Grand classique · Fonctions1reTerminale

L'étude de fonction de A à Z

Le grand exercice de fonctions suit presque toujours le même plan : le connaître, c'est savoir à chaque question où l'on en est et ce qu'on attend de toi.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Dérivation, Limites et continuité, Convexité, composée et fonctions trigonométriques, Fonction logarithme

Pourquoi c'est partout

Presque chaque sujet contient un exercice entier sur une fonction. Les questions changent de forme, mais l'ordre est toujours le même : domaine, limites, dérivée, variations, puis une application (équation, inégalité, tangente, convexité, suite ou aire).

Chaque étape sert la suivante : la dérivée donne les variations, les variations donnent le nombre de solutions, etc. Quand une question te bloque, demande-toi à quelle étape du plan elle correspond : la méthode suit.

En 1re, le plan s'arrête aux variations, aux extremums et à la tangente. En Terminale, s'ajoutent les limites, le théorème des valeurs intermédiaires et la convexité.

Ce qu'il faut savoir

Le plan type

1. Domaine : où

f(x)

existe.

2. Limites aux bornes (Terminale), et les asymptotes qu'elles révèlent.

3. Dérivée

f'(x)

, écrite sous forme factorisée.

4. Signe de $f'(x)$ , puis tableau de variations.

5. Applications : nombre de solutions d'une équation, extremum, inégalité, tangente.

6. Convexité (Terminale) : signe de

f''(x)

, point d'inflexion.

Trouver le domaine

On repère ce qui peut poser problème dans l'expression :

Un quotient : le dénominateur doit être non nul.

Une racine carrée

\sqrt{u}

: il faut

u \geq 0

.

Un logarithme

\ln u

(Terminale) : il faut

u > 0

, strictement.

Les polynômes et l'exponentielle sont définis sur

\mathbb{R}

tout entier.

Tangente en un point

La tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

a pour équation :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Il faut donc deux nombres :

f(a)

(la hauteur du point) et

f'(a)

(la pente). Une tangente horizontale correspond à

f'(a) = 0

Asymptotes (Terminale)

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell

(un nombre), la droite

y = \ell

est asymptote horizontale en

+\infty

(pareil en

-\infty

).

Si

\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty

-\infty

, la droite

x = a

est asymptote verticale. Cela arrive en général à une valeur interdite.

Convexité (Terminale)

On dérive deux fois. Sur un intervalle :

Si

f''(x) \geq 0

f

est convexe : la courbe est au-dessus de ses tangentes, elle « sourit ».

Si

f''(x) \leq 0

f

est concave : la courbe est en dessous de ses tangentes.

Un point d'inflexion est un point où

f''

s'annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente.

Sans $f''$ :

f

est convexe sur un intervalle si et seulement si

f'

y est croissante. Inégalité de convexité : une courbe convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; avec la tangente en

0

à l'exponentielle, on obtient

e^{x} \geq x + 1

pour tout réel

x

Les fonctions sinus et cosinus (Terminale)

\cos

\sin

sont définies et dérivables sur

\mathbb{R}

\cos' = -\sin

\sin' = \cos

Pour une composée avec une fonction affine,

\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)

\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b)

.

Elles sont $2\pi$ -périodiques,

\cos

est paire et

\sin

impaire : on les étudie sur

[0\,;\pi]

, puis on complète la courbe par symétrie et par translation. Sur

[0\,;\pi]

\cos

décroît de

1

-1

;

\sin

croît de

0

1

sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

, puis décroît jusqu'à

0

Les questions types

1
« Déterminer l'ensemble de définition de $f$ »
Souvent implicite : l'énoncé donne directement l'intervalle. Quand il le demande, c'est qu'il y a un quotient, un logarithme ou une racine.
1. Repérer chaque quotient, logarithme ou racine dans l'expression.

2. Écrire la condition correspondante et la résoudre.

