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Les probabilités au bac

Arbre pondéré, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale : l'exercice de probabilités, question par question.

Au moins une question dans 19 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Probabilités conditionnelles et variables aléatoires, Loi binomiale et somme de variables aléatoires, Concentration et loi des grands nombres

Pourquoi c'est partout

L'exercice de probabilités est l'un des plus réguliers du bac, et l'un des plus prévisibles : un arbre en partie A, une loi binomiale en partie B, parfois une somme de variables aléatoires.

Les questions se ressemblent d'un sujet à l'autre : construire l'arbre, calculer une probabilité d'intersection, une probabilité totale, puis remonter l'arbre « à rebours ». Ce qui fait la différence, c'est la traduction de l'énoncé en notations : savoir si « 30 % des malades » est une probabilité conditionnelle ou une intersection.

Ce qu'il faut savoir

Les règles de l'arbre pondéré

Règle 1 : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut

1

.

Règle 2 : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.

Règle 3 : sur une branche du second niveau, on lit une probabilité conditionnelle : celle de l'évènement d'arrivée, sachant celui de départ.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de

B

sachant

A

(avec

P(A) \neq 0

) :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Retournée, elle donne la probabilité d'une intersection :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

Traduction : « parmi les

A

30\,\%

sont

B

» donne

P_A(B) = 0{,}3

. «

30\,\%

des individus sont

A

B

» donne

P(A \cap B) = 0{,}3

Probabilités totales et indépendance

Formule des probabilités totales :

A

\overline{A}

forment une partition, donc

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)

Sur l'arbre, on additionne tous les chemins qui mènent à

B

.

Indépendance :

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

, ce qui revient à

P_A(B) = P(B)

(savoir

A

ne change rien à

B

Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire

X

associe un nombre à chaque issue (un gain, un nombre de succès…). Sa loi est le tableau des valeurs

x_i

et des probabilités

p_i

(dont la somme vaut

1

).

L'espérance est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités :

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n

On l'interprète comme une moyenne sur un grand nombre de répétitions (gain moyen par partie).

La loi binomiale (Terminale)

On répète

n

fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité

p

, échec). Le nombre

X

de succès suit la loi binomiale

\mathscr{B}(n\,;p)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}

E(X) = np

V(X) = np(1 - p)

L'écart type vaut donc

\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}

.

« Au moins un succès » : on passe par le contraire,

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n

Variance, écart type et linéarité

La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance, pondérée par les probabilités :

V(X) = p_1\big(x_1 - E(X)\big)^2 + \dots + p_n\big(x_n - E(X)\big)^2

L'écart type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

, dans l'unité de

X

, mesure la dispersion autour de

E(X)

. Pour calculer, on utilise souvent

V(X) = E(X^2) - E(X)^2

.

Transformation affine :

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a^2V(X)

.

Linéarité de l'espérance :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

, toujours, sans connaître la loi de

X + Y

. Pour la variance,

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

seulement si

X

Y

sont indépendantes (Terminale).

Somme, moyenne et concentration (Terminale)

Pour un échantillon

X_1, \dots, X_n

de variables indépendantes, de même loi que

X

, la somme

S_n

et la moyenne

M_n = \dfrac{S_n}{n}

vérifient :

E(S_n) = nE(X)

V(S_n) = nV(X)

E(M_n) = E(X)

V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel

\delta > 0

P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}

.

Inégalité de concentration :

P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}

. Cette borne tend vers

0

quand

n

grandit : c'est la loi des grands nombres.

Les questions types

1
« Représenter la situation par un arbre pondéré »
Toujours la première question. L'arbre conditionne tout le reste.
1. Identifier l'ordre chronologique : le premier niveau est ce qu'on connaît « sans condition ».

2. Placer les probabilités de l'énoncé, puis compléter par $1 - p$ sur chaque nœud.

3. Vérifier : les branches issues d'un même nœud somment à $1$ .
Fiche détaillée :Arbre pondéré et formule des probabilités totales
2
« Calculer $P(A \cap B)$ » puis « montrer que $P(B) = \dots$ »
Le duo classique : un chemin, puis tous les chemins vers $B$ .
1. Intersection : multiplier les probabilités le long du chemin, en écrivant la formule $P(A) \times P_A(B)$ .

