Grand classique · Géométrie dans l'espaceTerminale

La géométrie dans l'espace

Vecteurs, produit scalaire, représentations paramétriques, équations de plans, projeté et distance : la boîte à outils de l'exercice de géométrie du bac.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Produit scalaire dans l'espace, Droites et plans de l'espace

Pourquoi c'est partout

L'exercice de géométrie dans l'espace est présent dans presque chaque sujet, et c'est souvent celui où les points sont les plus faciles à prendre : tout se ramène à des calculs sur des coordonnées.

L'énoncé suit presque toujours le même fil : montrer que trois points définissent un plan, trouver un vecteur normal, en déduire une équation cartésienne, écrire une représentation paramétrique de droite, calculer une intersection, puis une distance ou un volume. Chaque étape a sa méthode, et chaque méthode tient en quelques lignes.

Ce qu'il faut savoir

Vecteurs et coordonnées

Pour

A(x_A\,;y_A\,;z_A)

B(x_B\,;y_B\,;z_B)

\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)

Longueur :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

.

Colinéarité : deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles (l'un est

k

fois l'autre). Trois points sont alignés si

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

sont colinéaires.

Produit scalaire et orthogonalité

Pour

\vec{u}\,(x\,;y\,;z)

\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')

dans un repère orthonormé :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

Orthogonalité :

\vec{u}

\vec{v}

sont orthogonaux si et seulement si

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

.

Norme :

\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

.

Angle :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

, où

\theta

est l'angle des deux vecteurs. On en tire

\cos\theta

, puis

\theta

à la calculatrice.

Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par

A(x_A\,;y_A\,;z_A)

, de vecteur directeur

\vec{u}\,(a\,;b\,;c)

, a pour représentation :

x = x_A + a\,t

y = y_A + b\,t

z = z_A + c\,t

avec

t

réel. Un point est sur la droite s'il existe un même

t

qui vérifie les trois équations.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan de vecteur normal

\vec{n}\,(a\,;b\,;c)

a une équation de la forme :

ax + by + cz + d = 0

On trouve

d

en remplaçant par les coordonnées d'un point du plan.

\vec{n}

est normal au plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Positions relatives

Droite et plan : si

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

, la droite est parallèle au plan (ou contenue dedans) ; sinon, elle le coupe en un point.

Droite orthogonale à un plan : son vecteur directeur est colinéaire à

\vec{n}

.

Deux droites : parallèles (vecteurs directeurs colinéaires), sécantes (un point commun), ou non coplanaires (ni l'un ni l'autre).

Deux plans : parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; sinon, ils se coupent selon une droite, et ils sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Les questions types

1
« Montrer que les points $A$ , $B$ , $C$ définissent un plan »
La première question, presque toujours.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

2. Montrer qu'ils ne sont pas colinéaires : trouver deux rapports de coordonnées différents.

3. Conclure : les points ne sont pas alignés, ils définissent un plan.
2
« Montrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ »
$\vec{n}$ est donné : on vérifie, on ne cherche pas.
1. Calculer $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}$ .

2. Constater que les deux sont nuls.

3. Conclure : $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal au plan.
Fiche détaillée :Montrer qu'un vecteur est normal à un plan
3
« En déduire une équation cartésienne du plan »
Juste après le vecteur normal.
1. Écrire $ax + by + cz + d = 0$ avec les coordonnées de $\vec{n}$ .

2. Remplacer par les coordonnées d'un point du plan pour trouver $d$ .

3. Vérifier avec un autre point du plan.
Fiche détaillée :Montrer qu'un vecteur est normal à un plan
4
« Déterminer une représentation paramétrique de la droite… »
La droite passe par un point donné et a un vecteur directeur donné ou à trouver (souvent $\vec{n}$ pour une perpendiculaire au plan).
1. Identifier un point et un vecteur directeur.

2. Écrire les trois équations $x = x_A + a\,t$ , etc.

3. Préciser « avec $t \in \mathbb{R}$ ».
5
« Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite et du plan »
Après une représentation paramétrique et une équation de plan.
1. Remplacer $x$ , $y$ , $z$ de la représentation dans l'équation du plan.

