Grand classique · Fonctions1reTerminale

Exponentielle et logarithme

Les règles de calcul, les équations, les inéquations et les seuils : manipuler l'exponentielle et le logarithme sans erreur, de la 1re au bac.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Fonction exponentielle, Fonction logarithme

Pourquoi c'est partout

L'exponentielle (dès la 1re) et le logarithme (en Terminale) sont les deux fonctions vedettes du bac : on les retrouve dans les études de fonctions, les modèles de croissance ou de décroissance, les équations différentielles et les seuils de suites géométriques.

Les erreurs les plus coûteuses ne sont pas conceptuelles : ce sont des règles de calcul mal appliquées (

e^{a+b}

confondu avec

e^a + e^b

) et des domaines oubliés pour le logarithme. Ce guide rassemble tout ce qu'il faut pour ne plus perdre de points là-dessus.

Ce qu'il faut savoir

L'exponentielle

e^{0} = 1

e^{1} = e \approx 2{,}718

, et surtout

e^{x} > 0

pour tout réel

x

.

Elle est strictement croissante sur

\mathbb{R}

et c'est sa propre dérivée :

(e^{x})' = e^{x}

.

Règles de calcul (pour tous réels

a

b

) :

e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}

e^{a-b} = \dfrac{e^{a}}{e^{b}}

e^{-a} = \dfrac{1}{e^{a}}

(e^{a})^n = e^{na}

Le logarithme (Terminale)

\ln

est définie sur

]0\,;+\infty[

seulement : on ne prend le logarithme que d'un nombre strictement positif.

\ln 1 = 0

\ln e = 1

, et

\ln

est strictement croissante, de dérivée

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

.

C'est la réciproque de l'exponentielle :

e^{\ln x} = x

pour

x > 0

, et

\ln(e^{x}) = x

pour tout réel

x

.

Règles de calcul (pour

a > 0

b > 0

) :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

\ln(a^n) = n \ln a

Équations

Avec l'exponentielle :

e^{a} = e^{b} \iff a = b

.

Pour

k > 0

e^{x} = k \iff x = \ln k

. Si

k \leq 0

, l'équation

e^{x} = k

n'a aucune solution.

Avec le logarithme : on cherche d'abord le domaine, puis

\ln a = \ln b \iff a = b

, et

\ln x = k \iff x = e^{k}

Inéquations

Les deux fonctions sont strictement croissantes : elles conservent le sens des inégalités.

e^{a} < e^{b} \iff a < b

, et pour

a, b > 0

\ln a < \ln b \iff a < b

.

Piège des seuils : pour résoudre

q^n < s

, on applique

\ln

puis on obtient

n \ln q < \ln s

. Si

0 < q < 1

, alors

\ln q < 0

, et diviser par

\ln q

inverse le sens.

Dérivées des composées

u

est dérivable :

(e^{u})' = u'\,e^{u}

Si de plus

u > 0

(Terminale) :

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

En 1re, le cas utile est

(e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}

. Par exemple

(e^{-x})' = -e^{-x}

Croissance et décroissance exponentielles (1re)

Pour

k > 0

t \mapsto e^{kt}

est croissante : c'est la croissance exponentielle d'un capital ou d'une population. La fonction

t \mapsto e^{-kt}

est décroissante, reste positive et se rapproche de

0

: c'est la décroissance d'une substance radioactive ou d'un médicament éliminé. Les deux courbes passent par le point

(0\,;1)

, et plus

k

est grand, plus l'évolution est rapide.

Lien avec les suites géométriques :

e^{k(t + 1)} = e^{k} \times e^{kt}

. Sur des durées égales, la grandeur est donc multipliée par le même facteur

e^{k}

, et la suite

u_n = e^{kn}

est géométrique de raison

e^{k}

.

Approcher $e$ : la suite

\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n

s'en rapproche quand

n

grandit, et la méthode d'Euler construit l'exponentielle pas à pas à partir de

f' = f

f(0) = 1

, par

f(x + h) \approx (1 + h)f(x)

Les questions types

1
« Simplifier l'expression »
Souvent une question intermédiaire, ou le dernier pas d'un calcul de dérivée ou de limite.
1. Tout réécrire comme une seule exponentielle (ou un seul logarithme) grâce aux règles.

2. Additionner ou soustraire les exposants avec soin, entre parenthèses : $e^{3x} \div e^{x+1} = e^{3x - (x+1)}$ .

3. Simplifier l'exposant à la fin.
2
« Résoudre l'équation » avec des exponentielles
$e^{2x-1} = e^{x+3}$ , $e^{x} = 5$ , ou un produit nul comme $(x - 2)e^{x} = 0$ .
1. Si les deux membres sont des exponentielles : égaliser les exposants.