2. Probabilité totale : citer la formule, puis additionner les chemins qui mènent à $B$ .

3. Écrire chaque produit avant de calculer.
Fiche détaillée :Arbre pondéré et formule des probabilités totales
3
« Sachant que $B$ est réalisé, quelle est la probabilité de $A$ ? »
L'arbre donne $P_A(B)$ , mais on demande l'inverse $P_B(A)$ : c'est une probabilité « à rebours ».
1. Écrire la définition : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

2. Le numérateur est un chemin de l'arbre, le dénominateur vient de la probabilité totale.

3. Calculer et interpréter en français.
Fiche détaillée :Probabilité conditionnelle « à rebours » (Bayes)
4
« Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? »
Question fermée : il faut un calcul, puis un oui ou un non justifié.
1. Calculer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ .

2. Comparer : égaux, ils sont indépendants ; différents, ils ne le sont pas.

3. Ou comparer $P_A(B)$ et $P(B)$ .
5
« Déterminer la loi de $X$ » puis « calculer son espérance »
Jeux, gains, coûts : la variable aléatoire résume l'arbre en nombres.
1. Lister toutes les valeurs possibles de $X$ et calculer la probabilité de chacune.

2. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .

3. Calculer $E(X)$ et l'interpréter (« en moyenne, sur un grand nombre de parties, … »).
6
« Justifier que $X$ suit une loi binomiale »
Terminale
Terminale. Partie B de l'exercice : on répète l'expérience de la partie A.
1. Décrire l'épreuve à deux issues et préciser le succès et sa probabilité $p$ .

2. Dire qu'elle est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante.

3. Conclure : $X$ suit la loi $\mathscr{B}(n\,;p)$ , en donnant $n$ et $p$ .
Fiche détaillée :Reconnaître et exploiter une loi binomiale
7
« Déterminer le nombre minimal $n$ pour que $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$ »
Terminale
Terminale. Combine le contraire, une inéquation et le logarithme.
1. Écrire $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ et poser l'inéquation.

2. Isoler la puissance, puis appliquer $\ln$ et diviser par un logarithme négatif (le sens s'inverse).

3. Prendre le premier entier qui convient et vérifier.
Guide complet :Exponentielle et logarithme
8
Somme de variables aléatoires, inégalité de concentration
Terminale
Terminale. « On prélève un échantillon de $n$ … », « majorer la probabilité que la moyenne s'écarte de… ».
1. Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance (variables indépendantes).

2. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou de concentration avec les bonnes valeurs.
Fiche détaillée :Fluctuation et concentration (inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
9
« Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}95$ »
Terminale
Terminale. Loi binomiale : un stock, un nombre de places, un seuil d'alerte, lu dans les probabilités cumulées.
1. Afficher à la calculatrice les probabilités cumulées $P(X \leq k)$ de la loi $\mathscr{B}(n\,;p)$ pour plusieurs valeurs de $k$ .

2. Repérer deux valeurs consécutives qui encadrent $0{,}95$ : $P(X \leq k - 1) < 0{,}95 \leq P(X \leq k)$ .

3. Écrire ces deux probabilités, puis conclure par le plus petit $k$ qui convient et l'interpréter dans le contexte.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Dans une population,

5\,\%

des personnes sont atteintes d'une maladie. Un test de dépistage est positif pour

98\,\%

des personnes malades, et pour

4\,\%

des personnes non malades. On choisit une personne au hasard et on note

M

: « la personne est malade » et

T

: « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré.

2. Calculer

P(M \cap T)

.

3. Montrer que

P(T) = 0{,}087

.

4. Le test d'une personne est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Commenter.

Rédaction

1. Traduction de l'énoncé : «

5\,\%

des personnes sont malades » donne

P(M) = 0{,}05

. « Positif pour

98\,\%

des malades » est une probabilité sachant

M

P_M(T) = 0{,}98

. De même,

P_{\overline{M}}(T) = 0{,}04

.