3. Conclure par une phrase : « $f$ est définie sur … ».
2
« Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine »
Terminale
Terminale. Juste après le domaine : les limites remplissent les extrémités du tableau de variations.
1. Essayer d'abord les opérations sur les limites, sans rien transformer.

2. Si on tombe sur une forme indéterminée, factoriser par le terme qui domine ou utiliser les croissances comparées.

3. Interpréter : asymptote horizontale ou verticale.
Guide complet :Les limites et les formes indéterminées
3
« Montrer que $f'(x) = \dots$ »
L'énoncé donne la dérivée attendue : c'est la forme dont tu auras besoin pour le signe.
1. Repérer la structure de $f$ (somme, produit, quotient, composée) et écrire la formule de dérivation utilisée.

2. Écrire $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ séparément, puis remplacer.

3. Transformer le résultat jusqu'à obtenir exactement la forme de l'énoncé. On part de $f'(x)$ calculée et on arrive à la forme demandée, jamais l'inverse.
4
« Étudier les variations de $f$ »
Le cœur de l'exercice. Tout le reste en dépend.
1. Étudier le signe de $f'(x)$ facteur par facteur, en justifiant chacun.

2. En déduire les variations et dresser le tableau, avec des valeurs exactes au bout des flèches.
Guide complet :Le tableau de variations
5
« Montrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution »
Terminale
Terminale. Arrive juste après le tableau de variations.
1. Sur le tableau, repérer l'intervalle où la valeur $k$ est atteinte.

2. Écrire les trois arguments : continuité, stricte monotonie, $k$ compris entre les valeurs aux bornes.

3. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Guide complet :Le théorème des valeurs intermédiaires
6
« Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ »
Une question rapide qui rapporte des points sûrs : il suffit d'appliquer la formule.
1. Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ , chacun sur sa ligne.

2. Remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

3. Développer pour donner l'équation sous la forme $y = mx + p$ .
7
« Étudier la position relative de la courbe et de la droite $\mathscr{D}$ »
La droite est souvent la tangente ou une asymptote. La question revient à comparer $f(x)$ et $mx + p$ .
1. Calculer la différence $d(x) = f(x) - (mx + p)$ et la simplifier (même dénominateur, factorisation).

2. Étudier le signe de $d(x)$ .

3. Conclure : là où $d(x) \geq 0$ , la courbe est au-dessus de la droite ; là où $d(x) \leq 0$ , elle est en dessous.
Fiche détaillée :Prouver une inégalité par étude de la fonction différence
8
« Étudier la convexité de $f$ » ou « montrer que la courbe admet un point d'inflexion »
Terminale
Terminale. Souvent la dernière question sur la fonction elle-même ; $f''$ est parfois donnée.
1. Calculer $f''(x)$ en dérivant $f'(x)$ (ou utiliser celle de l'énoncé).

2. Étudier son signe : convexe là où $f'' \geq 0$ , concave là où $f'' \leq 0$ .

3. Un changement de signe de $f''$ donne un point d'inflexion : calculer ses coordonnées.
Fiche détaillée :Convexité : signe de $f''$ et point d'inflexion
9
« Résoudre un problème d'optimisation » : aire, volume, coût, bénéfice
L'énoncé décrit une situation : c'est à la copie de choisir la variable et d'écrire la fonction. Une capacité du programme 2026 de 1re, qui revient en Terminale.
1. Choisir la variable $x$ et son intervalle de valeurs possibles, d'après les contraintes de l'énoncé.

2. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$ .

3. Étudier ses variations par la dérivée et repérer l'extremum, sans oublier les valeurs aux bornes.

4. Répondre à la question posée, dans le contexte et avec l'unité.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

]-1\,;+\infty[

par :

f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}

1. Calculer

f'(x)

et en déduire les variations de

f

.

2. Déterminer une équation de la tangente

T

à la courbe de

f

au point d'abscisse

0

.