2. Si $e^{x} = k$ : vérifier que $k > 0$ , puis $x = \ln k$ .

3. Produit nul : $e^{x}$ n'est jamais nul, donc seul l'autre facteur peut s'annuler.
3
« Résoudre l'équation » avec des logarithmes
Terminale
Terminale. Toujours commencer par le domaine, c'est là que se perdent les points.
1. Écrire les conditions d'existence (chaque argument de $\ln$ strictement positif) et en déduire l'intervalle de résolution.

2. Regrouper en un seul logarithme de chaque côté, puis égaliser les arguments.

3. Résoudre, puis ne garder que les solutions dans le domaine.
4
« Résoudre l'inéquation »
Même démarche que pour une équation, en gardant le sens grâce à la croissance.
1. Pour $\ln$ : domaine d'abord.

2. Appliquer la croissance pour passer aux exposants (ou aux arguments).

3. Résoudre l'inéquation obtenue, souvent du premier ou du second degré, et croiser avec le domaine.
5
« Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $q^n < s$ »
Terminale
Terminale. Suite géométrique, médicament, décroissance d'une population.
1. Appliquer $\ln$ aux deux membres (croissante, donc le sens est conservé) : $n \ln q < \ln s$ .

2. Diviser par $\ln q$ en regardant son signe : si $q < 1$ , $\ln q < 0$ et le sens s'inverse.

3. Calculer la valeur décimale et prendre le premier entier qui convient.
Fiche détaillée :Algorithme Python : trouver un seuil par une boucle « tant que »
6
Limite avec $e^{x}$ ou $\ln x$
Terminale
Formes indéterminées « $\infty - \infty$ » ou « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » entre une puissance de $x$ et une exponentielle ou un logarithme.
1. Mettre en facteur le terme qui l'emporte.

2. Citer les croissances comparées.
Guide complet :Les limites et les formes indéterminées
7
Équation en $e^{2x}$ et $e^{x}$
$e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$ : c'est un trinôme déguisé.
1. Poser $X = e^{x}$ , avec $e^{2x} = X^2$ .

2. Résoudre le trinôme en $X$ , puis revenir à $x$ en ne gardant que les $X > 0$ .
Guide complet :Le second degré

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

1. Simplifier

A = \dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^{x+1}}

.

2. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^{2x-1} = e^{x+3}

.

3. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'inéquation

e^{x^2} > e^{3x}

.

4. Calculer la dérivée de

f(x) = (x + 1)\,e^{-x}

Rédaction

1. Au numérateur,

e^{a} \times e^{b} = e^{a+b}

e^{3x} \times e^{-x} = e^{3x - x} = e^{2x}

Puis

\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}

, avec des parenthèses autour de l'exposant du dénominateur :

A = e^{2x - (x + 1)} = e^{2x - x - 1} = e^{x - 1}

2. Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux :

2x - 1 = x + 3

x = 4

S = \{4\}

3. L'exponentielle est strictement croissante : elle conserve le sens.

x^2 > 3x

x^2 - 3x > 0

On factorise par

x

x(x - 3) > 0

. C'est un trinôme de racines

0

3

, de coefficient

a = 1 > 0

: il est positif à l'extérieur des racines.

S = \,]-\infty\,;0[\, \cup \,]3\,;+\infty[

(crochets ouverts : l'inégalité est stricte).

f

est un produit : on utilise

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x + 1

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{-x}

, donc

v'(x) = -e^{-x}

(avec

(e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}

et ici

a = -1

f'(x) = 1 \times e^{-x} + (x + 1) \times (-e^{-x})

On met

e^{-x}

en facteur :

f'(x) = e^{-x}\,\big(1 - (x + 1)\big)

f'(x) = -x\,e^{-x}

Exemple Terminale

1. Résoudre l'équation

\ln(2x - 1) = \ln(x + 2)

.

2. Résoudre l'équation

\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6

.

3. Déterminer le plus petit entier naturel

n

tel que

0{,}85^n < 0{,}1

Rédaction

1. Domaine. Il faut

2x - 1 > 0

, soit

x > \dfrac{1}{2}

, et

x + 2 > 0

, soit

x > -2

. Les deux ensemble : on résout sur

\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[

.

Résolution. Sur ce domaine,

\ln a = \ln b \iff a = b

2x - 1 = x + 2

x = 3

Vérification du domaine :

3 > \dfrac{1}{2}

, donc on garde

3

S = \{3\}

2. Domaine. Il faut

x > 0

x - 1 > 0

, soit

x > 1

.