On complète chaque nœud par

1 - p

P(\overline{M}) = 0{,}95

P_M(\overline{T}) = 0{,}02

P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}96

2. On suit le chemin

M

puis

T

et on multiplie :

P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T)

P(M \cap T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049

3. Deux chemins mènent à

T

: en passant par

M

, ou par

\overline{M}

. D'après la formule des probabilités totales :

P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)

On calcule le second chemin :

P(\overline{M} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}04 = 0{,}038

. Donc :

P(T) = 0{,}049 + 0{,}038 = 0{,}087

4. On cherche

P_T(M)

: c'est l'inverse de ce que donne l'arbre. On revient à la définition :

P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}

P_T(M) = \dfrac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}563

Commentaire : même avec un test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ

56\,\%

. La maladie est rare (

5\,\%

), donc les « faux positifs » parmi les nombreuses personnes saines pèsent lourd : un test positif doit être confirmé par un second examen.

Exemple Terminale

Un QCM comporte

10

questions indépendantes, avec

4

réponses proposées dont une seule est juste. Un élève répond entièrement au hasard. On note

X

le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que

X

suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer

P(X = 3)

P(X \geq 1)

, arrondies au millième.

3. Calculer

E(X)

et l'interpréter.

4. Combien de questions faudrait-il pour que la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse dépasse

0{,}99

Rédaction

1. Chaque question est une épreuve à deux issues : succès « réponse juste », de probabilité

p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

, ou échec. Elle est répétée

10

fois de façon identique et indépendante.

X

compte le nombre de succès :

X

suit la loi binomiale

\mathscr{B}(10\,;0{,}25)

2. On applique la formule avec

n = 10

k = 3

p = 0{,}25

1 - p = 0{,}75

P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7

\binom{10}{3} = 120

(à la calculatrice, ou

\dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}

), donc

P(X = 3) \approx 0{,}250

.

Au moins une bonne réponse : on passe par l'évènement contraire, « aucune bonne réponse », c'est-à-dire

X = 0

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{10}

0{,}75^{10} \approx 0{,}056

, donc

P(X \geq 1) \approx 0{,}944

E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5

.

Interprétation : en répondant au hasard, un élève obtient en moyenne

2{,}5

bonnes réponses sur

10

(moyenne sur un grand nombre d'élèves dans la même situation).

4. Avec

n

questions,

P(X \geq 1) = 1 - 0{,}75^n

. On cherche le plus petit

n

tel que :

1 - 0{,}75^n \geq 0{,}99

0{,}75^n \leq 0{,}01

On applique

\ln

, croissante :

n \ln(0{,}75) \leq \ln(0{,}01)

\ln(0{,}75) < 0

(car

0{,}75 < 1

) : en divisant, le sens s'inverse.

n \geq \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}75)} \approx 16{,}01

Il faut donc au moins

17

questions. Vérification :

0{,}75^{16} \approx 0{,}010\,02 > 0{,}01

0{,}75^{17} \approx 0{,}007\,5 \leq 0{,}01

Pièges classiques

Confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ : « $98\,\%$ des malades » est conditionnel, « $4{,}9\,\%$ des gens sont malades et positifs » est une intersection.
Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : l'arbre donne l'un, l'énoncé demande souvent l'autre.
Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales : lister tous les chemins qui mènent à l'évènement.
Justifier une loi binomiale sans les mots « identique » et « indépendante », ou sans préciser $n$ et $p$ .
Calculer « au moins un » en additionnant $P(X = 1) + P(X = 2) + \dots$ : passer par le contraire est plus rapide et plus sûr.
Garder le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}75)$ , qui est négatif.
Additionner des variances sans indépendance : $V(X + X) = V(2X) = 4V(X)$ , et non $2V(X)$ .