2. Résoudre l'équation obtenue en $t$ (une seule inconnue).

3. Remettre cette valeur de $t$ dans la représentation pour obtenir les coordonnées.
6
« Étudier la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ »
Deux représentations paramétriques sont données, avec des paramètres différents.
1. Comparer les vecteurs directeurs : colinéaires, les droites sont parallèles.

2. Sinon, chercher un point commun en résolvant le système (deux paramètres différents, $t$ et $s$ ).

3. Pas de solution : les droites sont non coplanaires.
Fiche détaillée :Position relative de deux droites de l'espace
7
« Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan », « calculer la distance »
Fin d'exercice, souvent avant un calcul de volume.
1. Montrer que $H$ appartient au plan et que $\overrightarrow{DH}$ est colinéaire à $\vec{n}$ .

2. La distance de $D$ au plan est la longueur $DH$ .
Fiche détaillée :Distance d'un point à un plan via le projeté orthogonal
8
« Calculer le volume du tétraèdre »
Dernière question, qui réutilise la distance précédente comme hauteur.
1. Choisir une base dont l'aire se calcule facilement.

2. La hauteur est la distance du quatrième sommet au plan de la base.

3. $V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$ .
Fiche détaillée :Volume d'un tétraèdre : bien choisir sa base
9
« Les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont-ils coplanaires ? »
Quatre points, souvent juste après l'équation du plan $(ABC)$ .
1. Si l'équation du plan $(ABC)$ est connue : remplacer les coordonnées de $D$ ; $D$ appartient au plan si et seulement si l'équation est vérifiée.

2. Sinon : chercher deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$ avec deux coordonnées, puis vérifier la troisième.

3. Conclure par une phrase : les points sont coplanaires, ou ne le sont pas.
10
« Calculer une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ »
Arrive après le calcul des coordonnées des vecteurs : la calculatrice donne l'angle à la fin.
1. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ avec les coordonnées.

2. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$ .

3. En déduire $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}$ , puis l'angle à la calculatrice, arrondi comme demandé.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points

A(1\,;0\,;2)

B(2\,;1\,;0)

C(0\,;1\,;1)

D(2\,;5\,;1)

.

1. Montrer que les points

A

B

C

définissent un plan.

2. Montrer que

\vec{n}\,(1\,;3\,;2)

est un vecteur normal au plan

(ABC)

.

3. En déduire une équation cartésienne du plan

(ABC)

.

4. Soit

\Delta

la droite passant par

D

et orthogonale au plan

(ABC)

. Déterminer une représentation paramétrique de

\Delta

, puis les coordonnées du point

H

, intersection de

\Delta

et de

(ABC)

.

5. En déduire la distance du point

D

au plan

(ABC)

Rédaction

1. On calcule les deux vecteurs (arrivée moins départ) :

\overrightarrow{AB}\,(2 - 1\,;\,1 - 0\,;\,0 - 2) = (1\,;1\,;-2)

\overrightarrow{AC}\,(0 - 1\,;\,1 - 0\,;\,1 - 2) = (-1\,;1\,;-1)

S'ils étaient colinéaires, les rapports des coordonnées seraient tous égaux. Or

\dfrac{-1}{1} = -1

pour les premières coordonnées et

\dfrac{1}{1} = 1

pour les deuxièmes : les rapports diffèrent. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc

A

B

C

ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

2. On calcule les deux produits scalaires avec la formule

xx' + yy' + zz'

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times (-2) = 1 + 3 - 4 = 0

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times 1 + 2 \times (-1) = -1 + 3 - 2 = 0

\vec{n}

est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan

(ABC)

: c'est un vecteur normal à ce plan.

3. Le plan a une équation de la forme

x + 3y + 2z + d = 0

(les coefficients de

x

y

z

sont les coordonnées de

\vec{n}

A

est dans le plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

1 + 3 \times 0 + 2 \times 2 + d = 0

5 + d = 0

donc

d = -5

. Une équation du plan

(ABC)

est :

x + 3y + 2z - 5 = 0

Vérification avec $B$ :

2 + 3 - 0 - 5 = 0

. Avec $C$ :

0 + 3 + 2 - 5 = 0

\Delta

est orthogonale au plan, donc dirigée par

\vec{n}\,(1\,;3\,;2)

. Elle passe par

D(2\,;5\,;1)

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 1 + 2t

avec

t \in \mathbb{R}

.