Regroupement.

\ln a + \ln b = \ln(ab)

\ln\big(x(x - 1)\big) = \ln 6

x(x - 1) = 6

x^2 - x - 6 = 0

Second degré :

a = 1

b = -1

c = -6

, donc

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25

, et

\sqrt{25} = 5

. Les racines sont

\dfrac{1 - 5}{2} = -2

\dfrac{1 + 5}{2} = 3

.

Tri :

-2

n'est pas dans le domaine (

-2 < 1

), on l'écarte.

S = \{3\}

3. On applique

\ln

, croissante, aux deux membres :

\ln(0{,}85^n) < \ln(0{,}1)

n \ln(0{,}85) < \ln(0{,}1)

Attention au signe :

0{,}85 < 1

, donc

\ln(0{,}85) < 0

. En divisant par ce nombre négatif, le sens s'inverse :

n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)}

À la calculatrice,

\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)} \approx 14{,}17

. Le plus petit entier strictement supérieur est

15

.

Vérification :

0{,}85^{14} \approx 0{,}103 > 0{,}1

0{,}85^{15} \approx 0{,}087 < 0{,}1

. La réponse est

n = 15

Pièges classiques

Écrire $e^{a+b} = e^{a} + e^{b}$ ou $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ : c'est faux. Les règles transforment une somme en produit (pour $e$ ) et un produit en somme (pour $\ln$ ).
Oublier le domaine d'un logarithme : une solution trouvée en dehors doit être écartée, sinon la réponse est fausse.
Garder le sens de l'inégalité en divisant par $\ln q$ avec $q < 1$ : $\ln q$ est négatif, le sens s'inverse.
Chercher une solution à $e^{x} = -2$ : une exponentielle est toujours strictement positive, il n'y en a pas.
Oublier les parenthèses dans un exposant : $e^{2x} \div e^{x+1} = e^{2x - (x+1)}$ , pas $e^{2x - x + 1}$ .
Oublier le facteur $u'$ : $(e^{-x})' = -e^{-x}$ , pas $e^{-x}$ .
Confondre $e^{-kt}$ et $-e^{kt}$ : la première est positive et décroît vers $0$ , la seconde est négative.

Avant de rendre la copie

Chaque règle de calcul utilisée est correcte (somme ↔ produit dans le bon sens).
Pour un logarithme, le domaine est écrit avant la résolution.
Les solutions sont confrontées au domaine.
En divisant par un logarithme, j'ai vérifié son signe.
Pour un seuil, j'ai vérifié la réponse avec deux valeurs de la calculatrice.

Chargement…

Pourquoi c'est partout

e^{a+b}

confondu avec

e^a + e^b

) et des domaines oubliés pour le logarithme. Ce guide rassemble tout ce qu'il faut pour ne plus perdre de points là-dessus.

Ce qu'il faut savoir

L'exponentielle

e^{0} = 1

e^{1} = e \approx 2{,}718

, et surtout

e^{x} > 0

pour tout réel

x

.

Elle est strictement croissante sur

\mathbb{R}

et c'est sa propre dérivée :

(e^{x})' = e^{x}

.

Règles de calcul (pour tous réels

a

b

) :

e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}

e^{a-b} = \dfrac{e^{a}}{e^{b}}

e^{-a} = \dfrac{1}{e^{a}}

(e^{a})^n = e^{na}

Le logarithme (Terminale)

\ln

est définie sur

]0\,;+\infty[

seulement : on ne prend le logarithme que d'un nombre strictement positif.

\ln 1 = 0

\ln e = 1

, et

\ln

est strictement croissante, de dérivée

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

.

C'est la réciproque de l'exponentielle :

e^{\ln x} = x

pour

x > 0

, et

\ln(e^{x}) = x

pour tout réel

x

.

Règles de calcul (pour

a > 0

b > 0

) :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

\ln(a^n) = n \ln a

Équations

Avec l'exponentielle :

e^{a} = e^{b} \iff a = b

.

Pour

k > 0

e^{x} = k \iff x = \ln k

. Si

k \leq 0

, l'équation

e^{x} = k

n'a aucune solution.

Avec le logarithme : on cherche d'abord le domaine, puis

\ln a = \ln b \iff a = b

, et

\ln x = k \iff x = e^{k}

Inéquations

Les deux fonctions sont strictement croissantes : elles conservent le sens des inégalités.

e^{a} < e^{b} \iff a < b

, et pour

a, b > 0

\ln a < \ln b \iff a < b

.