Avant de rendre la copie

Chaque donnée de l'énoncé est traduite en notation ( $P(A)$ , $P_A(B)$ ou $P(A \cap B)$ ).
Les branches de chaque nœud de l'arbre somment à $1$ .
La formule utilisée est écrite avant le calcul (intersection, probabilités totales, conditionnelle).
La loi binomiale est justifiée avec ses deux paramètres.
Les résultats sont arrondis comme demandé, et interprétés quand l'énoncé le demande.

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Les probabilités au bac

Arbre pondéré, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale : l'exercice de probabilités, question par question.

Pourquoi c'est partout

Ce qu'il faut savoir

Les règles de l'arbre pondéré

Règle 1 : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut

1

Probabilité conditionnelle

La probabilité de

B

sachant

A

(avec

P(A) \neq 0

) :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Retournée, elle donne la probabilité d'une intersection :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

Traduction : « parmi les

A

30\,\%

sont

B

» donne

P_A(B) = 0{,}3

. «

30\,\%

des individus sont

A

B

» donne

P(A \cap B) = 0{,}3

Probabilités totales et indépendance

Formule des probabilités totales :

A

\overline{A}

forment une partition, donc

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)

Sur l'arbre, on additionne tous les chemins qui mènent à

B

.

Indépendance :

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

, ce qui revient à

P_A(B) = P(B)

(savoir

A

ne change rien à

B

Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire

X

associe un nombre à chaque issue (un gain, un nombre de succès…). Sa loi est le tableau des valeurs

x_i

et des probabilités

p_i

(dont la somme vaut

1

).

L'espérance est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités :

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n

On l'interprète comme une moyenne sur un grand nombre de répétitions (gain moyen par partie).

La loi binomiale (Terminale)

On répète

n

fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité

p

, échec). Le nombre

X

de succès suit la loi binomiale

\mathscr{B}(n\,;p)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}

E(X) = np

V(X) = np(1 - p)

L'écart type vaut donc

\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}

.

« Au moins un succès » : on passe par le contraire,

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n

Variance, écart type et linéarité

La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance, pondérée par les probabilités :

V(X) = p_1\big(x_1 - E(X)\big)^2 + \dots + p_n\big(x_n - E(X)\big)^2

L'écart type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

, dans l'unité de

X

, mesure la dispersion autour de

E(X)

. Pour calculer, on utilise souvent

V(X) = E(X^2) - E(X)^2

.

Transformation affine :

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a^2V(X)

.

Linéarité de l'espérance :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

, toujours, sans connaître la loi de

X + Y

. Pour la variance,

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

seulement si

X

Y

sont indépendantes (Terminale).

Somme, moyenne et concentration (Terminale)

Pour un échantillon

X_1, \dots, X_n

de variables indépendantes, de même loi que

X

, la somme

S_n

et la moyenne

M_n = \dfrac{S_n}{n}

vérifient :

E(S_n) = nE(X)

V(S_n) = nV(X)

E(M_n) = E(X)

V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel

\delta > 0

P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}

.

Inégalité de concentration :

P\big(|M_n - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}

. Cette borne tend vers

0

quand

n

grandit : c'est la loi des grands nombres.

Les questions types

« Représenter la situation par un arbre pondéré »

Toujours la première question. L'arbre conditionne tout le reste.

1. Identifier l'ordre chronologique : le premier niveau est ce qu'on connaît « sans condition ».

2. Placer les probabilités de l'énoncé, puis compléter par $1 - p$ sur chaque nœud.

3. Vérifier : les branches issues d'un même nœud somment à

1

Fiche détaillée :Arbre pondéré et formule des probabilités totales

« Calculer

P(A \cap B)

» puis « montrer que

P(B) = \dots

Le duo classique : un chemin, puis tous les chemins vers

B

1. Intersection : multiplier les probabilités le long du chemin, en écrivant la formule

P(A) \times P_A(B)

.

2. Probabilité totale : citer la formule, puis additionner les chemins qui mènent à

B

.

3. Écrire chaque produit avant de calculer.