Intersection. On remplace dans l'équation du plan :

(2 + t) + 3(5 + 3t) + 2(1 + 2t) - 5 = 0

On développe :

2 + t + 15 + 9t + 2 + 4t - 5 = 0

, soit en regroupant les

t

et les nombres :

14t + 14 = 0

donc

t = -1

. On remet

t = -1

dans la représentation :

x = 2 - 1 = 1

y = 5 - 3 = 2

z = 1 - 2 = -1

H\,(1\,;2\,;-1)

H

est sur le plan et

(DH)

est orthogonale au plan :

H

est le projeté orthogonal de

D

, et la distance de

D

au plan est

DH

\overrightarrow{DH}\,(1 - 2\,;\,2 - 5\,;\,-1 - 1) = (-1\,;-3\,;-2)

DH = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}

La distance de

D

au plan

(ABC)

est

\sqrt{14} \approx 3{,}74

Pièges classiques

Calculer $\overrightarrow{AB}$ à l'envers : c'est « arrivée moins départ », $x_B - x_A$ .
Vérifier un vecteur normal avec un seul produit scalaire : il en faut deux, avec deux vecteurs non colinéaires du plan.
Confondre vecteur normal et vecteur directeur : $\vec{n}$ est perpendiculaire au plan ; pour une droite orthogonale au plan, c'est lui qui sert de vecteur directeur.
Utiliser le même paramètre $t$ pour deux droites différentes : on note $t$ pour l'une et $s$ pour l'autre.
S'arrêter à la valeur de $t$ pour une intersection : il faut la remettre dans la représentation pour obtenir les coordonnées.
Oublier le $\dfrac{1}{3}$ dans le volume d'un tétraèdre.

Avant de rendre la copie

Chaque vecteur est calculé « arrivée moins départ », avec le détail des soustractions.
Le vecteur normal est vérifié par deux produits scalaires nuls.
L'équation du plan est vérifiée avec un deuxième point.
La représentation paramétrique précise « avec $t \in \mathbb{R}$ ».
Pour une intersection, la valeur de $t$ est remise dans la représentation.

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La géométrie dans l'espace

Vecteurs, produit scalaire, représentations paramétriques, équations de plans, projeté et distance : la boîte à outils de l'exercice de géométrie du bac.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Produit scalaire dans l'espace, Droites et plans de l'espace

Pourquoi c'est partout

Ce qu'il faut savoir

Vecteurs et coordonnées

Pour

A(x_A\,;y_A\,;z_A)

B(x_B\,;y_B\,;z_B)

\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)

Longueur :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

.

Colinéarité : deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles (l'un est

k

fois l'autre). Trois points sont alignés si

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

sont colinéaires.

Produit scalaire et orthogonalité

Pour

\vec{u}\,(x\,;y\,;z)

\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')

dans un repère orthonormé :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

Orthogonalité :

\vec{u}

\vec{v}

sont orthogonaux si et seulement si

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

.

Norme :

\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

.

Angle :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

, où

\theta

est l'angle des deux vecteurs. On en tire

\cos\theta

, puis

\theta

à la calculatrice.

Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par

A(x_A\,;y_A\,;z_A)

, de vecteur directeur

\vec{u}\,(a\,;b\,;c)

, a pour représentation :

x = x_A + a\,t

y = y_A + b\,t

z = z_A + c\,t

avec

t

réel. Un point est sur la droite s'il existe un même

t

qui vérifie les trois équations.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan de vecteur normal

\vec{n}\,(a\,;b\,;c)

a une équation de la forme :

ax + by + cz + d = 0

On trouve

d

en remplaçant par les coordonnées d'un point du plan.

\vec{n}

est normal au plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Positions relatives

Droite et plan : si

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

, la droite est parallèle au plan (ou contenue dedans) ; sinon, elle le coupe en un point.