Piège des seuils : pour résoudre

q^n < s

, on applique

\ln

puis on obtient

n \ln q < \ln s

. Si

0 < q < 1

, alors

\ln q < 0

, et diviser par

\ln q

inverse le sens.

Dérivées des composées

u

est dérivable :

(e^{u})' = u'\,e^{u}

Si de plus

u > 0

(Terminale) :

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

En 1re, le cas utile est

(e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}

. Par exemple

(e^{-x})' = -e^{-x}

Croissance et décroissance exponentielles (1re)

Pour

k > 0

t \mapsto e^{kt}

est croissante : c'est la croissance exponentielle d'un capital ou d'une population. La fonction

t \mapsto e^{-kt}

est décroissante, reste positive et se rapproche de

0

: c'est la décroissance d'une substance radioactive ou d'un médicament éliminé. Les deux courbes passent par le point

(0\,;1)

, et plus

k

est grand, plus l'évolution est rapide.

Lien avec les suites géométriques :

e^{k(t + 1)} = e^{k} \times e^{kt}

. Sur des durées égales, la grandeur est donc multipliée par le même facteur

e^{k}

, et la suite

u_n = e^{kn}

est géométrique de raison

e^{k}

.

Approcher $e$ : la suite

\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n

s'en rapproche quand

n

grandit, et la méthode d'Euler construit l'exponentielle pas à pas à partir de

f' = f

f(0) = 1

, par

f(x + h) \approx (1 + h)f(x)

Les questions types

« Simplifier l'expression »

Souvent une question intermédiaire, ou le dernier pas d'un calcul de dérivée ou de limite.

1. Tout réécrire comme une seule exponentielle (ou un seul logarithme) grâce aux règles.

2. Additionner ou soustraire les exposants avec soin, entre parenthèses :

e^{3x} \div e^{x+1} = e^{3x - (x+1)}

.

3. Simplifier l'exposant à la fin.

« Résoudre l'équation » avec des exponentielles

e^{2x-1} = e^{x+3}

e^{x} = 5

, ou un produit nul comme

(x - 2)e^{x} = 0

1. Si les deux membres sont des exponentielles : égaliser les exposants.

2. Si

e^{x} = k

: vérifier que

k > 0

, puis

x = \ln k

.

3. Produit nul :

e^{x}

n'est jamais nul, donc seul l'autre facteur peut s'annuler.

« Résoudre l'équation » avec des logarithmes

Terminale

Terminale. Toujours commencer par le domaine, c'est là que se perdent les points.

1. Écrire les conditions d'existence (chaque argument de

\ln

strictement positif) et en déduire l'intervalle de résolution.

2. Regrouper en un seul logarithme de chaque côté, puis égaliser les arguments.

3. Résoudre, puis ne garder que les solutions dans le domaine.

« Résoudre l'inéquation »

Même démarche que pour une équation, en gardant le sens grâce à la croissance.

1. Pour

\ln

: domaine d'abord.

2. Appliquer la croissance pour passer aux exposants (ou aux arguments).

3. Résoudre l'inéquation obtenue, souvent du premier ou du second degré, et croiser avec le domaine.

« Déterminer le plus petit entier

n

tel que

q^n < s

Terminale

Terminale. Suite géométrique, médicament, décroissance d'une population.

1. Appliquer

\ln

aux deux membres (croissante, donc le sens est conservé) :

n \ln q < \ln s

.

2. Diviser par

\ln q

en regardant son signe : si

q < 1

\ln q < 0

et le sens s'inverse.

3. Calculer la valeur décimale et prendre le premier entier qui convient.

Fiche détaillée :Algorithme Python : trouver un seuil par une boucle « tant que »

Limite avec

e^{x}

\ln x

Terminale

Formes indéterminées «

\infty - \infty

» ou «

\dfrac{\infty}{\infty}

» entre une puissance de

x

et une exponentielle ou un logarithme.

1. Mettre en facteur le terme qui l'emporte.

2. Citer les croissances comparées.

Guide complet :Les limites et les formes indéterminées

Équation en

e^{2x}

e^{x}

e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0

: c'est un trinôme déguisé.

1. Poser

X = e^{x}

, avec

e^{2x} = X^2

.

2. Résoudre le trinôme en

X

, puis revenir à

x

en ne gardant que les

X > 0

Guide complet :Le second degré

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

1. Simplifier

A = \dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^{x+1}}

.

2. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^{2x-1} = e^{x+3}

.

3. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'inéquation

e^{x^2} > e^{3x}

.