Fiche détaillée :Arbre pondéré et formule des probabilités totales

« Sachant que

B

est réalisé, quelle est la probabilité de

A

? »

L'arbre donne

P_A(B)

, mais on demande l'inverse

P_B(A)

: c'est une probabilité « à rebours ».

1. Écrire la définition :

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

.

2. Le numérateur est un chemin de l'arbre, le dénominateur vient de la probabilité totale.

3. Calculer et interpréter en français.

Fiche détaillée :Probabilité conditionnelle « à rebours » (Bayes)

« Les évènements

A

B

sont-ils indépendants ? »

Question fermée : il faut un calcul, puis un oui ou un non justifié.

1. Calculer

P(A \cap B)

P(A) \times P(B)

.

2. Comparer : égaux, ils sont indépendants ; différents, ils ne le sont pas.

3. Ou comparer

P_A(B)

P(B)

« Déterminer la loi de

X

» puis « calculer son espérance »

Jeux, gains, coûts : la variable aléatoire résume l'arbre en nombres.

1. Lister toutes les valeurs possibles de

X

et calculer la probabilité de chacune.

2. Vérifier que la somme des probabilités vaut

1

.

3. Calculer

E(X)

et l'interpréter (« en moyenne, sur un grand nombre de parties, … »).

« Justifier que

X

suit une loi binomiale »

Terminale

Terminale. Partie B de l'exercice : on répète l'expérience de la partie A.

1. Décrire l'épreuve à deux issues et préciser le succès et sa probabilité

p

.

2. Dire qu'elle est répétée

n

fois de façon identique et indépendante.

3. Conclure :

X

suit la loi

\mathscr{B}(n\,;p)

, en donnant

n

p

Fiche détaillée :Reconnaître et exploiter une loi binomiale

« Déterminer le nombre minimal

n

pour que

P(X \geq 1) \geq 0{,}99

Terminale

Terminale. Combine le contraire, une inéquation et le logarithme.

1. Écrire

P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n

et poser l'inéquation.

2. Isoler la puissance, puis appliquer

\ln

et diviser par un logarithme négatif (le sens s'inverse).

3. Prendre le premier entier qui convient et vérifier.

Guide complet :Exponentielle et logarithme

Somme de variables aléatoires, inégalité de concentration

Terminale

Terminale. « On prélève un échantillon de

n

… », « majorer la probabilité que la moyenne s'écarte de… ».

1. Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance (variables indépendantes).

2. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou de concentration avec les bonnes valeurs.

Fiche détaillée :Fluctuation et concentration (inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

« Déterminer le plus petit entier

k

tel que

P(X \leq k) \geq 0{,}95

Terminale

Terminale. Loi binomiale : un stock, un nombre de places, un seuil d'alerte, lu dans les probabilités cumulées.

1. Afficher à la calculatrice les probabilités cumulées

P(X \leq k)

de la loi

\mathscr{B}(n\,;p)

pour plusieurs valeurs de

k

.

2. Repérer deux valeurs consécutives qui encadrent

0{,}95

P(X \leq k - 1) < 0{,}95 \leq P(X \leq k)

.

3. Écrire ces deux probabilités, puis conclure par le plus petit

k

qui convient et l'interpréter dans le contexte.

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Dans une population,

5\,\%

des personnes sont atteintes d'une maladie. Un test de dépistage est positif pour

98\,\%

des personnes malades, et pour

4\,\%

des personnes non malades. On choisit une personne au hasard et on note

M

: « la personne est malade » et

T

: « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré.

2. Calculer

P(M \cap T)

.

3. Montrer que

P(T) = 0{,}087

.

4. Le test d'une personne est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Commenter.

Rédaction

1. Traduction de l'énoncé : «

5\,\%

des personnes sont malades » donne

P(M) = 0{,}05

. « Positif pour

98\,\%

des malades » est une probabilité sachant

M

P_M(T) = 0{,}98

. De même,

P_{\overline{M}}(T) = 0{,}04

.