Droite orthogonale à un plan : son vecteur directeur est colinéaire à

\vec{n}

Les questions types

« Montrer que les points

A

B

C

définissent un plan »

La première question, presque toujours.

1. Calculer

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

.

2. Montrer qu'ils ne sont pas colinéaires : trouver deux rapports de coordonnées différents.

3. Conclure : les points ne sont pas alignés, ils définissent un plan.

« Montrer que

\vec{n}

est un vecteur normal au plan

(ABC)

\vec{n}

est donné : on vérifie, on ne cherche pas.

1. Calculer

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}

.

2. Constater que les deux sont nuls.

3. Conclure :

\vec{n}

est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal au plan.

Fiche détaillée :Montrer qu'un vecteur est normal à un plan

« En déduire une équation cartésienne du plan »

Juste après le vecteur normal.

1. Écrire

ax + by + cz + d = 0

avec les coordonnées de

\vec{n}

.

2. Remplacer par les coordonnées d'un point du plan pour trouver

d

.

3. Vérifier avec un autre point du plan.

Fiche détaillée :Montrer qu'un vecteur est normal à un plan

« Déterminer une représentation paramétrique de la droite… »

La droite passe par un point donné et a un vecteur directeur donné ou à trouver (souvent

\vec{n}

pour une perpendiculaire au plan).

1. Identifier un point et un vecteur directeur.

2. Écrire les trois équations

x = x_A + a\,t

, etc.

3. Préciser « avec

t \in \mathbb{R}

».

« Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite et du plan »

Après une représentation paramétrique et une équation de plan.

1. Remplacer

x

y

z

de la représentation dans l'équation du plan.

2. Résoudre l'équation obtenue en

t

(une seule inconnue).

3. Remettre cette valeur de

t

dans la représentation pour obtenir les coordonnées.

« Étudier la position relative des droites

d_1

d_2

Deux représentations paramétriques sont données, avec des paramètres différents.

1. Comparer les vecteurs directeurs : colinéaires, les droites sont parallèles.

2. Sinon, chercher un point commun en résolvant le système (deux paramètres différents,

t

s

).

3. Pas de solution : les droites sont non coplanaires.

Fiche détaillée :Position relative de deux droites de l'espace

« Montrer que

H

est le projeté orthogonal de

D

sur le plan », « calculer la distance »

Fin d'exercice, souvent avant un calcul de volume.

1. Montrer que

H

appartient au plan et que

\overrightarrow{DH}

est colinéaire à

\vec{n}

.

2. La distance de

D

au plan est la longueur

DH

Fiche détaillée :Distance d'un point à un plan via le projeté orthogonal

« Calculer le volume du tétraèdre »

Dernière question, qui réutilise la distance précédente comme hauteur.

1. Choisir une base dont l'aire se calcule facilement.

2. La hauteur est la distance du quatrième sommet au plan de la base.

3.

V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}

Fiche détaillée :Volume d'un tétraèdre : bien choisir sa base

« Les points

A

B

C

D

sont-ils coplanaires ? »

Quatre points, souvent juste après l'équation du plan

(ABC)

1. Si l'équation du plan

(ABC)

est connue : remplacer les coordonnées de

D

;

D

appartient au plan si et seulement si l'équation est vérifiée.

2. Sinon : chercher deux réels

\lambda

\mu

tels que

\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}

avec deux coordonnées, puis vérifier la troisième.

3. Conclure par une phrase : les points sont coplanaires, ou ne le sont pas.

« Calculer une mesure de l'angle

\widehat{BAC}

Arrive après le calcul des coordonnées des vecteurs : la calculatrice donne l'angle à la fin.

1. Calculer

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

avec les coordonnées.

2. Calculer les longueurs

AB

AC

.

3. En déduire

\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}

, puis l'angle à la calculatrice, arrondi comme demandé.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple Terminale

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points

A(1\,;0\,;2)

B(2\,;1\,;0)

C(0\,;1\,;1)

D(2\,;5\,;1)

.

1. Montrer que les points

A

B

C

définissent un plan.

2. Montrer que

\vec{n}\,(1\,;3\,;2)

est un vecteur normal au plan

(ABC)

.