3. Étudier la position relative de la courbe de

f

et de

T

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est un quotient. Sur

]-1\,;+\infty[

, le dénominateur

x + 1

ne s'annule pas, donc

f

est dérivable. On utilise la formule :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

On écrit chaque morceau :

u(x) = 2x - 1

, donc

u'(x) = 2

v(x) = x + 1

, donc

v'(x) = 1

.

On remplace dans la formule :

f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 1) \times 1}{(x + 1)^2}

On développe le numérateur, sans oublier que le signe moins porte sur toute la parenthèse

(2x - 1)

2(x + 1) - (2x - 1) = 2x + 2 - 2x + 1 = 3

f'(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2}

Signe. Le numérateur

3

est positif. Le dénominateur est un carré, non nul sur

]-1\,;+\infty[

, donc strictement positif. Ainsi

f'(x) > 0

pour tout

x

]-1\,;+\infty[

.

Conclusion.

f

est strictement croissante sur

]-1\,;+\infty[

2. On a besoin de

f(0)

et de

f'(0)

f(0) = \dfrac{2 \times 0 - 1}{0 + 1} = -1

f'(0) = \dfrac{3}{(0 + 1)^2} = 3

On remplace dans

y = f'(0)(x - 0) + f(0)

y = 3x - 1

3. On étudie le signe de la différence

d(x) = f(x) - (3x - 1)

. On met tout au même dénominateur

x + 1

d(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1} - \dfrac{(3x - 1)(x + 1)}{x + 1}

On développe

(3x - 1)(x + 1) = 3x^2 + 3x - x - 1 = 3x^2 + 2x - 1

. Au numérateur :

2x - 1 - (3x^2 + 2x - 1) = 2x - 1 - 3x^2 - 2x + 1 = -3x^2

d(x) = \dfrac{-3x^2}{x + 1}

Signe.

x^2 \geq 0

, donc

-3x^2 \leq 0

; et

x + 1 > 0

sur

]-1\,;+\infty[

. Donc

d(x) \leq 0

, et

d(x) = 0

seulement pour

x = 0

.

Conclusion. La courbe de

f

est en dessous de sa tangente

T

sur

]-1\,;+\infty[

, et la touche seulement au point d'abscisse

0

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

]0\,;+\infty[

par :

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

1. Déterminer les limites de

f

0

et en

+\infty

, et les interpréter graphiquement.

2. Montrer que

f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}

et dresser le tableau de variations de

f

.

3. On admet que

f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}

. Étudier la convexité de

f

et préciser l'abscisse du point d'inflexion.

Rédaction

1. Limite en $0$ . Quand

x

tend vers

0

(par valeurs positives),

\ln x

tend vers

-\infty

x

tend vers

0^+

. On divise un nombre très négatif par un petit nombre positif : il n'y a pas d'indétermination, et

\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty

La droite d'équation

x = 0

(l'axe des ordonnées) est asymptote verticale.

Limite en $+\infty$ .

\ln x

x

tendent tous deux vers

+\infty

: c'est une forme indéterminée «

\dfrac{\infty}{\infty}

». On utilise les croissances comparées, à connaître par cœur :

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

. Donc

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

La droite d'équation

y = 0

(l'axe des abscisses) est asymptote horizontale en

+\infty

2. Calcul de la dérivée.

f

est un quotient de fonctions dérivables sur

]0\,;+\infty[

, avec un dénominateur qui ne s'annule pas. On utilise :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

u(x) = \ln x

, donc

u'(x) = \dfrac{1}{x}

v(x) = x

, donc

v'(x) = 1

f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2}

\dfrac{1}{x} \times x = 1

, donc :

f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}

Signe.

x^2 > 0

sur

]0\,;+\infty[

f'(x)

a le signe de

1 - \ln x

. On résout

1 - \ln x > 0

, soit

\ln x < 1

. Comme

\ln

est croissante et

\ln e = 1

, cela équivaut à

x < e

. Donc

f'(x) > 0

sur

]0\,;e[

f'(e) = 0

f'(x) < 0

sur

]e\,;+\infty[

.

