qui n'est jamais nul), et on se rappelle que

\dfrac{1}{e^{\alpha}} = e^{-\alpha}

\alpha = \dfrac{1}{e^{\alpha}} = e^{-\alpha}

Pièges classiques

Oublier un des trois arguments (continuité, stricte monotonie, valeur comprise entre les bornes) : chacun vaut une partie des points.

Appliquer le corollaire sur un intervalle où $f$ n'est pas monotone : il faut découper selon le tableau de variations.

Dire seulement « $f$ est croissante » : c'est la stricte monotonie qui donne l'unicité.

Donner un encadrement sans les valeurs de $f$ qui le justifient : «

0{,}56 < \alpha < 0{,}57

» seul ne rapporte rien.

Confondre amplitude et arrondi : un encadrement d'amplitude

10^{-2}

, c'est deux nombres distants de

0{,}01

, pas une valeur arrondie au centième.

Remplacer $\alpha$ par sa valeur approchée dans une question qui demande une valeur exacte : on utilise la relation vérifiée par

\alpha

Avant de rendre la copie

L'intervalle de travail est précisé, et

f

y est strictement monotone.

La continuité est justifiée (fonction dérivable, ou fonctions usuelles).

Les valeurs ou limites aux bornes sont écrites, et

k

est situé entre elles.

Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est cité par son nom.

L'encadrement est accompagné des deux valeurs de

f

qui le justifient.