4. Calculer la dérivée de

f(x) = (x + 1)\,e^{-x}

Rédaction

1. Au numérateur,

e^{a} \times e^{b} = e^{a+b}

e^{3x} \times e^{-x} = e^{3x - x} = e^{2x}

Puis

\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}

, avec des parenthèses autour de l'exposant du dénominateur :

A = e^{2x - (x + 1)} = e^{2x - x - 1} = e^{x - 1}

2. Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux :

2x - 1 = x + 3

x = 4

S = \{4\}

3. L'exponentielle est strictement croissante : elle conserve le sens.

x^2 > 3x

x^2 - 3x > 0

On factorise par

x

x(x - 3) > 0

. C'est un trinôme de racines

0

3

, de coefficient

a = 1 > 0

: il est positif à l'extérieur des racines.

S = \,]-\infty\,;0[\, \cup \,]3\,;+\infty[

(crochets ouverts : l'inégalité est stricte).

f

est un produit : on utilise

(uv)' = u'v + uv'

u(x) = x + 1

, donc

u'(x) = 1

v(x) = e^{-x}

, donc

v'(x) = -e^{-x}

(avec

(e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}

et ici

a = -1

f'(x) = 1 \times e^{-x} + (x + 1) \times (-e^{-x})

On met

e^{-x}

en facteur :

f'(x) = e^{-x}\,\big(1 - (x + 1)\big)

f'(x) = -x\,e^{-x}

Exemple Terminale

1. Résoudre l'équation

\ln(2x - 1) = \ln(x + 2)

.

2. Résoudre l'équation

\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6

.

3. Déterminer le plus petit entier naturel

n

tel que

0{,}85^n < 0{,}1

Rédaction

1. Domaine. Il faut

2x - 1 > 0

, soit

x > \dfrac{1}{2}

, et

x + 2 > 0

, soit

x > -2

. Les deux ensemble : on résout sur

\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[

.

Résolution. Sur ce domaine,

\ln a = \ln b \iff a = b

2x - 1 = x + 2

x = 3

Vérification du domaine :

3 > \dfrac{1}{2}

, donc on garde

3

S = \{3\}

2. Domaine. Il faut

x > 0

x - 1 > 0

, soit

x > 1

.

Regroupement.

\ln a + \ln b = \ln(ab)

\ln\big(x(x - 1)\big) = \ln 6

x(x - 1) = 6

x^2 - x - 6 = 0

Second degré :

a = 1

b = -1

c = -6

, donc

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25

, et

\sqrt{25} = 5

. Les racines sont

\dfrac{1 - 5}{2} = -2

\dfrac{1 + 5}{2} = 3

.

Tri :

-2

n'est pas dans le domaine (

-2 < 1

), on l'écarte.

S = \{3\}

3. On applique

\ln

, croissante, aux deux membres :

\ln(0{,}85^n) < \ln(0{,}1)

n \ln(0{,}85) < \ln(0{,}1)

Attention au signe :

0{,}85 < 1

, donc

\ln(0{,}85) < 0

. En divisant par ce nombre négatif, le sens s'inverse :

n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)}

À la calculatrice,

\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)} \approx 14{,}17

. Le plus petit entier strictement supérieur est

15

.

Vérification :

0{,}85^{14} \approx 0{,}103 > 0{,}1

0{,}85^{15} \approx 0{,}087 < 0{,}1

. La réponse est

n = 15

Pièges classiques

Écrire $e^{a+b} = e^{a} + e^{b}$ ou $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ : c'est faux. Les règles transforment une somme en produit (pour

e

) et un produit en somme (pour

\ln

Oublier le domaine d'un logarithme : une solution trouvée en dehors doit être écartée, sinon la réponse est fausse.

Garder le sens de l'inégalité en divisant par $\ln q$ avec $q < 1$ :

\ln q

est négatif, le sens s'inverse.

Chercher une solution à $e^{x} = -2$ : une exponentielle est toujours strictement positive, il n'y en a pas.

Oublier les parenthèses dans un exposant :

e^{2x} \div e^{x+1} = e^{2x - (x+1)}

, pas

e^{2x - x + 1}

Oublier le facteur $u'$ :

(e^{-x})' = -e^{-x}

, pas

e^{-x}

Confondre $e^{-kt}$ et $-e^{kt}$ : la première est positive et décroît vers

0

, la seconde est négative.

Avant de rendre la copie

Chaque règle de calcul utilisée est correcte (somme ↔ produit dans le bon sens).

Pour un logarithme, le domaine est écrit avant la résolution.

Les solutions sont confrontées au domaine.

En divisant par un logarithme, j'ai vérifié son signe.

Pour un seuil, j'ai vérifié la réponse avec deux valeurs de la calculatrice.