Valeur au sommet.

f(e) = \dfrac{\ln e}{e} = \dfrac{1}{e}

3. Signe de $f''(x)$ . Sur

]0\,;+\infty[

x^3 > 0

f''(x)

a le signe de

2\ln x - 3

2\ln x - 3 > 0 \iff \ln x > \dfrac{3}{2} \iff x > e^{3/2}

(on applique l'exponentielle, croissante, aux deux membres). Remarque :

e^{3/2} = e\sqrt{e} \approx 4{,}48

Conclusion.

f

est concave sur

]0\,;e^{3/2}]

et convexe sur

[e^{3/2}\,;+\infty[

. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en

e^{3/2}

: la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse

e^{3/2}

Pièges classiques

Partir du résultat donné par l'énoncé pour « montrer que $f'(x) = \dots$ » : on calcule $f'(x)$ à partir de $f$ , puis on arrive à la forme demandée.
Oublier la parenthèse dans $u'v - uv'$ : $-(2x - 1)$ donne $-2x + 1$ , pas $-2x - 1$ . C'est l'erreur de signe la plus fréquente sur un quotient.
Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de tangente : $f'(a)$ est la pente (devant $x$ ), $f(a)$ est la hauteur du point.
Oublier la condition stricte du logarithme : $\ln u$ exige $u > 0$ , pas $u \geq 0$ .
Conclure à un point d'inflexion dès que $f''(a) = 0$ : il faut un changement de signe de $f''$ en $a$ .
Laisser une limite sans interprétation quand l'énoncé dit « interpréter graphiquement » : nommer l'asymptote et donner son équation.
Confondre l'abscisse d'un extremum et sa valeur : le volume est maximal pour $x = 5$ , et il vaut $V(5)$ .

Avant de rendre la copie

Le domaine est justifié (dénominateur non nul, logarithme d'un nombre strictement positif).
La formule de dérivation est écrite, avec $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ .
La dérivée est simplifiée et factorisée avant l'étude du signe.
Chaque facteur a son signe justifié par une phrase.
Le tableau contient des valeurs exactes et, en Terminale, les limites aux bornes.
Chaque limite interprétée nomme son asymptote avec son équation.
Chaque question se termine par une phrase de conclusion.

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L'étude de fonction de A à Z

Le grand exercice de fonctions suit presque toujours le même plan : le connaître, c'est savoir à chaque question où l'on en est et ce qu'on attend de toi.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Dérivation, Limites et continuité, Convexité, composée et fonctions trigonométriques, Fonction logarithme

Pourquoi c'est partout

Ce qu'il faut savoir

Le plan type

1. Domaine : où

f(x)

existe.

2. Limites aux bornes (Terminale), et les asymptotes qu'elles révèlent.

3. Dérivée

f'(x)

f''(x)

, point d'inflexion.

Trouver le domaine

On repère ce qui peut poser problème dans l'expression :

Un quotient : le dénominateur doit être non nul.

Une racine carrée

\sqrt{u}

: il faut

u \geq 0

.

Un logarithme

\ln u

(Terminale) : il faut

u > 0

, strictement.

Les polynômes et l'exponentielle sont définis sur

\mathbb{R}

tout entier.

Tangente en un point

La tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

a pour équation :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Il faut donc deux nombres :

f(a)

(la hauteur du point) et

f'(a)

(la pente). Une tangente horizontale correspond à

f'(a) = 0

Asymptotes (Terminale)

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell

(un nombre), la droite

y = \ell

est asymptote horizontale en

+\infty

(pareil en

-\infty

).

Si

\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty

-\infty

, la droite

x = a

est asymptote verticale. Cela arrive en général à une valeur interdite.