On complète chaque nœud par

1 - p

P(\overline{M}) = 0{,}95

P_M(\overline{T}) = 0{,}02

P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}96

2. On suit le chemin

M

puis

T

et on multiplie :

P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T)

P(M \cap T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049

3. Deux chemins mènent à

T

: en passant par

M

, ou par

\overline{M}

. D'après la formule des probabilités totales :

P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)

On calcule le second chemin :

P(\overline{M} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}04 = 0{,}038

. Donc :

P(T) = 0{,}049 + 0{,}038 = 0{,}087

4. On cherche

P_T(M)

: c'est l'inverse de ce que donne l'arbre. On revient à la définition :

P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}

P_T(M) = \dfrac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}563

Commentaire : même avec un test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ

56\,\%

. La maladie est rare (

5\,\%

), donc les « faux positifs » parmi les nombreuses personnes saines pèsent lourd : un test positif doit être confirmé par un second examen.

Exemple Terminale

Un QCM comporte

10

questions indépendantes, avec

4

réponses proposées dont une seule est juste. Un élève répond entièrement au hasard. On note

X

le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que

X

suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer

P(X = 3)

P(X \geq 1)

, arrondies au millième.

3. Calculer

E(X)

et l'interpréter.

4. Combien de questions faudrait-il pour que la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse dépasse

0{,}99

Rédaction

1. Chaque question est une épreuve à deux issues : succès « réponse juste », de probabilité

p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

, ou échec. Elle est répétée

10

fois de façon identique et indépendante.

X

compte le nombre de succès :

X

suit la loi binomiale

\mathscr{B}(10\,;0{,}25)

2. On applique la formule avec

n = 10

k = 3

p = 0{,}25

1 - p = 0{,}75

P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7

\binom{10}{3} = 120

(à la calculatrice, ou

\dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}

), donc

P(X = 3) \approx 0{,}250

.

Au moins une bonne réponse : on passe par l'évènement contraire, « aucune bonne réponse », c'est-à-dire

X = 0

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{10}

0{,}75^{10} \approx 0{,}056

, donc

P(X \geq 1) \approx 0{,}944

E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5

.

Interprétation : en répondant au hasard, un élève obtient en moyenne

2{,}5

bonnes réponses sur

10

(moyenne sur un grand nombre d'élèves dans la même situation).

4. Avec

n

questions,

P(X \geq 1) = 1 - 0{,}75^n

. On cherche le plus petit

n

tel que :

1 - 0{,}75^n \geq 0{,}99

0{,}75^n \leq 0{,}01

On applique

\ln

, croissante :

n \ln(0{,}75) \leq \ln(0{,}01)

\ln(0{,}75) < 0

(car

0{,}75 < 1

) : en divisant, le sens s'inverse.

n \geq \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}75)} \approx 16{,}01

Il faut donc au moins

17

questions. Vérification :

0{,}75^{16} \approx 0{,}010\,02 > 0{,}01

0{,}75^{17} \approx 0{,}007\,5 \leq 0{,}01

Pièges classiques

Confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ : «

98\,\%

des malades » est conditionnel, «

4{,}9\,\%

des gens sont malades et positifs » est une intersection.

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : l'arbre donne l'un, l'énoncé demande souvent l'autre.

Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales : lister tous les chemins qui mènent à l'évènement.

Justifier une loi binomiale sans les mots « identique » et « indépendante », ou sans préciser

n

p

Calculer « au moins un » en additionnant

P(X = 1) + P(X = 2) + \dots

: passer par le contraire est plus rapide et plus sûr.

Garder le sens de l'inégalité en divisant par

\ln(0{,}75)

, qui est négatif.

Additionner des variances sans indépendance :

V(X + X) = V(2X) = 4V(X)

, et non

2V(X)

Avant de rendre la copie

Chaque donnée de l'énoncé est traduite en notation (

P(A)

P_A(B)

P(A \cap B)

Les branches de chaque nœud de l'arbre somment à

1

La formule utilisée est écrite avant le calcul (intersection, probabilités totales, conditionnelle).

La loi binomiale est justifiée avec ses deux paramètres.

Les résultats sont arrondis comme demandé, et interprétés quand l'énoncé le demande.