3. En déduire une équation cartésienne du plan

(ABC)

.

4. Soit

\Delta

la droite passant par

D

et orthogonale au plan

(ABC)

. Déterminer une représentation paramétrique de

\Delta

, puis les coordonnées du point

H

, intersection de

\Delta

et de

(ABC)

.

5. En déduire la distance du point

D

au plan

(ABC)

Rédaction

1. On calcule les deux vecteurs (arrivée moins départ) :

\overrightarrow{AB}\,(2 - 1\,;\,1 - 0\,;\,0 - 2) = (1\,;1\,;-2)

\overrightarrow{AC}\,(0 - 1\,;\,1 - 0\,;\,1 - 2) = (-1\,;1\,;-1)

S'ils étaient colinéaires, les rapports des coordonnées seraient tous égaux. Or

\dfrac{-1}{1} = -1

pour les premières coordonnées et

\dfrac{1}{1} = 1

pour les deuxièmes : les rapports diffèrent. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc

A

B

C

ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

2. On calcule les deux produits scalaires avec la formule

xx' + yy' + zz'

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times (-2) = 1 + 3 - 4 = 0

\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times 1 + 2 \times (-1) = -1 + 3 - 2 = 0

\vec{n}

est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan

(ABC)

: c'est un vecteur normal à ce plan.

3. Le plan a une équation de la forme

x + 3y + 2z + d = 0

(les coefficients de

x

y

z

sont les coordonnées de

\vec{n}

A

est dans le plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

1 + 3 \times 0 + 2 \times 2 + d = 0

5 + d = 0

donc

d = -5

. Une équation du plan

(ABC)

est :

x + 3y + 2z - 5 = 0

Vérification avec $B$ :

2 + 3 - 0 - 5 = 0

. Avec $C$ :

0 + 3 + 2 - 5 = 0

\Delta

est orthogonale au plan, donc dirigée par

\vec{n}\,(1\,;3\,;2)

. Elle passe par

D(2\,;5\,;1)

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 1 + 2t

avec

t \in \mathbb{R}

.

Intersection. On remplace dans l'équation du plan :

(2 + t) + 3(5 + 3t) + 2(1 + 2t) - 5 = 0

On développe :

2 + t + 15 + 9t + 2 + 4t - 5 = 0

, soit en regroupant les

t

et les nombres :

14t + 14 = 0

donc

t = -1

. On remet

t = -1

dans la représentation :

x = 2 - 1 = 1

y = 5 - 3 = 2

z = 1 - 2 = -1

H\,(1\,;2\,;-1)

H

est sur le plan et

(DH)

est orthogonale au plan :

H

est le projeté orthogonal de

D

, et la distance de

D

au plan est

DH

\overrightarrow{DH}\,(1 - 2\,;\,2 - 5\,;\,-1 - 1) = (-1\,;-3\,;-2)

DH = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}

La distance de

D

au plan

(ABC)

est

\sqrt{14} \approx 3{,}74

Pièges classiques

Calculer $\overrightarrow{AB}$ à l'envers : c'est « arrivée moins départ »,

x_B - x_A

Vérifier un vecteur normal avec un seul produit scalaire : il en faut deux, avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

Confondre vecteur normal et vecteur directeur :

\vec{n}

est perpendiculaire au plan ; pour une droite orthogonale au plan, c'est lui qui sert de vecteur directeur.

Utiliser le même paramètre $t$ pour deux droites différentes : on note

t

pour l'une et

s

pour l'autre.

S'arrêter à la valeur de $t$ pour une intersection : il faut la remettre dans la représentation pour obtenir les coordonnées.

Oublier le $\dfrac{1}{3}$ dans le volume d'un tétraèdre.

Avant de rendre la copie

Chaque vecteur est calculé « arrivée moins départ », avec le détail des soustractions.

Le vecteur normal est vérifié par deux produits scalaires nuls.

L'équation du plan est vérifiée avec un deuxième point.

La représentation paramétrique précise « avec

t \in \mathbb{R}

».

Pour une intersection, la valeur de

t

est remise dans la représentation.