Convexité (Terminale)

On dérive deux fois. Sur un intervalle :

Si

f''(x) \geq 0

f

est convexe : la courbe est au-dessus de ses tangentes, elle « sourit ».

Si

f''(x) \leq 0

f

est concave : la courbe est en dessous de ses tangentes.

Un point d'inflexion est un point où

f''

s'annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente.

Sans $f''$ :

f

est convexe sur un intervalle si et seulement si

f'

y est croissante. Inégalité de convexité : une courbe convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; avec la tangente en

0

à l'exponentielle, on obtient

e^{x} \geq x + 1

pour tout réel

x

Les fonctions sinus et cosinus (Terminale)

\cos

\sin

sont définies et dérivables sur

\mathbb{R}

\cos' = -\sin

\sin' = \cos

Pour une composée avec une fonction affine,

\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)

\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b)

.

Elles sont $2\pi$ -périodiques,

\cos

est paire et

\sin

impaire : on les étudie sur

[0\,;\pi]

, puis on complète la courbe par symétrie et par translation. Sur

[0\,;\pi]

\cos

décroît de

1

-1

;

\sin

croît de

0

1

sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

, puis décroît jusqu'à

0

Les questions types

« Déterminer l'ensemble de définition de

f

Souvent implicite : l'énoncé donne directement l'intervalle. Quand il le demande, c'est qu'il y a un quotient, un logarithme ou une racine.

1. Repérer chaque quotient, logarithme ou racine dans l'expression.

2. Écrire la condition correspondante et la résoudre.

3. Conclure par une phrase : «

f

est définie sur … ».

« Déterminer les limites de

f

aux bornes de son domaine »

Terminale

Terminale. Juste après le domaine : les limites remplissent les extrémités du tableau de variations.

1. Essayer d'abord les opérations sur les limites, sans rien transformer.

2. Si on tombe sur une forme indéterminée, factoriser par le terme qui domine ou utiliser les croissances comparées.

3. Interpréter : asymptote horizontale ou verticale.

Guide complet :Les limites et les formes indéterminées

« Montrer que

f'(x) = \dots

L'énoncé donne la dérivée attendue : c'est la forme dont tu auras besoin pour le signe.

1. Repérer la structure de

f

(somme, produit, quotient, composée) et écrire la formule de dérivation utilisée.

2. Écrire

u

u'

v

v'

séparément, puis remplacer.

3. Transformer le résultat jusqu'à obtenir exactement la forme de l'énoncé. On part de

f'(x)

calculée et on arrive à la forme demandée, jamais l'inverse.

« Étudier les variations de

f

Le cœur de l'exercice. Tout le reste en dépend.

1. Étudier le signe de

f'(x)

facteur par facteur, en justifiant chacun.

2. En déduire les variations et dresser le tableau, avec des valeurs exactes au bout des flèches.

Guide complet :Le tableau de variations

« Montrer que l'équation

f(x) = k

admet une unique solution »

Terminale

Terminale. Arrive juste après le tableau de variations.

1. Sur le tableau, repérer l'intervalle où la valeur

k

est atteinte.

2. Écrire les trois arguments : continuité, stricte monotonie,

k

compris entre les valeurs aux bornes.

3. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Guide complet :Le théorème des valeurs intermédiaires

« Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse

a

Une question rapide qui rapporte des points sûrs : il suffit d'appliquer la formule.

1. Calculer

f(a)

f'(a)

, chacun sur sa ligne.

2. Remplacer dans

y = f'(a)(x - a) + f(a)

.

3. Développer pour donner l'équation sous la forme

y = mx + p

« Étudier la position relative de la courbe et de la droite

\mathscr{D}

La droite est souvent la tangente ou une asymptote. La question revient à comparer

f(x)

mx + p

1. Calculer la différence

d(x) = f(x) - (mx + p)

et la simplifier (même dénominateur, factorisation).

2. Étudier le signe de

d(x)

.

