« En déduire » : la réponse est dans la question d'avant

Quand un énoncé dit « en déduire », il te demande d'utiliser le résultat de la question d'avant, pas de repartir de zéro. La réponse est presque toujours courte : une ligne ou deux, qui citent ce résultat et concluent. Le correcteur ne note pas ta capacité à calculer une deuxième fois, il note ta capacité à voir le lien entre deux questions. Voici comment le repérer, comment le rédiger, et ce qui fait perdre le point.

Ce que la consigne demande vraiment

Dans un exercice de bac, les questions ne sont pas indépendantes : elles sont posées dans un ordre qui construit quelque chose. La première question établit un résultat (« montrer que »), et la suivante s'en sert. « En déduire » est le mot qui te le dit.

Cela change deux choses dans ta copie :

• Tu n'as pas à refaire le travail. Si tu recommences un long calcul alors que la question précédente le rendait immédiat, tu perds du temps et tu te donnes deux fois l'occasion de faire une erreur.
• Tu dois nommer le lien. « D'après la question 1 », « d'après le résultat précédent », « en utilisant la factorisation obtenue » : sans cette phrase, le correcteur ne sait pas que tu as compris pourquoi la réponse est immédiate.

Un mot voisin, « en utilisant » ou « à l'aide de », dit la même chose. À l'inverse, « déterminer » ou « calculer » sans renvoi ne t'oblige pas à passer par la question d'avant.

Premier exemple : une factorisation qui sert deux fois

Voici l'énoncé, tel qu'il tombe souvent en Première.

1. Montrer que pour tout réel $x$, $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$.
2. En déduire le signe de $x^3 - 3x + 2$ selon les valeurs de $x$.
3. En déduire les solutions de l'équation $x^3 - 3x + 2 = 0$.

La question 1 est un calcul de développement. Les deux suivantes n'en demandent aucun nouveau.

Question 1. On développe le membre de droite :

$(x-1)^2(x+2) = (x^2 - 2x + 1)(x+2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2.$

Question 2, ce qu'on écrit. D'après la question 1, $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$. Un carré est toujours positif ou nul, donc le signe du produit est celui de $x+2$ (sauf en $x = 1$ où il s'annule). Ainsi $x^3 - 3x + 2 < 0$ pour $x < -2$, et $x^3 - 3x + 2 \geqslant 0$ pour $x \geqslant -2$.

Question 3, ce qu'on écrit. D'après la question 1, l'équation s'écrit $(x-1)^2(x+2) = 0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x = 1$ ou $x = -2$. L'ensemble des solutions est $\{-2\ ;\ 1\}$.

Sans la question 1, ces deux questions seraient un vrai problème (une équation du troisième degré). Avec elle, elles se résolvent en trois lignes. C'est tout le sens de la consigne.

Deuxième exemple : la suite auxiliaire, le grand classique

Ce schéma revient très souvent en Première et en Terminale. On donne la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 3$. On pose $v_n = u_n - 3$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$.
2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Question 1. Pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 2u_n - 3 - 3 = 2u_n - 6 = 2(u_n - 3) = 2v_n.$

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2$, et $v_0 = u_0 - 3 = 2$.

Question 2, ce qu'on écrit. D'après la question 1, $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = 2$, donc pour tout entier naturel $n$ :

$v_n = v_0 \times 2^n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}.$

Comme $v_n = u_n - 3$, on en déduit $u_n = v_n + 3$, soit

$u_n = 2^{n+1} + 3.$

Le réflexe à retenir : la question 1 t'a donné une suite dont tu connais la formule, la question 2 te fait revenir à la suite de départ. Tu ne cherches pas $u_n$ directement, tu passes par $v_n$. Pour vérifier, calcule $u_1$ : la définition donne $2 \times 5 - 3 = 7$, et la formule $2^2 + 3 = 7$. Les deux coïncident.

La récurrence est une autre façon de conclure ici, mais elle est plus longue : si tu veux voir comment la rédiger, c'est l'objet de l'article sur la rédaction d'une récurrence. Quand l'énoncé dit « en déduire », c'est le chemin court qu'il attend.

Trois façons de perdre le point

Tout recalculer

Version fautive : à la question 3 ci-dessus, tenter de résoudre $x^3 - 3x + 2 = 0$ par essais (« $x = 1$ marche, $x = 2$ non... »).

Version corrigée : « D'après la question 1, l'équation s'écrit $(x-1)^2(x+2) = 0$. »

Recalculer n'est pas faux, mais c'est long, risqué, et le correcteur voit que tu n'as pas saisi l'enchaînement. Ces questions sont conçues pour être rapides : si la tienne ne l'est pas, c'est le signe que tu as raté le lien.

Ne pas citer le résultat

Version fautive : écrire directement « les solutions sont $-2$ et $1$ ».

Version corrigée : « D'après la question 1, ..., donc les solutions sont $-2$ et $1$ ».

La réponse est juste, mais le correcteur ne peut pas savoir si tu as raisonné ou deviné. Le renvoi à la question précédente est ce qui prouve la déduction. C'est aussi la phrase qui rapporte le point.

Déduire trop vite, ou de travers

Version fautive : à la question 2, conclure « $x^3 - 3x + 2 \geqslant 0$ pour tout $x$ » parce que « $(x-1)^2$ est positif ».

Version corrigée : ne pas oublier le facteur $x + 2$, dont le signe change en $x = -2$.

« En déduire » ne dispense pas de raisonner : le résultat précédent est un outil, et il faut encore s'en servir correctement. Ici, le carré est positif, mais le second facteur ne l'est pas toujours.

Comment repérer le lien quand il n'est pas évident

Certains énoncés ne disent pas « en déduire » mais construisent quand même la question sur la précédente. Trois questions à te poser :

1. Quel objet la question d'avant a-t-elle produit ? Une factorisation, une suite auxiliaire, un signe, une dérivée, une valeur de probabilité.
2. Cet objet simplifie-t-il la question actuelle ? Si oui, c'est le lien : tu l'utilises.
3. Le calcul que j'allais faire est-il long ? Si oui, c'est presque toujours le signe qu'un résultat précédent l'évite.

Regarder les questions dans l'ordre et en entier avant de commencer est la meilleure protection : tu vois la construction de l'exercice avant de t'y engager.

Et si tu n'as pas su faire la question d'avant ?

C'est un cas très fréquent, et il y a une bonne nouvelle. Quand l'énoncé te donne le résultat à établir (« montrer que $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ »), tu peux en général l'utiliser pour les questions suivantes même si tu n'as pas réussi à le démontrer. C'est l'usage : le résultat est écrit dans l'énoncé, il est acquis. Écris alors simplement « d'après le résultat de la question 1 », et continue. Ne te bloque jamais sur une question de démonstration au point de renoncer à toutes celles qui suivent.

Cela ne fonctionne évidemment que si le résultat est donné. Si la question 1 demandait de calculer quelque chose sans en donner la valeur, tu ne peux pas t'appuyer dessus sans l'avoir trouvée.

À toi de jouer

Le réflexe se prend en lisant beaucoup d'énoncés et en s'obligeant à écrire le renvoi à la question précédente.

• Dans la Prép Bac, les exercices d'annales corrigés utilisent souvent ce schéma : repère les « en déduire » et compare ta rédaction au corrigé.
• Pour la suite auxiliaire, la fiche sur les suites rappelle les formules à connaître.
• Tu prépares l'épreuve de Première ? L'article sur l'épreuve anticipée de maths détaille le format, les deux parties et le plan de préparation.
• Teste tes réflexes avec les QCM : un compte gratuit suffit pour commencer.