3. Conclure : là où

d(x) \geq 0

, la courbe est au-dessus de la droite ; là où

d(x) \leq 0

, elle est en dessous.

Fiche détaillée :Prouver une inégalité par étude de la fonction différence

« Étudier la convexité de

f

» ou « montrer que la courbe admet un point d'inflexion »

Terminale

Terminale. Souvent la dernière question sur la fonction elle-même ;

f''

est parfois donnée.

1. Calculer

f''(x)

en dérivant

f'(x)

(ou utiliser celle de l'énoncé).

2. Étudier son signe : convexe là où

f'' \geq 0

, concave là où

f'' \leq 0

.

3. Un changement de signe de

f''

donne un point d'inflexion : calculer ses coordonnées.

Fiche détaillée :Convexité : signe de

f''

et point d'inflexion

« Résoudre un problème d'optimisation » : aire, volume, coût, bénéfice

L'énoncé décrit une situation : c'est à la copie de choisir la variable et d'écrire la fonction. Une capacité du programme 2026 de 1re, qui revient en Terminale.

1. Choisir la variable

x

et son intervalle de valeurs possibles, d'après les contraintes de l'énoncé.

2. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de

x

.

3. Étudier ses variations par la dérivée et repérer l'extremum, sans oublier les valeurs aux bornes.

4. Répondre à la question posée, dans le contexte et avec l'unité.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

]-1\,;+\infty[

par :

f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}

1. Calculer

f'(x)

et en déduire les variations de

f

.

2. Déterminer une équation de la tangente

T

à la courbe de

f

au point d'abscisse

0

.

3. Étudier la position relative de la courbe de

f

et de

T

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est un quotient. Sur

]-1\,;+\infty[

, le dénominateur

x + 1

ne s'annule pas, donc

f

est dérivable. On utilise la formule :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

On écrit chaque morceau :

u(x) = 2x - 1

, donc

u'(x) = 2

v(x) = x + 1

, donc

v'(x) = 1

.

On remplace dans la formule :

f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 1) \times 1}{(x + 1)^2}

On développe le numérateur, sans oublier que le signe moins porte sur toute la parenthèse

(2x - 1)

2(x + 1) - (2x - 1) = 2x + 2 - 2x + 1 = 3

f'(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2}

Signe. Le numérateur

3

est positif. Le dénominateur est un carré, non nul sur

]-1\,;+\infty[

, donc strictement positif. Ainsi

f'(x) > 0

pour tout

x

]-1\,;+\infty[

.

Conclusion.

f

est strictement croissante sur

]-1\,;+\infty[

2. On a besoin de

f(0)

et de

f'(0)

f(0) = \dfrac{2 \times 0 - 1}{0 + 1} = -1

f'(0) = \dfrac{3}{(0 + 1)^2} = 3

On remplace dans

y = f'(0)(x - 0) + f(0)

y = 3x - 1

3. On étudie le signe de la différence

d(x) = f(x) - (3x - 1)

. On met tout au même dénominateur

x + 1

d(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1} - \dfrac{(3x - 1)(x + 1)}{x + 1}

On développe

(3x - 1)(x + 1) = 3x^2 + 3x - x - 1 = 3x^2 + 2x - 1

. Au numérateur :

2x - 1 - (3x^2 + 2x - 1) = 2x - 1 - 3x^2 - 2x + 1 = -3x^2

d(x) = \dfrac{-3x^2}{x + 1}

Signe.

x^2 \geq 0

, donc

-3x^2 \leq 0

; et

x + 1 > 0

sur

]-1\,;+\infty[

. Donc

d(x) \leq 0

, et

d(x) = 0

seulement pour

x = 0

.

Conclusion. La courbe de

f

est en dessous de sa tangente

T

sur

]-1\,;+\infty[

, et la touche seulement au point d'abscisse

0

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

]0\,;+\infty[

par :

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

1. Déterminer les limites de

f

0

et en

+\infty

, et les interpréter graphiquement.

2. Montrer que

f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}

et dresser le tableau de variations de

f

.

3. On admet que

f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}

. Étudier la convexité de

f

et préciser l'abscisse du point d'inflexion.

Rédaction

1. Limite en $0$ . Quand

x

tend vers

0

(par valeurs positives),

\ln x

tend vers

-\infty

x

tend vers

0^+

. On divise un nombre très négatif par un petit nombre positif : il n'y a pas d'indétermination, et

\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty

La droite d'équation

x = 0

(l'axe des ordonnées) est asymptote verticale.

Limite en $+\infty$ .

\ln x

x

tendent tous deux vers

+\infty

: c'est une forme indéterminée «

\dfrac{\infty}{\infty}

». On utilise les croissances comparées, à connaître par cœur :

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

. Donc

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

La droite d'équation

y = 0

(l'axe des abscisses) est asymptote horizontale en

+\infty

2. Calcul de la dérivée.

f

est un quotient de fonctions dérivables sur

]0\,;+\infty[

, avec un dénominateur qui ne s'annule pas. On utilise :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

u(x) = \ln x

, donc

u'(x) = \dfrac{1}{x}

v(x) = x

, donc

v'(x) = 1

f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2}

\dfrac{1}{x} \times x = 1

, donc :

f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}

Signe.

x^2 > 0

sur

]0\,;+\infty[

f'(x)

a le signe de

1 - \ln x

. On résout

1 - \ln x > 0

, soit

\ln x < 1

. Comme

\ln

est croissante et

\ln e = 1

, cela équivaut à

x < e

. Donc

f'(x) > 0

sur

]0\,;e[

f'(e) = 0

f'(x) < 0

sur

]e\,;+\infty[

.

Valeur au sommet.

f(e) = \dfrac{\ln e}{e} = \dfrac{1}{e}

3. Signe de $f''(x)$ . Sur

]0\,;+\infty[

x^3 > 0

f''(x)

a le signe de

2\ln x - 3

2\ln x - 3 > 0 \iff \ln x > \dfrac{3}{2} \iff x > e^{3/2}

(on applique l'exponentielle, croissante, aux deux membres). Remarque :

e^{3/2} = e\sqrt{e} \approx 4{,}48

Conclusion.

f

est concave sur

]0\,;e^{3/2}]

et convexe sur

[e^{3/2}\,;+\infty[

. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en

e^{3/2}

: la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse

e^{3/2}

Pièges classiques

Partir du résultat donné par l'énoncé pour « montrer que

f'(x) = \dots

» : on calcule

f'(x)

à partir de

f

, puis on arrive à la forme demandée.

Oublier la parenthèse dans

u'v - uv'

-(2x - 1)

donne

-2x + 1

, pas

-2x - 1

. C'est l'erreur de signe la plus fréquente sur un quotient.

Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans l'équation de tangente :

f'(a)

est la pente (devant

x

f(a)

est la hauteur du point.

Oublier la condition stricte du logarithme :

\ln u

exige

u > 0

, pas

u \geq 0

Conclure à un point d'inflexion dès que $f''(a) = 0$ : il faut un changement de signe de

f''

a

Laisser une limite sans interprétation quand l'énoncé dit « interpréter graphiquement » : nommer l'asymptote et donner son équation.

Confondre l'abscisse d'un extremum et sa valeur : le volume est maximal pour

x = 5

, et il vaut

V(5)

Avant de rendre la copie

Le domaine est justifié (dénominateur non nul, logarithme d'un nombre strictement positif).

La formule de dérivation est écrite, avec

u

u'

v

v'

La dérivée est simplifiée et factorisée avant l'étude du signe.

Chaque facteur a son signe justifié par une phrase.

Le tableau contient des valeurs exactes et, en Terminale, les limites aux bornes.

Chaque limite interprétée nomme son asymptote avec son équation.

Chaque question se termine par une phrase de conclusion.